بسم الله ارحمن الرحیم

 

 

 

معنای اصل و اسطقس درهندسه

الثّامن: أنّ إقلِيدس برهن في الشّكل الخامس عشر من المقالة الثالثة من كتاب “الأُصول ” على أنّ الزّاوية الحادثة بين عمود اخرج من طرف قطر الدائرة وبين المحيط أحد من جميع الحواد المستقيمة الخطين فإذا تحرّك العمود: فإمّا أن يقطع هذه الزّاوية في آن، أو في زمان.

فعلى الأوّل: يكون قد قطع جزءاً لا يتجزّأ .

وعلى الثّاني: يلزم تحقّق حادة مستقيمة الخطين في اثناء الحركة أصغر من تلك الزّاوية.[1]

 

«الثامن ان اقلیدس برهن فی الشکل الخامس عشر» عرض شد که این سه استدلال بعدی استدلالاتی هندسی است مبتنی‌بر براهینی که در کتاب اصول هندسه اقلیدوس آمده، لذا می‌گویند که «اقلیدس برهن» روی حساب آن مقالاتی بوده که آمده است. کلمه «اصل» درکتاب اصول، آیا به‌معنای قواعد هندسه است؟ یک کتابی به نام تاریخ ریاضیات دو جلدی هست. دیدم پشت این نسخه ای که جلسه قبل عرض کردم یک یادداشتی داشتم گفتم که بد نیست بگویم. جلد یک صفحه 146 از نسخه دو جلدی، این توضیح را می‌دهد که خیلی ها به  غلط و اشتباهی به خیالشان می‌رسد که اصول اقلیدوس و اصول هندسه اقلیدوس به‌معنای قواعد کلی مستوعب هندسه در نظر می‌گیرند یعنی تاریخش را نمی‌دانند، توجه به تاریخ آن ندارند ایشان می‌گویند این کلمه اصول بازگردان کلمه یونانی اسطقس است ما می‌گوییم اصول هندسه آن‌ها می‌گویند اسطقسات هندسه آن وقت اسطقس به‌معنای پایه هست اصلاً عنصر یعنی  اصل و پایه. عنصر هم کلمه یونانی است اسطقس هم می‌باشد شوخی هم بود که ابن‌سینا گفته است اسطقس فوق اسطقسات. علی ای حال به‌معنای اصل است .

نکته‌ای که آن جا تذکر می‌دهد- فقط برای اطلاع می‌گویم- که در آن کتاب تاریخ، این‌گونه می‌گوید که اصل در لغت آن‌ها اسطقس به‌معنای حروف الفبا می‌باشد حروف الفبا هم اصل کلام می‌باشد عنصر در شیمی چگونه است که پایه‌های اصلی مواد است عنصر اصل مواد است.  اسطقس هم اصل مواد است همینطور حروف هم اصل کلام است. یعنی کل کلمات از حروف الفبا تشکیل می‌شود و در زبان آن‌ها که یونانی است به حروف الفبا اسطقس می‌گفتند، لذا می‌گویند که اقلیدوس بنا نداشت که هر چه که در علم هندسه هست را بیاورد. بلکه بنا داشت اسطقس و الفبای هندسه را بیاورد و لذا گفته‌اند که این اصول اقلیدوس به‌معنای الفبای هندسه هست نه یعنی قواعد کلی مستوعب هر چه در هندسه هست. اقلیدوس بیش از این هندسه می‌دانست ومی توانست بنویسد اسطقس نوشت یعنی آن‌هایی که کاربرد دارد و پایه است و فرمول‌ها و قواعد پایه‌ای که خیلی جاها کاربرد دارد حروف الفبا به چه نحو است که همه این‌ها به این‌ها برمی‌گردند. این دویست و سی و خرده ای قضیه در اصول اقلیدوس ثابت شده و می خواسته بگوید هندسه حروف الفبایی دارد که این دویست و سی قضیه یا خروجی این‌ها که کمتر هم می‌شود. چون خیلی از این‌ها باز مقدمه می‌باشد

شاگرد: در نسخه انگلیسی هم ظاهراً المنت [2]می‌گویند.

استاد: باز عنصر هست

شاگرد: المنت معنای  اجزاء و …

استاد: گمان نمی‌کنم لاتینی یونانی باشد.

شاگرد: نه

استاد: لغت المنت و المان به‌معنای عنصر لاتین است و در یونان همان عنصر است اسطقس عنصر است علی ای حال در آن کتاب ج1 صفحه 146 این‌گونه گفته است که تاریخ ریاضیات که اصول هندسه یعنی اسطقس هندسه که الاسطقسات اسمش بوده و اسطقس هم نه به‌معنای کل قواعد هندسه باشد بلکه به‌معنای الفبای هندسه هست.

معنای اصل- اصل درهندسه -اسطقس- عنصر-اصول اقلیدس-اقلیدس- هندسه

فهرست مسائل مهم اصول اقلیدس

 این‌ها هم نکاتی است من دیدم دیروز عرض کردم نسخه ای بود که رفتیم عکسش را گرفتیم. این کاغذها همان کتبی است که زیراکس گرفتیم و بخشی از آن را هم مباحثه کردیم و هرچیزی در حین مباحثه دستمان بود را نوشتم شاید دو سوم این‌ها هم با مداد نوشته شده است متاسفانه و مداد هم الآن خیلی کمرنگ شده و فرصتی بشود و ببینم چه بوده تا محو نشود و مباحثه می‌کردیم و آن چه به ذهنمان می آمد را می‌نوشتیم و باز پشت کتاب از فهرست ابن ندیم هم یادداشت دارم و قواعدی هم که در این کتاب عرض کردم هست، ده -یازده تای آن‌ها را فهرست بندی کردم و مطالب مهمی که در این کتاب هست مثلاً کوچک ترین زاویه حاده که الآن بحث ما هست از مباحث مهم هندسه هم هست این صفحه 53 در چاپ کتاب ما هست کوچک ترین زاویه حاده.مثلا صفحه 100 الگوریتم اقلیدوسی که نحو خاصی بوده است که  در کتاب‌های هندسه ب.م.م گفته می‌شود، بزرگترین مضرب مشترک و مقسوم علیه مشترک . یکی دیگر اقامه برهان بر این‌که ضرب طرفین با وسطین برابر است این مهم‌ترین قاعده تناسب بود که اثبات آن صفحه 105 آمده است. همه این مطالب بسیار مهم در این کتاب هست. قضیه اساسی علم حساب که جلوتر بحثش شد که هر عدد از ساختمان‌های تنها و تنها واحد اولیه و بلوک های اولیه هر عدد تنها و تنها یک نحو است و این در عالم حساب خیلی مهم است این مثلاً در این کتاب صفحه 119 ثابت شده است و بی‌نهایت بودن اعداد اول صفحه 119، فرمول مهم اعداد تام باز در این کتاب ثابت شده است. فرمول مجموع n جمله اول یک تصاعد هندسی.  پایه روش اثنان که برای خیلی مسائل ازجمله انتگرال و مسائل امروزه که مطرح است باز در این کتاب پایه اش آمده و نسبت طلایی که بنده برخورد کردم و آدرس داده بودم و ده یا یازده تا از مهم ترین مسائل پایه‌ای ریاضی به نحو اصل موضوعی بسیار عجیب و غریب در این کتاب ثابت شده است.

اصول اقلیدوس-هندسه -مباحث مهم هندسه-

هشتمین  دلیل اثبات جزء‌لا تیجزء‌

در صفحه 53 این کتاب به چاپی که ما داریم همین چیزی که ایشان می‌گویند برهن و عبارتش را دیروزخواندم ایشان گفت:‌ العمود الخارج من طرف القطر این را در نظر بگیرید که در این چند روز مرتب با این‌ها کار داریم که به‌صورت فهرست گونه عرض می‌کنم که در ذهن شریفتان بیاید دیگر مرتب این کلمات را به کار می‌بریم و ذهنتان روان است.

 

برو به 0:09:11

 اول سه عنصر و شیء پایه داریم این سه تا را به ذهن بسپارید. «قطر، محیط و عمود بر قطر یا خط مماس» پس سر و کار ما با این سه تا زیاد است. دایره یک محیط دارد که قوس است و یک قطر دارد که از نقطه مرکز عبور می‌کند و به دو نقطه در محیط به هم می‌رسند و یکی هم عمود بر رأس این قطر است که مماس بر دایره می‌باشد پس محیط، قطر، خط مماس. عرض کنم با این سه عنصر خیلی سر و کار داریم وقتی هم این سه را در نظر بگیریم و ذهن شرفتان شروع کند دیگر راحت جلو می‌رویم.

اول زاویه‌ای که اصلی‌ترین زاویه در بحث ما هست قطر و عمود بر قطر است. خط مماس یک زاویه قائمه داریم؛ زاویه قائمه ای که دو ضلعش مستقیمة الخطین است خط قطر و خط مستقیم مماس بر دایره که عمود بر این قطر است که زاویه قائمه درست می‌کند پس این هم اول زاویه مادری که در بحث ما هست زاویه قائمه ای که از عمود شدن خط مماس بر قطر فاصله می‌شود پس سه تا عنصر با این زاویه مادر حالا می‌رویم از اینجا به فروعات و بحث‌هایی که شروع به مطرح کردن آن می‌کند.

اگر ما یک خطی را در نظر بگیرید من حالا می‌خواستم خطی بکشم و این هم عکس ساده است که می‌شود عکسش را بگیرند و بگذارند که هر کس نگاه می‌کند، می‌بیند. علی ای حال یک خط بسیار ساده که دایره هست و یک خط مماس بر او و قطرش می‌باشد. اینجا الآن ما با این دو زاویه به دست آوردیم دو تا زاویه‌ای که غیر از زاویه مادر است زاویه مادر که الآن بحثمان است زاویه قائمه ای که دو خطش مستقیم بودند قطر و خط مماس غیر از او دو زاویه در دل آن زاویه قائمه پدید آمده است که خط‌های آن مستقیمة الخطین نیستند دو تا زاویه مجاور هستند که این قوس و محیط دایره درستش کرده است زاویه‌ای که بین محیط و خط مماس است و زاویه‌ای که بین محیط و قطر است در دل دایره وجود دارد. پس دایره ای که اینجا رسم شده یک زاویه بین خط مماس با محیط است و یک زاویه هم بین محیط و قطر است که درون دایره هست این را زاویه نیم دایره می‌گویند ما الآن زاویه 180 درجه می‌گوییم این زاویه نیم دایره ای که اینجا است به یک معنا نزدیک ترین زاویه به زاویه نیم صفحه می‌باشد که نزدیک تر از آن نداریم. زاویه نیم دایره کلش 180یعنی درجه آن را در نظر بگیرید. بین محیط و قطر و مجاورش بین قطر تا محیط یک زاویه نیم صفحه وجود دارد اما نیم صفحه در دایره که نزدیک ترین زاویه به خط مستقیم است این‌ها از براهین است که اگر از بین او رد بشوید به خط مستقیم می‌رسید.

شما چگونه می‌گویید تا بی‌نهایت می‌شود تقسیم کرد؟ این‌ها همان چیزهایی است که ما با آن‌ها سر و کار داریم و مبرهن است و فضای بحث سنگین می‌شود. خب پس الآن دو تا زاویه مجاور هم پیدا کردیم یکی زاویه بین محیط با خط مماس اسم آن را زاویه حُدبیه یا  حَدَبیه می‌گذاریم،که آن طرف پشت است که حَدَب پشت می‌باشد که پشت دایره است و قوسی است که پشت قوس حساب می‌شود و بین خط مماس و خط محیط زاویه حدبیه می‌شود آن زاویه‌ای که بین محیط و قطر در دل قاعده است و اسم آن را من پیدا نکردم اگر اسمی گذاشته باشند مثلاً زاویه خمصیه با صاد بگوییم چون خُمُص کف یک چیزی می‌باشد زاویه قعریه مثلاً بگوییم مقعر و محدب باشد نمیدانم تقعریه بگوییم نمی‌دانم اسمی اگر پیدا کردید به من بفرمایید که این زاویه داخلی را چه می‌گوییم آن پشت دایره و طرف تحدب دایره است این زاویه درون دایره بین محیط و قطر می‌باشد این هم زاویه‌ها. دو تای آن‌ها روی‌هم‌رفته نود درجه می‌باشد.

شاگرد: حُدبیه و قَعریه با یکدیگر نود درجه می‌باشد؟

استاد:نود درجه می‌باشد و خیلی روشن است چون زاویه قائمه مادر این دو را در قوس دایره نصف کرده است. تنصیف نمی گویم بلکه تقسیم کرده است و از عجایب امرخلقت و هندسه می‌باشد. هر محیط دایره ای این زاویه قائمه را تقسیم می‌کند به کوچک ترین زاویه حاده نسبت به مستقیمة الخطین و بزرگ‌ترین زاویه حاده نسبت به مستقیمة الخطین می‌باشد. یعنی زاویه حَدبیه از هر زاویه مستقیمة الخطینی که خطش قوس نداشته باشد کوچک‌تر است. محال است که شما بتوانید یک زاویه مستقیمة الخطینی رسم کنید و کوچک‌تر از زاویه حَدبیه باشد و اقلیدوس استدلال کرده ثابت هم هست و الآن هم همه قبول دارند و هیچ مشکلی هم ندارند. کما اینکه زاویه بین محیط با قطر که درون دایره می‌باشد آن هم بزرگترین زاویه حادّه مستقیمة الخطینی است و اگر آن طرف تر بروید زاویه قائمه می‌شود. ممکن نیست و اگر بگویید ما بینشان دفتی می‌زنیم و یک چیزی درست می‌کنیم که از این زاویه تقعریه و آنی که در دل دایره است یک زاویه دیگر بین آن پدید بیاید این ممکن نیست پس این هم از حیث برهان.

 پس اقلیدوس چه گفته است؟

الثّامن: أنّ إقلِيدس برهن في الشّكل الخامس عشر من المقالة الثالثة من كتاب “الأُصول ” على أنّ الزّاوية الحادثة بين عمود اخرج من طرف قطر الدائرة وبين المحيط أحد من جميع الحواد المستقيمة الخطين فإذا تحرّك العمود: فإمّا أن يقطع هذه الزّاوية في آن، أو في زمان فعلى الأوّل: يكون قد قطع جزءاً لا يتجزّأ .وعلى الثّاني: يلزم تحقّق حادة مستقيمة الخطين في اثناء الحركة أصغر من تلك الزّاوية…[3]

«برهن اقلیدوس فی الشکل الخامس عشر من المقالة الثالثه من کتاب الاصول علی ان زاویة الحادثه بین عمود اخرج کمن طرف قطر الدائره» سه نقطه روی قطر دایره وجود دارد دوتا نقطه روی محیط دایره می‌باشد و یک نقطه هم مرکز دایره لذا آن نقطه طرف قطر که در این وسط وجود دارد.

شاگرد:دو طرف آن می‌باشد.

استاد: دو طرف آن می‌باشد. عمودی که اخرج من طرف قطر الدایره عمود که اخراج می‌کنیم زاویه قائمه مستقیمة الخطین به وجود می‌آید. بینشان قوس دایره رسم شده است و این دو زاویه که در دل این است آنی که زاویه‌ای که حادث می‌شود بین عمودی که «اخرج من قطر الدایره و بین المحیط» بین محیط و بین خط عمود و نه بین محیط و قطر این‌ها با این توضیحات روشن است که بین خط و محیط می‌باشد.

شاگرد: داخل دایره است؟

استاد: بیرون دایره است بین خط‌های مماس با دایره پس بیرون دایره می‌شود اما بین دایره و قطر درون دایره می‌شود ملاحظه کردید. خب زاویه‌ای که بیرون دایره است یعنی از سر عمود اخراج شده و بین محیط قرار گرفته «احدُّ من جمیع الحواد مستقیمة الخطین» از هر زاویه مستقیمة الخطینی کوچک تر است. نهایت کوچکی را دارد کما اینکه مقابلش در همان صفحه اقلیدوس گفت «العمود الخارج من طرف القطر یقع خارج الدایره» یک و لایقع بینه و بین المحیط خط آخر مستقیم بین آن خط مماس و آن محیط یعنی دایره را قطع نکند و بیرون دایره باید باشد بین محیط و آن خط مماس محال است خطی رسم شود تمام شد! دیگر خودتان می‌فهمید اگر قرار بود یک زاویه مستقیمة الخطینی کوچک تر باشد می‌شد یک خطی بین این‌ها رسم کرد اما چون محال است یک خطی بین این‌ها رسم کنیم معلوم می‌شود هیچ زاویه مستقیمة الخطینی بین این دو تا نداریم این کوچکترین آن هاست و ممکن نیست خطی رسم کنیم «و یقع بینه و بین المحیط خط آخر مستقیم و یکون زاویة نصف الدایره» زاویه نصف دایره همینی است که عرض کردم زاویه نصف الدائره یعنی زاویه‌ای که درون آن نصف دایره قرار می‌گیرد از نقطه تماس تا نقطه متقاطع تماس زاویه نصف دائره می‌باشد.

شاگرد: همان قعریه است؟

استا: بله زاویه بین محیط و قطر می‌باشد. «اعظم من کل حادة مستقیمة الخطین» از هر حاده مستقیمة الخطینی حاد و بزرگتر است و بزرگتر از آن دیگر نداریم و اگر بخواهیم یک کمی بزرگتر کنیم زاویه قائمه می‌شود. «و التی یحیط بها المحیط و العمود اصغر» آنی که بین محیط و بین آن عمود برخط مماس است «اصغر من زاویة الحاده» این مدعا بود.

شاگرد: دلیل این‌ها را نمی‌گویید؟ می‌توانیم تصور کنیم یک زاویه کوچکتر باشد مثلاً شما اگر چند دایره تو در تو قرار دهید بعد این دایره بزرگتر که زاویه کوچکتر است را خطش را مستقیم در نظر بگیریم یعنی همان که شروع می‌کند و لو میلیونیوم بگذاریم و درون منظومه شمس قرار دهیم تا بتوانیم انجام دهیم بعدان دایره باآن دایره دیگر با یکدیگر مماس کنیم بعدخلاصه آن زاویه کوچکتر از این است.

 

برو به 0:20:47

جزء‌لایتجزء-اثبات جزءلایتجزء

اهمیت کار با صفحات html

استاد: من دو نکته را تذکر بدهم یکی اینکه این نسخه اصول اقلیدوس متأسفانه تا آنجایی که من می‌دانم هیچ چاپی ندارد نسخه‌های انگلیسی چقدر کار کردند در اینترنت گذاشته‌اند و تحریر خواجه و نسخه‌های دیگر یک تحقیقی شده باشد! هیچ چیزی ظاهراً ندارد و ترجمه فارسی لااقل شده باشد! اصلاً نشده است. خیلی عجیب است و کتابی به این مهمی حتی یک چاپ هم ندارد. حالا ما چند سال بیشتر که مشغول بودیم بخشی ماشین نویسی شد و بخشی هم یک آقای دیگر آمدند دادند و فایل ورد بخشی از آن آماده شد تقریباً کلش به صورت ناصحیح و غلط زیاد وجود دارد و بخش کمی هم تصحیح شده است. شکل‌هایش هم  بخشی ازآن کشیده شده و بخشی هم هنوز مانده است نسخه ورد آن خیلی مشکلات داشت فقط برای اینکه پرینت بگیرم چاره‌ای نبود تا ورد باشد خیلی هم ویراستاری اچ  دی ام ال و صفحات وب آن وقت هنوز باب نشده بود و بیشتر برای پرینت بود. قبلتر هم عرض کردم  الان در فضای کاری و درسی کسانی که می خواهند زحمات خودشان را مباشرة خودشان دسته‌بندی کنند و تقسیم کنند یاد گرفتن این ویراستاری صفحات وب خودشان منبع آن را باز کنند و ویراستاری کنند و برای خودشان نگه داری کنند و هرجوری طبق سلیقه خودشان باشد یادگیری آن خیلی خوب است.

یکی از کارهایی که خیلی خوب است و خودش هم تمرین به حمل شایع است همین تحریر اقلیدوس و خلاصه الحساب امثال این‌ها در یک فولدر در صفحات وب به‌صورت یک فایل اچ دی ام ال در بیاید یا چند فایل. الآن آن نسخه ای که مباحثه می‌کردیم دوستانی که تشریف داشتند و یکی از مهم‌ترین چیزهایی که در آن بود ارجاعات آن بود همین دهن باز می‌کرد زیرش نوشته بود چرا؟ چون قرار بود ما هیچ چیزی از بیرون نیاوریم یک چند تا عنصر تعریف‌شده اولی و چند اصل موضوعی هیچی از بیرون نباید بیاید. لذا تا دهن باز می‌کرد. سوال می‌شد از کجا؟ باید برگردانیم به قبلی ها زیرش ریز می‌نوشت. کتاب را اگر ببینید زیر هر کلمه‌ای و هر گامی که مرحوم خواجه یا خود اقلیدوس برمی‌دارد یک چیز ریز می‌نویسد آدرس است به آن شکلی که اسم مقاله آمده و ترکیبی است مثلاً می‌نویسد «الف ید» یعنی مقاله اول است و شکل دوازدهم دو تا کلمه کنار هم الآن با این صفحاتhtml  اگر کسی تمرین کند و بعدا چیز خوبی هم در بیاید و بعداً برای سایرین هم قابل استفاده ‌بشود خیلی راحت می‌شود و قبلاً قرار بود بگردی و صفحه‌اش را پیدا کنی.

شاگرد:تصاویر هم با یک قالب spj  می‌شود نشان داد.

استاد: بله تصاویر هم با یک لینک ساده و از ورد خیلی ساده‌تر است در ورد تصویر کمی جابه‌جا می‌شد چقدر مشکل بود تا دوباره تنظیم کنند تا خوب در بیاید و این پیچیدگی در این دیگر نیست یک لینک ساده می‌گذارید و فایل تصویر جدا بوده ولی در بروزر این را نشان می‌دهد علی ای حال این کار خیلی خوبی است کتاب‌های قدیمی را مثل خلاصة الحساب، تشریح الافلاک و … به‌عنوان تمرین هم که باشد دستتان روان می‌شود برای ویراستاری پیاده می‌کنید و در این صفحات در می‌آورید به درد خودتان و دیگران هم می‌خورد و لینک های این‌ها خیلی مهم است به‌خاطر زحماتی که قبل از آن بود و الآن نیست و شما با یک اشاره فوری آن شکل را می‌آورید و عبارتش را می‌خوانید و دوباره برمی‌گردید این هم یک نکته‌ای که برای تمرین که اگر نظر شریفتان باشد انجام دهید به‌خصوص برای آن‌هایی که جوان تر هستند و حال دارند وقت هایی که قرار است بگذرانند. زیرا جوانی یکی نشاط و قوه زیاد دارد و یکی ضیق سعه اطلاعات هر کسی اطلاعاتش بیشتر است علاقه اش برای کارهای علمی بیشتر است چه زمانی سعه اطلاعات پیدا می‌کنیم وقتی که پیر شده است و جوارح جواب می‌کند و دیگر نشاط نیست چشم نیست وقتی که جوان است و قوای جسمانی نشاط دارد،  اطلاعاتش وسیع نیست و می‌گوید چه کاری انجام دهم؟ می‌رود دنبال کار هرز لذا وقتی این موقعیت‌ها پیش می‌آید و پیشنهادش داده شود در ایام جوانی به جای اینکه برود وقت را بگذراند. چون اطلاعات وسیع ندارد لااقل این را پیاده می‌کند و تمرین می‌کند هم برای خودش و دیگران روان می‌شود و این کار های علمی است و همچنین صدها کتاب دیگری که می‌توانند روی آن کار کنند.

اعضال میرداماد

نکته دوم اعضالاتی بود که مرحوم میرداماد رساله اش را گفته‌اند که اولین اعضال مربوط می‌شود به همینی که شما گفتید و شکلش را کشیده بودم ببینید این شکل کناری همین حرفی است که اعضال اول است شما ببینید مثلاً با یک قابلمه یک دایره می‌کشید بعداً هم یک خطی بر آن مماس کنید که از رأس قطر آن عمود رد شود همان جایی که نقطه عمود است در نقطه تماس اگر دو دایره مرکزشان یکی باشد یکی قابلمه و دیگری لیوان باشد مرکزشان یکی است و دیگری درون آن یکی می‌افتد اما اگر نه در نقطه تماس محیط های آن‌ها یکی شود یعنی یک قابلمه‌ای که رسم کردید و یک نقطه تماس دارد و مرکزیک لیوانی را بالا بالا بیاورید در نقطه تماس با لیوان یک دایره بزنید در نقطه تماس دو محیط مماس یکدیگر است نقطه تماس یک نقطه است پس معلوم می‌شود دو محیط ها در آن جا روی هم آمده‌اند سه چیز روی یک شیء با یکدیگر شریک هستند محیط لیوان، محیط …

شاگرد: چهار چیز

استاد:‌الان من سه تاالان منظورم می‌باشد.

شاگرد: چهار چیز یکی قطر است، یکی مماس.

استاد:‌بله درست است، قطر هم بوده چون قطر در هر دو دایره مشترک فرض گرفتم. درست است. یک نقطه است و چهار چیز در آن شریک می‌باشد هم رأس قطر، هم نقطه تماس و رأس آن عمود، هم نقطه تماس دایره قابلمه است و هم نقطه تماس دایره لیوان هم می‌باشد خب قطر لیوان خیلی پایین‌تر است یعنی زاویه حدبیه لیوان پهن تر است یا زاویه حدبیه قابلمه؟ خیلی روشن است  زاویه قابلمه چون دایره اش خم آن بیشتر است تقوس قوس دایره شدید‌تر است. تقوس دایره قابلمه کمتر است.

شاگرد: خط آن بین این دو می‌افتد؟

استاد: بله من اینجا کشیده‌ام چهار تا دایره با یک خط تماس رسم کردم این دایره بزرگ  حدبیه اش این است آن دومی تا اینجا می‌آید این اندازه پهن تر می‌شود حالا همین‌طور اگر به جای لیوان مثلامداد تراش بگذارید و بعد هم به جای مداد تراش باطری های ریز بگذارید همین‌طور تا کجا می‌ایستد؟ دایره را تا چه اندازه قطرش را می‌توانید کوچک کنید؟

شاگرد: جزء لایتجزا.

استاد: جزء لایتجزا هم در قطر نداریم. شما هر چقدر بخواهید این قطر را ریز کنید تا بی‌نهایت می‌توانید قطر دایره را ریز ببینید و  از حیث محاسبه در قطر به صفر نمی‌رسید بنابراین زاویه حدبیه ما تا بی‌نهایت بزرگ می‌شود زاویه حدبیه که زاویه بین خط با محیط است تا اندازه دایره شما چه مقدار باشد اگر دایره ای بزنی که بزرگی آن اندازه کهکشان راه شیری باشد این دایره زاویه حدبیه اش یعنی زاویه‌ای که بین خط مماس قرار می‌گیرد خیلی کم است چون قوس آن باز است اما وقتی همین دایره بسیار کوچکی باشد همان دایره حدبیه است نقطه تماس که فرقی نکرده ولی دامنه حدبیه اش بازتر است خب از این طرف تا بی‌نهایت می‌تواند زاویه حدبیه باز شود برهان اقلیدوس فرقی نمی کند او می‌گوید چه دایره شما بسیار ریز یا بسیار بزرگ باشد بین این خط مماس و آن خط، خط دیگری را نمی‌توانید رسم کنید خط مستقیمی که زاویه مستقیمة الخطین درست کند نمی‌شود.پس احد الحواد یعنی علی ای حال زاویه حدبیه از هر زاویه‌ی حاده ای کوچکتر است.

 

برو به 0:30:47

حالا از آن طرف بیایید یک زاویه حاده مستقیمة الخطین در نظر بگیرید در شکل اول این زاویه مستقیمة الخطین است زاویه یک دو سه زاویه یک و دو حدبیه بود و تقعریه و زاویه سه حاده مستقیمة الخطینی از همان نقطه تماس می‌باشد. این زاویه را می‌شود کوچک کرد یعنی اگر بیست درجه است ده درجه می‌کنید تنصیف می‌کنید، تنصیف زاویه در هندسه برهانی است. بیست درجه را ده درجه یک درجه نیم درجه بعد یک چهارم درجه در کجا کوچک کردن زاویه مستقیمة الخطین می‌ایستد؟ هیچ کجا نمی ایستد و تا بی‌نهایت هست تا بی‌نهایت هر چه کوچک کنید و ریز شود باز هیچ کجا نمی ایستد  شما تا بی‌نهایت زاویه مستقیمة الخطین را می‌توانید کوچک کنید یعنی دهنه باز آن می‌آید و هیچ کجا در بی‌نهایت هم این دو به هم نمی‌رسد ولی میل می‌کند به اینکه به هم منطبق شود می‌گوییم وقتی این را کوچک می‌کنید در بی‌نهایت به‌صورتی می‌شود که این دو به همدیگر منطبق شود این اعضال است که از ناحیه دیگر خود اقلیدوس گفته است که هر کمّی را که شما در نظر بگیرید از تناسب است که الاصغر یصیر بالتضعیف مرة بعد اخری اکبر من الاکبر اگر دو چیز داشته باشد که یکی کوچک باشد و دیگری بزرگ باشد آن کوچک را هر چقدر بزرگ کنید آخرش از آن بزرگ جلو می‌زند اگر یک کمّی و مقداری دارید که یکی اصغر و دیگری اکبر است آن اصغر را اگر تضعیف کنید یعنی زیادش کنید شما یک میلیارد دارید و از آن طرف نیم دارید.خب  نیم کمتر از یک میلیارد است. نیم را زیادش کنید دو میلیارد بار که این نیم را اضافه کردید به جای میلیارد می‌رسد و یک بار دیگر که تضعیفش کردید و از آن بزرگ جلو می‌زند کل اصغر یصیر بالتضعیف مرة بعد اخری اکبر من الاکبر.

شاگرد: مع ثبوته اگر اکبر را ثابت نگه داریم.

استاد: فرض همین است خب اعضال این است یک زاویه حاده مستقیمة الخطین داریم به شکل اول گفتیم کوچکتر از آن احدّ الحواد است ولی خب این احدّ الحواد را شما می‌توانستید با کوچک کردن قطر دایره بزرگش کنید، تضعیف یعنی این بزرگ می‌شود و دهانه‌اش باز می‌شود و هیچ کجا نمی ایستد و تا بی‌نهایت می‌توانید دایره را کوچک کوچک کنید و این زاویه حدبیه باز شود.

شاگرد: تضعیف به این صدق می‌کند؟ یا ازآن طرف می‌خواهد بیاید که مشکل اصلی رخ می‌دهد یعنی به جای این‌که تضعیف این را مطرح کنیم تنصیف دیگری را مطرح می‌کنیم.

استاد: فرقی نمی‌کند ما طرفین را می‌خواهیم بگوییم از این ناحیه تناسب فرقی نمی‌کند الآن دیگری را هم مطرح می‌کنیم.

شاگرد: چون دو دایره ای که در حال رسم کردنش هستیم نمی‌توانیم بگوییم که این زاویه دوم ضعف زاویه قبلی است.

استاد: اندازه سطح را در نظر بگیرید ببینید را این سطح دایره بزرگ بین محیط با خط با دایره کوچکتر دیگر، سطحش را در نظر بگیرید بین محیط با آن سطح چگونه است.

شاگرد: تا کجا؟

استاد: تا خط مماس همین فاصله شروع سطح.

شاگرد: منظور من از لحاظ اینکه قطر تا کجا می‌رود این یک بازشدگی است بازتر می‌شود تا کجا سطح را بسنجیم و جلو برویم بعد بخواهیم ضعفش کنیم؟

استاد: مثلاً دو برابر آن  خط مستقیمی را اندازه گرفتیم فاصله بین محیط با آن خط مستقیم ده سانتی‌متر باشد و دایره ای رسم می‌کنید که فاصله بین آن تا دایره دوم بیست سانتی‌متر باشد تضعیف به این معنا علی ای حال سطح بزرگتری را به خودش اختصاص می‌دهد دایره سوم بازتر می‌شود.

شاگرد: فاصله اش تا قطر موازی و مرکز

استاد: بله با مرکز واضح است و به چشم دیده می‌شود یعنی ببینید سطحی که اینجا هست با سطحی بین دایره کوچکتر هست سطح وسیعتری است اگر بخواهند زمینی درست کنند و درون آن بازی کنند آن وسیعتر می‌باشد. خیلی روشن است یک دایره بزرگ بکشید با خط مماس با یک دایره کوچک پس اگر بخواهند زمینی درست کنند با سطحی که بین محیط کوچک است با خط مماس با محیط بزرگ خیلی سطحش کمتر است.

شاگرد: لاجرم باید مقدار جلو رفته آن را تنظیم کنیم با کوچکترین دایره ای که نهایتاً می‌خواهیم رسم کنیم.

استاد: دایره تا بی‌نهایت می‌رود صحبت سر این است و اعضال این است که تا بی‌نهایت می‌رود و تا بی‌نهایت این سطح می‌تواند بزرگ شود تا جایی که برسد به …

شاگرد: مقدار جلو رفتگی آن را بایدخیلی کم بگیریم برای اینکه سطح را محاسبه کنیم و دو برابر کنیم.

استاد: مانعی ندارد، بزرگ شدن سطح را می‌گویید. پیشرفت بی‌نهایت می‌شود، خود سطح منظور من نیست.

شاگرد: متوجه هستم ما یک نقطه تماس داریم و یک خط مماس و یک زاویه‌ای که ضلع خمیده است حالا می‌خواهیم سطح را محاسبه کنیم باید حساب و کتابی باشد.

استاد: زاویه می‌خواهیم.

شاگرد:  بالأخره ما سطح را می‌خواهیم.

استاد: زاویه‌ای که سطح بیشتری دارد نه اینکه سطحش هم حتما دو برابر باشد.

شاگرد: پس ضعفی که اینجا می‌گوییم لزوماً دو برابر نیست.

استاد: بله آن فاصله حالش بیشتر می‌شود فاصله‌ای که بین خط بود تا محیط این فاصله بیشتر شد. می رویم جلو و فاصله بیشتر می‌شود.

شاگرد: اینجا باید ضعف باشد.

شاگرد: اشکال ایشان به اینجا بر می‌گردد که اگر ضعف را به اندازه خودش نگیریم آن اشکالی بود که هر چقدر نیم به آن اضافه کنیم به یک نمی‌رسد.

استاد: متناقص باشد.

شاگرد: حالا متناقص باشد.

شاگرد: متناقص نباید باشد یا باید متزاید باشد یا باید ضعف دقیق باشد. حالا بخواهیم ضعف دقیق را حساب کنیم مسئله سر این است این ضعف، ضعف فاصله است؟ یا ضعف سطح است؟ علی ای حال این فاصله را باید از یک نقطه‌ای از این مماس تقدیر کنیم، این نقطه کجاست؟لاجرم بایستی به این سطح خمیده برسد و شما هر چقدر این را کوچک می‌کنید مجبورید از این طرفتر بگیرید یعنی به نقطه تماس نزدیکتر بگیریم و آن فاصله را اندازه‌گیری کنید مشکل همین‌جا است که تصور آن‌ اضعاف کردن مشکل می‌شود.

استاد: خب الآن نقطه تماس را مرکز بگذارید.

شاگرد: مرکز ؟

استاد: مرکز می‌خواهیم تا قوس بزنیم در نقطه تماس یک قوس بزنیم طوری این قوس را بزنید که از این دوایر ده تا دایره را قطع کند و پشت دایره‌ها نرود و می‌شود قوس را جایی زد که پشت دایره و دایره درون قوس بیفتد ولی نه.  ده دایره داریم کوچک و کوچک می‌شود

شاگرد: مجبورید قوس را کوچک کنید.

استاد: بله فعلاً برای اینکه ….

شاگرد: خود این قوس باید از کوچکترین دایره ای که داریم کوچکتر باشد.

استاد: تا بی‌نهایت نمی‌توان کوچک کرد. یعنی ما نمی‌توانیم کوچک کنیم یعنی آخرش در این سری بی‌نهایت ما بسیاری از این دوایر درون این قوس قرار می‌گیرد ولی برای مقصود ما که پیشرفت دوایر است می‌توانیم بگوییم ده تا دایره کوچک هستند به همین نحوی که در نقطه تماس مشترک هستند قوسی می‌زنیم که هر ده تا را قطع کند این‌که ممکن است آیا فاصله این قوس از خط آن تا نقطه تقاطع هر دایره ای نسبتش به چه نحو است؟ یک فرمول دارد.

شاگرد: یعنی شما می‌خواهید در آن قوس جدیدی که زده‌اید به اصطلاح مقدار قطاع و قطعه را  دو برابر کنید؟

استاد: احسنت نه دوبرابر مهم نیست مهم این است که زیاد می‌شود.

شاگرد: دو برابر مهم است.

شاگرد: اینجا باید یا مساوی باشد یا متزاید باشد. از آن طرف اشکال ایجاد می‌شود که به جای تضعیف به سراغ تنصیف برویم و آن وقت سؤال می‌شود که از تنصیف می‌شود به جایی برسیم که از تضعیف ‌رسیدیم یعنی کل اکبر یکون اصغر من الاصغر این هم می‌شود گفت و اشکال ایجاد می‌شود یعنی کل اکبر یکون بالتنصیف متوالیا اصغر من اصغر این را اگر بتوانیم بگوییم آن وقت می‌شود این حرف را زد که این اعضال پدید می‌آید.

استاد: یعنی در تنصیف مستقیمة الخطین که مشکلی نیست تا بی‌نهایت می‌شود.

شاگرد: بله حداقل تصویر دارد.

 

برو به 0:41:16

استاد: و این طرف تناسب را هم می‌آورد و مانعی ندارد و در زاویه داخل دایره هم باز می‌آید ولی صحبت سر این است که تضعیف زاویه حدبیه به چه صورت باشد و اعضال هم خیلی مبتنی‌بر این نیست و بخشی هم از این باشد کافی است و من می‌خواهم حرف اصل اعضال را ترسیم کنم علی ای حال  بزنگاه اعضال این است که این زاویه حدبیه را میتوانید به هر نحوی بزرگ کنید و اصل بزرگ شدن آن شهودی است درست شد؟ از آن طرف زاویه مستقیمة الخطینی که از این زاویه حدبیه به هر نحوی رسم می‌شود چه بزرگ یا چه کوچک باشد مستقیمة الخطینی که از این کوچکتر است آن را باز می‌توانید کوچکترش کنید یک زوایه کوچک داریم عرض می‌کردم که اصل این اعضال این است که هر چه تا بی‌نهایت زاویه بزرگ می‌شود و از آن طرف زاویه مستقیمة الخطین تا بی‌نهایت کوچک می‌شود ولی برهان اقلیدوس باز سرجای خودش می‌باشد یعنی این تا بی‌نهایت کوچک می‌شود ولی درعین‌حال بزرگتر است از آن زاویه‌ای که بی‌نهایت بزرگ شده است زاویه حدبیه ای که بی‌نهایت بزرگ شده دائماً کوچکتر است از زاویه مستقیمة الخطینی که تا بی‌نهایت کوچک شده است و بی‌نهایت کوچک شده بزرگتر است از زاویه بزرگ شده تا بی‌نهایت این اولین اعضالی است که مرحوم میرداماد فرمودند.

اعضالات میرداماد- میرداماد-جزءلایتجزء

والحمدلله رب العالمین و صلی الله علی محمد و آله الطیبین الطاهرین.

 

---

 

[1] شوارق الالهام، ج۳، ص۱۳۳

[2] ELEMENT

[3]– شوارق الالهام، ج3، ص133