بسم الله الرحمن الرحیم

 

 

 

ماهیت زاویه

فورد عليه إشكال: وهو أنّ السّطح منقسم في جهتين، والزّاوية إنّما ينقسم في جهة واحدة، فيكون سطحاً.

ولصعوبة هذا الاشكال، ذهب كثير منهم إلى أنّ الزّاوية من مقولة الكيف، زعما أنّها هيئة انحدابيّة عارضة للسّطح المذكور .

والعجب أنّه لا ينفعهم ذلك، لأنّ معروض الانحداب من حيث هو معروض له لا ينقسم، إلاّ في جهة مع كونه سطحاً .

بل التحقيق: هو أنّ السّطح مثلاً: قد يؤخذ من حيث أنّه متعيّن من جميع الجهات، كما في الأشكال المسطحة .[1]

استاد: فرمودند که «و لصعوبة هذا الاشکال ذهب کثیر منهم الی ان الزاویة من مقولة کیف» کلام سر تعریف زاویه بود زاویه چیست فرمودند: «السطح المنحدب» زاویه سطح است و آن هم سطح برآمده است. سطح منحدب خب اشکال این بود که «ان السطح منقسم فی جهتین» سطح دو بعدی است همین طوری که خط طول محض و یک بعدی است، سطح هم طول و عرض محض بدون عمق است و دو بعدی است. بنابراین از دو طرف سطح تقسیم می‌شود. مساحت که می‌خواهید به دست بیاورید طول را ضرب‌در عرض می‌کنید.

 خواه مساحت صحیح باشد مثل هندسه های متعارف یا مساحت کسری باشد فراکتال باشد  مثل هندسه های برخالی که ضرب آن طول و عرضی هست اما ضرب آن ضرب صحیح نیست واحد آن یک در یک نیست. عرض کنم علی ای حال سطح این است سطح آنی است که این حالت طول و عرض را دارد ولی عمق ندارد از بعد سطح به جسم می رود. جسم هم طول هم عرض هم عمق دارد ولی باز در جسم تعلیمی زمان نیست یعنی شما یک مکعب را در نظر بگیرید دیروز و فردا ندارد. بعد چهارم دیگر ندارد وقتی می آیید در عالم حرکت و جسم و فیزیک و…. آن وقت چهار می‌شود. فضا زمان هم مطرح می‌شود با اصطلاحات امروزی که یک چیزی می شود که چهار تا بعد را با هم دربردارنده است حالا بعدا بُعدهای بیشترهم … علی ای حال زاویه از آن دو بعدی هاست طول و عرض دارد فقط طول محض نیست مثل خط بلکه سطح است خب حالا که سطح شد؛ سطح باید از دو جهت تقسیم شود شما یک مربع یک مستطیل را که سطح باشد از ناحیه ی طول هم می‌توانید تقسیم کنید و از ناحیه ی عرض هم می‌توانید تقسیم کنید. دو بعدی  دو تا بعد دارد از ناحیه هر  بعدش قابل تقسیم است. آن وقت زاویه فقط از یک طرف قابل تقسیم است زاویه از یک جهت قابل تقسیم است نه از دو جهت پس چطور سطح است؟ «اشکال ان السطح منقسم فی الجهتین و زاویه انما ینقسم فی جهة واحده فکیف یکون سطحاً» که این نسخة شما بود «فکیف یکون سطحاً» در کتاب ما «فیکون سطحا» که غلط بود خب «ولصعوبه هذا الاشکال» اشکال این  است که خب زاویه سطح چرا فقط از یک طرف تقسیم می‌شود. شما هرگز نمی توانید یک زاویه را مثل یک مستطیل طول و عرض بدهید. هم از جهتی سطح است هم از جهتی طول و عرض ندارد این را چه کار کنیم؟ لصعوبة هذا الاشکال. اصلا واقعیت زاویه چیست؟ اگر سطح است پس چرا طول و عرض ندارد؟ از یک جهت فقط تقسیم می‌شود. اگر سطح نیست، پس چرا می بینیم که یک فضایی به خودش اشتغال میدهد؟ چون زاویه 45 درجه را که در نظر می‌گیرید روی صفحه رسم می‌کنید صفحه را به خودش اختصاص می‌دهد. این با مثلث چه فرقی می‌کند؟ مثلث یک ضلعش را بردارید حالا که برداشتید آیا از سطح بودن خارج شد؟ یک ضلع مثلث را بردارید یک زاویه می‌شود، یک ضلع سوم هم می‌گذارید سه تا زاویه پدید می‌آید. همین ضلع سوم مثلث را برمی‌دارید، زاویه می‌شود. درحالیکه سطح بود و با برداشتن یک ضلع یک دفعه که سطح  بی‌سطح نمی‌شود که، ولی وقتی ضلع سومی مثلث را می گذارید، طول و عرض پیدا می‌کند، می‌توانید از طرف طول و  عرض تقسیم کنید ولی وقتی این ضلع سوم را بر می‌دارید دیگر قابل تقسیم نیست مگر از ناحیة فاصله‌ی بین دو تا ضلع از ناحیة دیگر قابل تقسیم نیست. نمی‌شود از طرف طول بگویم قابل تقسیم هست.

شاگرد: پس عرض آن قابل تقسیم هست؟

استاد: بله حالا عرض و طول را هر چقدر جلوتر برویم خصوصیاتشان روشن‌تر می‌شود که مشکل هر کدام کجاست. انحداب می‌گوید که خط طرف آن نیست این «هو السطح المنحدب» که دیروز عرض کردم یعنی شما با قرار دادن رأس زاویه به‌عنوان  مرکز، یک قوس بزنید قوسی که تا بی‌نهایت بتوانید برویدجلو،  زاویه کجاست؟ اصلا زاویه ندارد. جلو بروید زاویه است برگردید زاویه است نمی‌توانید از طرف طول زاویه را نصف کنید. وقتی جلو می‌رود این را نصف کن، این که نصف ندارد.  آخر ندارد. این طور چیزی است که از این طرف باز است ولی بله از طرف پهنا قابل تقسیم است. می‌گوییم این زاویه 45 درجه را نصف کن. نصف معنا دارد برایش. انقسام، تقسیم، نصف و اجزا این ها برایش معنا دارد. اما از طرف جلو رفتن زاویه نصف ندارد.

شاگرد: البته در مورد زاویه مستقیم الخطتین است.

استاد: بله فعلا بحث سر اصل است تا ببینیم بعدا مختلفة الخطین چه می‌شود.

شاگرد: از طرف پهنا که قابل تقسیم است یک فضایی را تقسیم می‌کنیم نه عرض آن را مثل عرض مستطیل. درست است؟

شاگرد۲: بهتر است بگوییم بازشدگی.

بله، بازشدگی. شما وقتی می‌فرمایید 90 درجه، نصف آن 45 درجه است در فضای نود درجه ای شده دو تا  فضای 45 درجه ای نه عرض بین این دو خط مستقیم نیست.

استاد: یعنی ما زاویه را از طریق خط وتر هم می‌توانیم نصف کرد یعنی زاویه را شما گاهی با قوس نشان می‌دهید کما اینکه حالا متداول است و قدیم هم بوده یا به وسیله وتر نشان می‌دهید هر زاویه خودش یک وتر هم دارد ولی وتر خاصی ندارد که شکل درست کند وترهای بی نهایتی دارد که با هم دیگر فرق هم می‌کند، چرا زاویه را با قوس نشان می‌دهیم؟ چون قوسها متشابه‌اند. با یک قوس  همه را نشان می‌دهیم. بله؟

شاگرد: وتر؟

استاد: وتر این جور نیست وترها بی نهایت اند اما متفاوت هر کدام با دیگری فرق دارند.

شاگرد: برای تقسیم بندی هم نمی توانیم روی آن تساوی اجرا کنیم.

استاد: یعنی همین نقشی را که  بی نهایت وتر برای زاویه مستقیمة الخطتین دارد همین نقش را قوسها در زاویه‌های مختلفة الخطین ایفا می‌کنند یعنی آن جا هم وترها مختلف اند اینجا قوسها متشابه‌اند اما آنجا قوسها متشابه نیستند مثل وترهای اینجا آن‌ها  همه تفاوت می‌کنند حتی درجه‌شان  و لذاست که لوازم دارد حالا بعد بحثش می کنیم انشاالله.

شاگرد: حاج آقا ما اشکال را نفهمیدم.  این که زاویه سطحی باشد که طول و عرض نداشته باشد، چه مشکلی دارد؟

استاد: می گویند زاویه چیست آیا از مقوله کم یا کیف است؟ و لذا با این صعوبت عده‌ای اصلا جنس الاجناس را عوض کردند. گفتند: چه کسی گفته زاویه از این جنس الاجناس کم است؟ از جنس الاجناس کیف می‌باشد؛ تعریف کم چه بود ما یقبل الانقسام نسبت چه بود ما یقبل النسبه، کیف چه بود ما لا یقبل القسمه و لا النسبه. که عرض می‌کردم که کیف مثل همیان آخری می باشد که هر چه نشد می‌اندازند در آن، تعریفش دو تا سلب است لا یقبل النسبه و لا القسمة. در کتاب‌ها به این صورت آمده است.

ماهیت زاویه-ماهیت کم -جنس الاجناس-ماهیت کیف

سطح نامتناهی

شاگرد: سطوحی که به اصطلاح محدود نیستند آن جا همین مساله را نداریم؟

استاد: چه مساله‌ای؟

شاگرد: سطح، مثل یکسری سطوح متناهی داشتیم و سطوح نامتناهی داشتیم در مورد سطوح متناهی بله وقتی تقسیم از هر دو طرف مطرح است. نصف کردن معنی دارد اما اگر سطح، سطح نامتناهی باشد باز همین مساله پیش می آید. آیا آنجا هم می گوییم سطح نیست؟

استاد: سطح نامتناهی در فضاهای هندسی در مواردی‌که سر و کارشان با شکل است مطرح نیست.

شاگرد: در هندسه‌های جدید مطرح است.

 

برو به 0:09:30

استاد: جدیدا از خط شروع می شود. همین که گفتید خط یعنی دو تا نیم صفحه داریم تا بگویید خط جانب چپ و راست دارید. پس سطح نامتناهی ندارید به معنای نامتناهی بدون فرض خط، دو تا سطح دارید؛ نامتناهی واقعی من جمیع جهات، تعدد بردار نیست. خودش از همان جهت خودش است و لذا شما یک سطح نامتناهی ندارید. خب باید نشان دهید. ملاحظه می‌کنید وقتی نشان می‌دهید همان خطی را که برای نشان دادن آن سطح و موقعیت آن سطح و پارامترهایی که موقعیت آن سطح را تعیین می کند نشان می‌دهید خود همان خط تقسیم کرده است. این از یک جهت است.

شاگرد: البته ما سطح نامتناهی هم با دو تا خط مجبوریم نشان بدهیم. بدون دو تا خط تعین پیدا نمی‌کند.

استاد: یعنی خطی را که من الان فرض گرفتم به یک معنا تعین پیدا نکرده باشد ولی خلاصه خطیست که فرض گرفتیم خط نامتناهی است. پس دست راست دارد و دست چپ دارد. دست راست او سطح نیم صفحه ای نامتناهی است، دست چپ او هم نیم صفحه نامتناهی است.

شاگرد: خود این نیم صفحة نامتناهی به اصطلاح از دو جهت قابل تقسیم نیست؟

استاد: از جهت عدم تناهی قابل تقسیم نیست. چرا؟ چون ما متعینش نکردیم. خطی برایش در نظر نگرفتیم و لذاست که مختصات باید دو تا محور داشته باشد. مختصات دو بعدی باید دومحور داشته باشد و مختصات سه بعدی حتما باید سه محور داشته باشد. یعنی تا ما یک محوری قرار ندهیم برای یک بعدی، تقسیم و انقسام حتی عدم تناهی همة اینها برایش صرفا حالت ابهام دارد مثل موم می‌ماند هنوز. خمیر مایه و ماده‌اش هست ولی خودش هنوز نیست اگر درست عرض کنم.

سطح نامتناهی-

خط یا سطح بودن زاویه

شاگرد: حاج آقا ببخشید من هنوز نفهمیدم چرا زاویه اصلا مگر ما شرط کردیم کمّ که قابل انقسام بوده قابل انقسام را بر دو شرط کردیم؟

استاد: کمّ،  قابلیت انقسام دارد. کم انواعی دارد. کم متصل است و منفصل. ولی هر دو تا قبول قسمت می‌کند و کم متصل دوباره قار است غیر قار، باز هر دو قبول قسمت می‌کند ولی در هر دو فرق می‌کند در کم متصل قار که سه تا عضو دارد خط و سطح  و اینها. قبول قسمت اینها با هم فرق می کند. خط تنها در یک جهت، سطح در دو جهت، فصل آن است  فصل این نوع از کم می‌باشد، سطح نوعی از کم متصل قار است که فصل آن این است که قابل قسمت است در دو بعد و لذا وقتی جوهر را که به جسم می‌رسید و جسم تعلیمی می‌خواستید تعریف کنید چه می‌گفتید؟ هو الجوهر القابل للابعاد ثلاثه. قابل قبول سه بعد می‌کند.  یعنی به این ابعاد هم قابل انقسام در سه جهت می‌باشد اگر یکی را بندازید از جسم تعلیمی در می‌آید.

شاگرد: الان ما یک زاویه این جوری می کشیم به این صورت هم قسمت را شروع می‌کنیم این یک طرف سطح این هم یک طرف سطح چه مشکلی پیش آمد؟

استاد: ما نمی توانیم از دو جهت تقسیم کنیم و از یک جهت فقط می‌توانیم تقسیم کنیم مثل خط. یعنی بازشدگی  زاویه را می‌توانیم اندازه بگیریم اما پیشرفت زاویه یعنی چند است؟

شاگرد: اندازه را نمی‌گوییم قسمت را می گوییم اندازه غیر از قسمت می‌باشد، الان شما یک زاویه را در نظر بگیرید اصلا یک خط این جوری بزنید یک قسمت آن می شود این تیکه‌ای  که مثلث هست و یک قسمت آن هم آن تیکه‌ای است که بی نهایت است چه اشکال پیدا کرد؟

شاگرد: اگر درست متوجه شدم نیاز به یک توضیح اضافه‌ای دارد و آن هم اینکه ارتکاز ما از زاویه را ما قرار است تعریف کنیم بنابراین اگرما -فرض بفرمایید- آمدیم سطحی را که زاویه تشکیل داده را از جهت عمود بر آن خطی که الان زاویه را تقسیم می‌کند یک عمودی بر او رسم کردید گفتید خب ببینید من این را تقسیم کردم. خب اینجا عرض می‌کنیم درست است سطح را شما تقسیم کردید اما زاویه را تقسیم نکردید. به خاطر اینکه ارتکاز ما از زاویه و تقسیم زاویه در فضای ذهن ما با این منافات دارد این پس می‌زند ولو شما سطح تشکیل شده توسط آن دو خط را تقسیم کردید. در دو جهت هم تقسیم کردید اما در آن یکی جهت که می‌آید و تقسیم می‌کنید. عرف به شما می‌گوید زاویه را تقسیم نکردید.

شاگرد: حاج آقا همان مدل شما تقسیم کنید و از وسطش بزنید.

استاد: این زاویه تقسیم شد یعنی گوشه بازشدگی دیگر نصف می‌شود.

شاگرد: خب نصف شد الان چه مشکلی پیش می‌آید؟

استاد: پس زاویه تقسیم شد ولی تنها از یک جهت نه از دو جهت. پس خط می‌شود و حال آن‌که زاویه خط نیست. نصف شد می‌گوییم  45 درجه باز بود حالا 20 درجه بازه نصف 22 درجه است.

شاگرد: مثلا در سطح مربع که از وسط دو تیکه اش می‌کنید دو جهت آن چه  چیزی است؟ الان یک مربع وسطش یه خط می‌کشید  وسط آن دو تیکه می شود

شاگرد:از طرف عمود بر همان خطی که الان هم تقسیم کردید می توانید تقسیم کنید

استاد: شما یک مربع را نصف می‌کنید بعدا هم آن طرف چهارتاش می‌کنید چهار تا مربع کنار هم به دست می‌آید آن زاویه را می‌توانید  این کار را بکنید از دو جهت قابل انقسام نیست.

شاگرد: فقط یک مسئله ای که مهم است جهت را هم اینجا باید یک تعریف جدیدی از آن کنیم. چون اینجا جهتی که داریم، خودش تغییر می‌کند. بسته به اینکه به چند قسمت تقسیم می‌کنیم.

استاد: منظور از جهت،جهت ضلع های زاویه است؟

شاگرد: جهتی که در واقع با آن تقسیم می‌کنیم آن خطی که ترسیم می‌کنیم. چون زاویه یک بازشدگی است، شما بر اساس اینکه تقسیم شما متقارن یا نامتقارن است؟ و به چند قسمت دارید تقسیم می‌کنید این خطی که رسم می‌کنید، جهتش یکسان نیست یعنی در حقیقت جهت را باید مشخص کنید آنجا هم که تو شکل حاد داشتیم حرف می‌زدیم آنجا هم در حقیقت همین کار را می‌کردیم آنجا در رسم خط اولی که می‌خواستیم رسم کنیم، آزادی داشتیم می‌توانستیم در هر جهتی شکل را تقسیم کنیم. اینجا هم در حقیقت آن خط را که رسم می‌کنیم تقسیم را انجام می‌دهد اما مشکل این است که وقتی عمود بر او در جهتی غیر از او … یعنی اینجا بحث ما سر تغییر جهت است از دو جهت وقتی می‌گوییم از یک جهت چیز کردیم از جهت دیگر تغییرش دادیم والا اگر زاویه را بخواهیم بازشدگی اولی آن بخواهیم بگذاریم بعد دو خط رسم کنیم بگوییم ببینید دو خط رسم کردیم تغییر جهت هم دادیم تقسیم هم شد این آن وقت یک مقدار قضیه‌اش متفاوت می‌شود ظاهرا جهت را هم اینجا یک خرده‌ای بیشتر توضیح دهیم

استاد: یعنی جهت باید حتما طوری باشد و قائمه بودن دو تا محور منظور شما بود؟

شاگرد: شاید مثلا چیزی شبیه قائمه بودن را وسط بیاوریم.

شاگرد: یعنی چنین شرطی لازم است؟ ذهن من  رفت سراغ دایره، ما دایره را بخواهیم از دو جهت یا از پنجاه جهت می‌توانیم دایره را تقسیم کنیم این جهت که دو تا ندارد. این مربع نیست که دو جهت داشته باشد آن وقت اگر به این نحو باشد زاویه را هم از پنجاه جهت می‌شود تقسیم کنیم چون این خط غیر از این یکی خط است غیر از این خط داخلش است. برای همین چرا نمی توانیم از دو جهت تقسیم کنیم درست است همه جهاتش در این راستای بین است.

استاد: مقصود ما از تقسیم حالا جهت هم بیاوریم، تنصیف نیست.

شاگرد: منظورم تنصیف نیست.

استاد: هر تقسیمی مثل تثلیث زاویه که یادتون می‌آید در آن خلاصة الحساب عرض می‌کردم سه تا مسئله بود که از سه تا چیز بود که از معضلات ریاضیات بود، در ریاضیات می‌گویند یک بحران‌هایی داشته، معضلاتی داشته بحرانها مثل اعداد گنگ بود وقتی  پیدا شد، معضلاتی داشت که نه بحران ایجاد نمی کرد؛ نمی‌توانستند حلش کنند از دو سه و چهار اگر یادتان باشد دو- سه -چهار سه تا عدد هستند، معضلات ریاضی از قدیم دو تضعیف مکعب است، سه تثلیث زاویه، چهار تربیع دایره، این سه تا از معضلات ریاضی بوده الانی هم که حل شده  معلوم می‌شود چرا آنقدر گیر بودند. تضعیف مکعب نمی‌شود، تثلیث زاویه با رسم هندسی ممکن نیست و تربیع دایره هم ممکن نیست چون نسبت به این چیز گنگ است بله اینها از چیزهایی بوده که می‌خواستند یک مربعی را رسم کنند دقیقا به استدلال هندسی بگویند برابر یک دایره است. نمی‌شود الان بعد از هزارها سال فهمیدند که واقعا نمی‌شود. اصلا کلا دایره و مربع گنگ است و بینشان تباین می‌باشد که بعدا می‌آید.

 تثلیث زاویه هم همین طور ثابت شده است که نمی‌شود با آن پرگار و خط کش صرفا ممکن نیست و همچنین تضعیف مکعب که حالا اون بحثش جای خودش می‌آید. عرض کنم که دو، سه، تضعیف، تثلیث و تربیع این سه تا مسئله را قبل تر عرض می‌کردم یکی همین تثلیث زاویه است، تثلیث ممکن است خب پس ما که تقسیم می‌گوییم نه یعنی تنصیف، تقسیم یعنی تقسیم ولی صحبت سر این است که از جهت دیگری می خواهیم آنها را تقسیم کنیم.

شاگرد: آن جهت را باید تعریف کنیم اگر منظور از جهت فقط تغییر جهت در صفحه باشد. خب آنجا می گوییم از سر خود زاویه دو تا خط اخراج می‌کنیم هم جهت هم نیستند با هم در یک نقطه به هم می رسند، تقسیم هم کردند.

 

برو به 0:20:37

استاد: زاویه را؟ خب از رأس زاویه، اخراج به کدام طرف می‌کنیم؟ زوایای قائمه؟

شاگرد: این که هستش این هم یکی دیگر اگر اینجا…

استاد: این که تقسیم زاویه شد.

شاگرد: زاویه دو جهت مختلف این جهتش

 شاگرد:بحث سر اینکه جهت را باید اینجا یک چیز جدیدی به آن بگوییم یعنی منظورمان این باشد جهت یکی جهت یال هاست و یکی دیگر جهت بازشدگی یعنی در واقع جهتی را که باز شدگی را دارد تقسیم می‌کند یکی جهتی که یال را تقسیم کند یکی جهتی که بخواهد بازشدگی را تقسیم کند اینجا چون در فضای جدید به آن مختصات قطبی می‌گویند. یعنی ما باید در مختصات قطبی الان تقسیم را دو جهتی که مطرح می‌شود از جهت قطبی می‌شود نه جهت معمولی که در ذهن ماست که بگوییم دو تا محور عمود داریم. بالاخره تغییر جهت در فضای مختصات مثلا  دکارتی می‌گویند.

استاد: خب در مختصات قطبی در یک زاویه جلو برویم لازمه اش این است که از صرف تقسیم، دو بعد پدید بیاید. یعنی در مختصات قطبی ما حتما لازمه اش پیدایش یک سطح است؟ و یا ملازمه ندارد سوال اینجا مطرح است اما در مختصات عمود سطح هندسی داریم، در مختصات قطبی هم اگر آخر کار بخواهیم آن نقطه ای که پدید می‌آید دوباره مربع آن را رسم کنیم که محال است قطبی هم باید به  کارتزین شود. یعنی پایه دکارتی شده است اما ظاهرش برای تسهیل، زاویه رسم شده است حالا من این را نمی دانم واقعا همه جا بین مختصات قطبی با سطح، خارجیاً ملازمه است یا نه مختصات قطبی یک حالت تجریدی دارد که در غیر سطح هم می‌تواند جاری شود

شاگرد: در غیر سطح به چه معناست؟

استاد: یعنی ما حتما نبایست در خارج درگیر دو بعد باشیم.

شاگرد: مختصات قطبی ظاهرا که دو لحاظ می‌شود.

استاد: اگر درگیر دو بعد هستیم پایه‌اش همان است فقط نحوه ی ترسیم فرق می‌کند.

شاگرد: تقاوت در ماهیت مسائل است.

استاد: یعنی دو جهت قطبی باز با همان دو جهت دکارتی….و دکارتی را پایه گذاشتیم.

شاگرد: شما اینجا با حرکت روی یک به اصطلاح شعاع حرف می‌زنید و تغییر زاویه .

استاد: می دانم ولی تغییر زاویه ای که تا مرکز نداشته باشیم دو تا قطر عمود بر هم در مرکز نداشته باشیم زاویه هم نداریم.

شاگرد: قطر عمود بر هم جز لوازم کار است .

استاد: پایه کار است زیر ساخت است یعنی شما چه موقع زاویه و تغییر زاویه دارید آن وقتی که مرکز داشته باشید.

شاگرد: مرکز داریم.

استاد: مرکز هم خواهی- نخواهی نسبت به زاویه ی شما قطرهای عمود بر هم را ترسیم کرده که به شما اجازه می دهد رسم یک زاویه انجام دهید. می‌خواهم عرض کنم اگر معادل هم هستند، فقط ترسیم شکلی در شکل تفاوت دارند اینکه باز جهت‌ها همان جهت های سطحی است.

شاگرد: نه، جهت‌های ما تفاوت می‌کند جهت‌های ما دو تا جهت اگر هم دو تا جهت متعامل در نظر بگیریم هم این دو جهت متعامل خودش حرکت می‌کند یعنی اگر مثلا فرض کنید این را سوار یک متحرکی کرده باشیم که این متحرک در فضای این چیز دارد جلو می رود. شما مرکز و ذره را لحاظ می‌کنید این دو تا سوار این، آنی که دارد چیز می‌کند یکی می‌شود به اصطلاح خطی که وصل کننده مرکز است به ذره متحرک و یکی دیگر از جهت عمود که بر اساس اینکه این کجای صف قرار می‌گیرد اگر مختصاتمان صفحه ای باشد قطبی در صفحه است بر اساس اینکه کجای صفحه قرار می‌گیرد این دو تا با هم تغییر می‌کند این جور نیست ثابت باشد مثل مختصات دکارتی و اتفاقا همین‌جا خودش را دارد نشان می‌دهد یعنی ما در فضای قطبی اگر به این باز شدگی نگاه کنیم، جهت ما جهت به اصطلاح چیز می شود یعنی می گوییم یک جهتمان جهت یال است و تقسیم یال می‌شود اگر حرف از تقسیم می خواهیم بزنیم تقسیم یال می‌شود و یکی دیگر تقسیم بازشدگی می شود یا به عبارت دیگر تقسیم زاویه می‌گوییم.

استاد: خب اگر تقسیم یال کردیم که سهل می‌شد.

شاگرد: بله  دیگر عرض ما همین است.

استاد: تغییر جهتی که در قبل آن بود این جا هم صورت گرفت.

شاگرد: بله عرض می‌کنم  یعنی اینجا ما در واقع اگر تقسیم یال انجام دادیم …

استاد:  و لذا این سه خطی که ایشان کشیدند و شما گفتید این تقسیم یال نبود.

شاگرد: احسنت

استاد: پس چرا پذیرفتید؟

شاگرد: نه، اگر بخواهیم در فضای ذهنی اولیه سیر کنیم که بگوییم دو جهت، جهت را هم لزوما متعامد نگیریم آن وقت اینجا مشکل پیدا می‌کنیم یکی می‌آید می‌گوید ببینید من در دو جهت حرکت کردم در سطوح معمول. من اگر از یک نقطه دو تا خط ترسیم می‌کردم ولو اینها متعامد هم نبودند باز آمده بودند شکل را تقسیم کرده بودند در دو جهت هم تقسیم کرده بودند اگر گفتیم جهت متعامد باشد.

شاگرد: باز حالا یک بحث دیگری حتی صرف اینکه جهت هم متعامد باشد مشکل را حل نمی کند چون من زاویه منفجره می‌گذارم  یک قائمه وسطش نصب می‌کنم  دو تا خط.

شاگرد: در مورد منفرجه، بله. ولی خب حواد را می‌شود جواب داد.

شاگرد: اشکالم را می توانم برسانم؟ اگر من زاویه منفرجه بکشم یه خط اینجا می‌کشم یک خط هم اینجا می‌کشم که این دو تا خط بر همدیگر قائم اند ولی در عین حال این زاویه را تقسیم کردیم یعنی جهتشان با هم مختلف است جهتشان عمود بر هم است.

استاد: اصلا جهت این نیست آن جهتی را که ما می‌گوییم در دو جهت سطح تقسیم می‌شود اون دو قطر متعامد هم که می گوییم مبین مقصود از آن جهت است دو جهت این نیست که این جور و این جور باشد.

شاگرد: همان عرض ما این است که جهت باید تبیین شود وقتی می گوییم در دو جهت، جهت را باید تبیین کنیم منظور از جهت چیست؟ آنجا اگر بگوییم منظور ما از جهت این است که در امتداد یال. تقسیم در امتداد یال و تقسیم در جهت باز شدگی زاویه اگر این حرف را بزنیم واضح می شود.

استاد: ببینید خود دایره یک زاویه 360 درجه است نشان می دهد شما اگر بخواهید تقسیم کنید آن را در شش طرف آیا می‌توانید تقسیم ‌کنید؟ ممکن نیست برای شما از نظر سطح مگر در دو جهت، نمی توانید بگویید چون دایره است هر چه بخواهید جهت دارد. چرا؟ چون جهتی که مقوم تقسیم سطح است  که پر نمی‌شود و اصلا ممکن نیست سه تا شود.

شاگرد: اینجا شما مجبورید یک جهت را جهت تقسیم کننده شعاع بگیرید یک جهت را جهت تقسیم کننده‌ی در حقیقت آن محیط بگیرید، جهت در دایره این‌گونه می‌شود همان بحثی که عرض کردم  در فضای مختصات قطبی می‌رود.

شاگرد: حاج آقا این سوال را می گوییم یک مدل دیگر مطرح می‌کردیم آیا بخشی از سطح، سطح است یا نه؟ ما به این صورت مطرح کنیم بخشی از یک سطح، سطح است؟ بخشی از یک خط، خط است؟ الان شما مدلی که می گویید من زاویه را از این طرف می‌گیرم  شما مثلا مربع را در نظر بگیرید وقتی مربع را نصف کنیم فعلا خط هم نگذاریم بخشی از این سطح می‌شود. زاویه همان بخشی از سطح است دیگر. آیا بخشی از سطح است یا نه؟

 

برو به 0:29:14

ماهیت زاویه-انقسام زاویه-مختصات قطبی-مختصات دکارتی-معضلات ریاضیات

تحلیل طبیعت زاویه و مربع و مثلث و…

استاد: بله، بخشی از سطح، سطح است ولی با حرف شما ملازمه ندارد. وقتی ما یک مربع را نصف می‌کنیم از آن حیثی که الان یک سه ضلعی پدید آمد که زاویه نیست که از اون حیثی که دو تا ضلع راس دارد زاویه است. ما مشکلمان همین است که زاویه کاری ندارد اون وتر زاویه است نه جز زاویه، وتر زاویه مبین یک مرحله‌ای از فاصله دو تا ضلع است. یک جایی دیدم شاید در نوشته‌هایم  بود این احتمال که در کلمات می آید یا نه. اساسا زاویه جوهرش چیست؟ جوهرش همان فاصله دو خط است. آن هم فاصله به معنای یک چیز متغیر. یک تابعی برای فاصله زاویه این است یعنی شما می‌خواهید یک فاصله‌ای را درست کنید به نحو منسجم که از یک رأس شروع می شود و به نحو تابع افزوده می‌شود. دو تا خط موازی فاصله دارد اما زاویه اینگونه فاصله‌ای نیست. زاویه فاصله‌ای است که پیش رونده است. زاویه ای است که با یک روال خاصی، با یک فرمول خاصی جلو می‌رود به هر نحوی که شما بیان بفرماید در انواع زاویه. پس جوهر زاویه چیست؟ سطح است؟ نه، جوهر زاویه یک فضای بازشونده فرمولیست.

شاگرد: سطح بی نهایت یک طرف بسته است

استاد : اصلا نمی‌خواهم  سطح بگویم ،فاصله سطح نیست.

شاگرد: حاج آقا، خط نیست؟

استاد: خط هم نیست.

شاگرد: خط دائما در حال تغییر، نیست؟

استاد: این دو خط زاویه را نشان می‌دهد اما جوهرش مثل هندسه تحلیلی که برای هر شکلی فرمول ارائه می دهد می‌گویند دایره این فرمول است ولو وقتی رسم می‌کنید، اصلا پیدایش هندسة تحلیلی این بود، هندسة تحلیلی تمام اشکال را به جبر بر می گرداند به یک معادلة جبری. دایره چیست؟ این معادل دایره است، آن نقاط نشانش می‌دهد. آن نقاط دایره نیست. جوهره دایره یک فرمول است.

شاگرد: رابطه بین دو چیز است.

استاد: زاویه هم این است. ممکن است بگوییم اصلا جوهره زاویه این است که یک فرمول برای فاصله منضبط است نه یک فاصلة ثابت بین دو نقطه باشد.

شاگرد: کما اینکه سهمی و اینها  همین طور بود.

شاگرد: اینجا یک فرمول است به چه معنی است؟ فرمول هیچ واقعیت ندارد؟

استاد: چرا واقعیت دارد. واقعیت کم متصل خارجی نیست. آن کم متصل را نشان می‌دهد مثل مثلث، مثلث یک واقعیتی دارد فرمولی دارد که وقتی رسمش می‌کنید. آن را نشان می دهد. مصداقی است برای اون فرمول نه اینکه خود این مثلث است.

شاگرد: مثلث سطح نیست تو همین فضا یا دایره سطح نیست؟

شاگرد۲: نه دیگر سطح نیست،شما مثلا فرض کنید پرتابه را می‌فرستید هوا برمی‌گردد  یا ولش می‌کنید از یک جایی بیفتد پایان خب رابطه ای که بین زمان و به اصطلاح جابجایی تعریف می‌شود کاملا سهمی است در صورتی که اونجا شما هیچ سهمی نمی‌بینید.

استاد: یعنی اون رابطه ها بیش از این شکلی که شما می‌توانید رسم کنید نظیرش که الان در ما نحن فیه می‌تواند بیاید تفاوت دایره است در هندسة قدیم با هندسة تحلیلی. این‌ها الان یادم می آید و نکات خوبی است در هندسة تحلیلی دایره فقط همان محیط است می‌گوییم دایره یک فرم مجموعه است، مجموعه نقاطی که فاصلشان تا نقطه ای با فلان چیز هست پس سطح که این جوری نیست پس مجموعه همة نقاط سطح نیست، محیط اون دایره است که دایره است.

شاگرد: درواقع حد است.

استاد: حد است  و لذا دایره در هندسة تحلیلی، همان محیط می‌شود.

شاگرد: نه فقط در هندسة تحلیلی کلا از اول وقتی می آیند تعریف ‌کنند درهندسه‌های امروزی.

استاد: در هندسه قدیم سطح است.

شاگرد: درست است، بله، در فضای جدید از همان اول هنوز هندسه تحلیلی هم مطرح نشده، دایره را به همان خط تعریف می‌کنند به همان حد تعریف می‌کنند.

استاد: خب این در تاریخ هندسة تحلیلی در آمده بوده است چون در تاریخ هندسه تحلیلی آمده بوده و لذا من یادم است در کلاس گفتند اینکه به محیط تقریبا دایره را تعریف می‌کردند بعد می آمدند می گفتند: نه دایره یک سطحی است که از احاطه یک خط منحنی پدید آمده، دایره کدامش است؟

شاگرد: در واقع انتگرال آن محیط است.

استاد: آن تحلیلیه بله

شاگرد: یعنی انتگرال آن تابعی که نشان دهندة دایره است همان سطح می‌شود.

استاد: به کل آن چیزی که در برمی‌گیرد  در زیر آن قوس، کل قوس قرار می‌گیرد که آن وقت می شود سطح. تعریف قدیم از آن است که مقاطع مخروطی هم همین بوده است، می گفتند وقتی یک مخروطی را شما به صورت صاف ببرید، دایره پدید می‌آید وقتی می‌برید سطح پدید می آید یا خط؟ سطح پدید می آید در مقاطع مخروطی باز دایره، سطح  بوده است.

شاگرد: در مقاطع مخروطی اخیر هم دیگه اون وقت حجم نمی‌گیرد باز هم سطحی می‌گیرند که دو تا مخروط سطح مخروط بود.

استاد: سطحی که فقط می توانند فرمولش را ارائه بدهند.

شاگرد: حاج آقا با این ادبیات وجودی بخواهیم بگوییم در واقع در این هندسة تحلیلی، دایره ماهیت آن می‌شود و به قول قدما دایره وجودش می‌شود.

استاد: حالا قطع نظر از این. قبلا بدون این بحث‌ها و مکرراً عرض کرده بودم انسان از مثلث یک معنا دارد و معنای او سه ضلعی شکلی نیست. یادتان هست که عرض می‌کردم و لذا ابتدا می‌گفتیم بچه‌ها وقتی می‌خواهند مثلث بگویند تا در قوة خیال خودش مثلث نکشد عقلش هنوز در درک معنای مثلث قوی نشده است یعنی باید بکشد تا در دل شکل معنا بیاد. مثل اینکه می‌گوییم   طبیعت طبایع در ضمن فرد موجود می‌شود و در ذهن فرد طبیعت مثلث که شکل ندارد طبیعی که شکل ندارد طبیعی آن در ضمن این سه خطی در قوة خیال بیاید و عقلی که الان ضعیف است ولی همراه قوه خیال این طفل است در دل سه خطی معنای عقلانی مثلث را درک می کند ولی چون ضعیف است بدون شکل نمی‌تواند. وقتی جلو رفت و قوی شد حالا مثلث را درک می‌کند بدون اینکه نیاز داشته باشد قوه خیال برای او یک شکل رسم کند تا معنا بیاید و معنا خودش حاضر است یعنی مثلث را به عنوان یک طبیعی ولو سه ضلع دارد اما نه اینکه سه ضلع شکلی داشته باشد، سه ضلع شکلی خیالی ندارد سه ضلع معنوی عقلانی دارد این مطلب مهمی است.

شاگرد: استاد،  طبیعی آن عبارت جبری هم نیست یعنی مثلا ax2+by2=c2  طبیعی دایره نیست.

استاد: همه اینها از لوازم آن طبیعی است اما از لوازمی هستند که شکلی نیستند باز تو قوه عقلانیست مثل استلزامات در عالم نفس الامر. طبایع استلزاماتی داشتند خود طبیعت شکل ندارد استلزاماتش هم عقلانی است و شکل ندارد اما همان وقتی در قوة خیال می‌آید در ترسیم این جوری می‌آید شکل پیدا می‌کند حالا این هندسة تحلیلی هم یک بخشی از همین ظهور معانی و مفاهیم در استلزامات عقلی است. بدون اینکه به شکل برگردد.

شاگرد:  عبارات جبری در چه مرتبه‌ای از نفس است ما مثلا آن را خیال می‌گوییم. عبارات جبری در چه مرتبه‌ای از نفس است؟ وهم است؟ چه چیزی است؟

استاد: نه وهم نیست آن هم عقل هست.

شاگرد: طبیعت هم که نیست.

استاد: طبیعت نیست بله در مرحله استلزامات ما جلوتر که مباحثه کردیم کلا رابطه‌ها و استلزامات را حوزه واقعا نفس الامری و جدا از حوزة طبایع به آن رسیدیم واقعا جداست.

 

برو به 0:38:21

شاگرد: یعنی پایین ترست ولی به هر جهت حوزه مستقلی دارد.

استاد: حالا پایین‌تررا هم ببینیم فعلا دوئیت آن معلوم شود تا ببینیم  واقعا استلزام غیر از طبایع می‌باشد.

شاگرد: یعنی کثرت آن بیشتر از طبیعت است ؟

استاد: خیلی هم گسترده‌تر است یعنی اعیان ثابته که در اینها آمده غیر از این که اعیان ثابته درست است و آن هایی هم که رد کردند ردّشان سر نمی‌رسد.  یک حوزة وسیع‌تری هست که مجبوریم با اعیان ثابته نشانش بدهیم ولی اینکه اگر دقیق شویم خود اعیان با آن انتظاری که ازش داشتیم نمی تواند آن را سر و سامان دهد.

طبیعت زاویه-طبیعت مثلث- نفس الامر روابط و استلزامات-نفس الامر طبایع-حوزه های نفس الامر-اعیان ثابته -مثلث خیالی- شکل مثلث-هندسه تحلیلی- هندسه قدیم

 الحمد لله رب العالمین و صلی الله علی محمد و آله الطیبین الطاهرین

 

---

 

[1] شوارق الالهام،ج۳، ص۱۳۶