بسم الله الرحمن الرحیم

موضوع این جلسه : نظام سازی منطقی و صورت بندی پارادوکس خرمن

صورت‌‌بندی پارادوکس خرمن

استاد: …. سمبل یا نمادین کردن، فرمولیزه کردن، صورت به چیزی دادن، تشکیل می‌گویند، یعنی شکل به آن بدهید، فرم به آن بدهید. در مورد کلمه‌‌ی «صوری»، در کتاب‌‌های قدیم «منطق صوری» هم می‌گفتند، «منطق صوری» مقابل «منطق مادی» به کار می‌رفت. مرحوم آقای -دکتر محمد- خوانساری مؤلف کتاب «منطق صوری» بود که در ادبیات هم کتاب داشتند. به همین مفاد نزدیک است ولی اندک تفاوتی دارد، البته اصطلاح و موضوعش دوتاست ولی نزدیک به همین مفاد منظورم است، «منطق صورت» مال دکتر مصاحب بود. در آنجا صورت دقیقاً به همین معنای فرم و شکل است که نمادگذاری فکر است. علی ایّ حال ایشان هم که صورت‌‌بندی پارادوکس می‌گویند، دقیقاً می‌خواهند مطالبی را که به صورت شهودی گفته‌‌اند، نظم داده و در یک نظام منطقی به صورت صغری و کبری پیاده کند، بعداً [بیان می‌کنند که] صورت‌‌بندی دو مرحله دارد؛ یکی نظم دادن اولیه است، بعداً همین را به صورت نماد درآوردن. مثلاً یک وقت می‌گفتند «العالم متغیر»، «کل متغیر حادث» این یک نحو شکل بود که به آن شکل اول می‌گفتیم. «العالم متغیر»، «کل متغیر حادث»، «فالعالم حادث» این یک نحو شکل دادن بود، همین شکل دادن را تجریدی‌‌تر می‌کردیم، شکل محض می‌شد، مثلاً می‌گفتیم «الالف باء»، «و کلّ باء جیم»، «فالألف جیم» این کاملاً صورت‌‌بندی شده است. ایشان هم همین کار را می‌کنند. اول یک صورت‌‌بندی است که فکر را منظم می‌کنند امّا با محتوای حرف‌‌زنی که مثال خودمان است، بعداً هم آن فرمول محض و نمادینش را می‌گویند.

«صورت‌‌بندی پارادوکس خرمن

 پارادوکس استدلالی است به وضوح معتبر با مقدمات به وضوح صادق و نتیجه به وضوح کاذب. یکی از نمونه‌‌های مشهور و قدیمی این تعریف، که پارادوکس خرمن (Sorites Paradox) نام دارد، در قسمت‌‌های پیشین معرفی شد. این پارادوکس را برای محمول «خرمن گندم» می‌توان بدین صورت بیان کرد:

یک دانه گندم تشکیل خرمن نمی‌دهد.

به ازای هر n اگر n دانه‌‌ی گندم تشکیل خرمن ندهد، آنگاه n+1 دانه گندم تشکیل خرمن نمی‌دهد.

صد هزار دانه گندم تشکیل خرمن نمی‌دهد.»[1]

درباره  پارادوکس

«پارادوکس استدلالی است به وضوح معتبر با مقدمات به وضوح صادق و نتیجه به وضوح کاذب.» پارادوکس خرمن را به تناقض‌‌نما ترجمه می‌کنند. پارادوکس لزوماً به معنای چیز محال نیست. پارادوکس یک چیزی است که تناقض‌‌نماست و باید آن را بررسی کنیم. امروزه هم در قرن بیستم به بعد که تناقض مجموعه‌‌ها، و پارادوکس مجموعه‌‌ها پیش آمد، خیلی اصل خود بحث پارادوکس‌‌ها گسترده شد. الان اگر شما در منابع در دسترس جستجو کنید، راجع به انواع پارادوکس‌‌ها، ده‌‌ها نوعش و زمینه‌‌هایش، بحث‌‌های خوبی صورت گرفته که اطلاع بر اینها خوب است. ایشان فعلاً به صورت خلاصه پارادوکسی که در ما نحن فیه است را اینطور می‌گویند:

توضیح اصطلاح استدلال معتبر و استدلال صحیح

 «پارادوکس یک استدلالی است که به وضوح معتبر» [باید توجه داشت که در اینجا دو اصطلاح وجود دارد:] استدلال معتبر و استدلال صحیح. استدلال صحیح یعنی طبق ضوابط درست است و غلط پیش نرفته است ولی ممکن است نتیجه کاذب باشد و لذا معتبر نباشد. امّا استدلال معتبر که اینجا می‌گویند برعکس است. معتبر یعنی طبق ضوابط است، صحیح یعنی علاوه بر اینکه طبق ضوابط است نتیجه هم صادق است. یا صحیح یعنی نتیجه صادق است ولو طبق ضوابط نباشد.

شاگرد: اعم از این است که طبق ضوابط باشد یا نباشد.

استاد: بله، صحیح اینطوری است، یعنی صرفاً نتیجه باید صادق باشد. این یک مقدار با ذهن جور در نمی‌آید. علی‌ایّ‌حال مقصود روشن است، به وضوح معتبر یعنی استدلالتان خدشه‌‌ای از نظر منطقی ندارد. چون می‌گویند نتیجه کاذب است، [پس] نمی‌شود گفت معتبر به معنای این است که نتیجه صادق است، خلاصه نتیجه کاذب است. لذا خودِ استدلالْ معتبر است، یعنی از حیث ریخت قواعد استنتاج مشکلی ندارد.

دو اصطلاح مختلف منطق کلاسیک

اگر در منطق یادتان باشد و حافظه‌‌ی من هم یاری کند و بتوانم خدمتتان بگویم -اینها باید تکرار شود تا ملکه‌‌ی ذهنتان شود-  در منطق جدید دو اصطلاح دارد: یک «منطق کلاسیک» که یعنی منطق ارسطویی که مقابل کلّ منطق جدید است. همچنین در منطق جدید گاهی «منطق کلاسیک» می‌گویند که به معنای منطق ریاضی است و طبق دوارزش کار می‌کند و راسل و رفیقش فرگه نوشتند. این را کلاسیک می‌گویند. پس دو اصطلاح «کلاسیک» وجود دارد، یک کلاسیک دوهزار ساله که مقابل منطق جدید قرن بیستم است، همچنین در قرن بیستم یک [تعبیر] کلاسیک [استفاده می‌شود که] به معنای منطق دوارزشی است که ابتدای قرن بیستم تأسیس شد، بقیه غیرکلاسیک می‌شود. منطق سه‌‌ارزشی و فازی و غیره همه غیرکلاسیک می‌شود. دوباره در محدوده‌‌ی هر کدام از اینها مثلاً می‌گویند [منطق] استاندارد و منطق غیراستاندارد، اینها هم تعریف‌‌های خاص خودش را دارد که تقسیم‌‌بندی‌‌هایی دارد. منظور در منطق کلاسیک به معنای کلاسیک قرن بیستم، که الان بیشتر به آن منطق ریاضی می‌گویند -منطق کلاسیک و منطق ریاضی جدید-

چگونگی شروع نظام‌‌سازی منطقی

در این فضا وقتی شروع می‌کنیم به اینکه یک نظامی بدهیم، چیزهایی می‌گفتند که حتماً نیاز است، اول اینکه زبان نیاز داریم  و یک سیستم نیاز داریم. اینها را قبلاً هم عرض کردم. یعنی اول باید یک زبان درست کنید تا بتوانید با آن زبان یک نظامی را سر و سامان بدهید. در زبان ما با قواعد استنتاج کاری نداریم ولی قواعد ساخت داریم، در نظام قواعد استنتاج هم داریم. زبان پیکره‌‌ای است که نظمی برای خودش دارد امّا نظم آن متفرع بر قواعد ساخت است، یعنی هر زبانی یک نحوی دارد، بدون نحو [نمی‌شود،] همان که صرف و نحو گفته می‌شود که هر زبانی بدون نحو نمی‌شود، امّا در زبان لازم نیست که قواعد استنتاج داشته باشیم، استنتاج مربوط به منطق است، مربوط به یک نظام و یک سیستم است. پس اول چیزی که ما نیاز داریم، زبان صوری است، زبان صوری قواعد ساخت می‌خواهد و نحو نیاز دارد. بعد که زبان را به دست آوردیم راه می‌افتیم و یک نظام منطقی و یک سیستم منطقی برپا می‌کنیم. سیستم منطقی یک چیز جدیدی نیاز دارد که آن قواعد استنتاج است، قواعد استنتاج مختلفی که در جای خودش بحث کرده‌‌اند. تا زمانی با منطق جدید آشنا بشوید اینها را از همدیگر جدا می‌کنید و فوری هم با آن برخورد می‌کنید. حالا آقایانی که اینها را می‌دانید و من اشتباه می‌گویم تذکر بدهید. چون اینها رشته‌‌ی ما نیست و همینطور مطالبی مطالعه کردیم و فعلاً از حافظه می‌گویم.

علی‌ایّ‌حال نظام به قواعد استنتاج نیاز دارد. [اینکه می‌فرمایند] «به وضوح معتبر» معتبر یعنی بعد از اینکه ما یک نظام صوری به پا کردیم، به وادی سمنتیکش برویم، یعنی برای آن ارزش‌‌گذاری صدق و کذب شروع کنیم. زبان، صدق و کذب ندارد. یک نظام صوری محض، صدق و کذب ندارد. وقتی فضای ارزش‌‌گذاری نظام صوری، و فضای صدق و کذب برای آن مطرح کردیم و به سمنتیک فضای گزاره‌‌ها و به دنبالش سمنتیک فضای منطق محمولات وارد شدیم-که هر کدام از اینها دنباله‌‌ دارد- در این فضای ارزش‌‌گذاری که وارد می‌شویم آن وقت مسأله اعتبار و صحت و استدلال معتبر و استدلال صحیح مطرح می‌شود، و الا در فضای سیستم صوری محض، اگر اعتبار یا صحیح یا [هر یک از این اصطلاحات را] بگوییم بدان معناست که طبق قواعد استنتاج باشد، چون قرار شد نظام صوری قواعد استنتاج داشته باشد امّا هنوز صدق و کذبی برای آن مطرح نیست. صادق یا کاذب نداریم ولی استنتاج داریم.

شکل‌‌گیری پارادوکس در نظام منطقی

پس بنابرین هر گاه ما قواعد استنتاج نظام صوری را مراعات کردیم -به اصطلاحی که ایشان می‌گویند- استدلال ما معتبر است، به راست و دروغش کار نداریم، فعلاً نمی‌خواهیم ارزش‌‌گذاری کنیم. باید طبق قواعد ساختِ آن نظام صوری پیش رفته باشیم. اگر ارزش‌‌گذاری هم کردیم، یعنی صدق و کذب هم مطرح شد، [به عبارت دیگر] اگر یک استدلالی که طبق قواعد استنتاجِ یک نظامِ صوری جلو رفته ، صادق هم باشد، حالا استدلالی می‌شود که هم طبق قواعد استنتاج نظام صوری جلو رفته و هم طبق ارزش‌‌گذاری صادق است. پس این مراحل را باید از همدیگر جدا کنیم و معلوم باشد. الان که «معتبر» می‌گوییم یعنی طبق قواعد استنتاج یک نظام جلو رفته است، طبق قواعد استنتاج نظام منطقی جلو رفته‌‌ایم و در قواعد استنتاج اشتباه نکردیم.

«با مقدمات به وضوح صادق» تا «صادق» می‌گوییم به فضای ارزش‌‌گذاری و فضای سمنتیک وارد شده‌‌ایم، می‌دانیم که راست هم هست. پس هم استدلالمان طبق قواعد استنتاج است و هم مقدماتمان صادق است، برای آن ارزش‌‌گذاری صدق کردیم؛ امّا «و نتیجه به وضوح کاذب» عجب چیز عجیبی است، [واقعاً اینطور چیزی می‌شود؟] بله و پارادوکس یعنی همین. طبق قواعد صحیح استنتاج جلو رفته‌‌ایم، همه‌ی مقدمات هم طبق ارزش‌‌گذاری صادق است، امّا نتیجه کاذب، چطور می‌شود؟ اینجا متحیر می‌مانیم؟

شاگرد: مگر چنین چیزی می‌شود؟

استاد: اصلاً پارادوکس یعنی همین. پارادوکس یعنی ما درست جلو رفتیم امّا نتیجه خراب درمی‌آید.

شاگرد: نتیجه باید درست دربیاید.

شاگرد1: شاید اینکه می‌فرماید «و نتیجه به وضوح کاذب» یعنی اینطور به نظر می‌آید نه اینکه در واقع هم کاذب باشد.

شاگرد: پس مقدمات مشکل داشته که نتیجه کاذب شده است.

شاگرد2: پارادوکس یعنی بررسی کنیم ببینیم کجا مشکل دارد.

شاگرد: نه آن یک حرف دیگر شد.

شاگرد3: قواعد استنتاج که فرمودید خودش هیچ نوع معیار صدق و کذبی ندارد یا معیار صدق و کذبش فرق دارد با آن ارزش‌گذاری‌ها.

استاد: در محدوده‌‌ی نظام صوری صدق و کذب ندارد. قواعد استنتاج است به همان نحوی که صرفاً صورت اقتضاء می‌کند. یعنی زبان با قواعد ساخت یک عبارت را می‌سازد، بعداً ما با پس و پیش کردن و انس با عبارات در نظام صوری محض، یک قواعد استنتاجی را تعریف می‌کنیم. این قواعد استنتاج که آن نظام را دارد، بعداً ارزش‌‌گذاری می‌شود، در ارزش‌‌گذاری صدق و کذب مطرح می‌شود که صادق هست یا نیست؟

شاگرد با آن عبارات –که می‌فرمایید- آیا می‌شود  به هر شکل پس و پیش کنیم و  قواعد استنتاج تعریف کنیم یا به هر حال یک معیاری دارد که آن معیارش، قواعد صدق و کذبش با قواعد صدق و کذب مرحله‌‌ی ارزش‌‌گذاری فرق دارد؟

استاد: قواعد استنتاج معیار دارد امّا معیارش صدق و کذب مفاد خود اینها نیست. اوائل اینطور بود، آن اول که منطق ریاضی درست شد اینها مخلوط بود. یعنی سیستم صوری محض با ارزش‌‌گذاری صدق و کذبش همراه بود و همراه هم جلو آمد. بعدها که دقائقی مطرح شد اینها را از هم جدا کردند، یعنی گفتند آن سیستم صوری محض با قواعد استنتاج یک چیز است، ارزش‌‌گذاری و به تعبیر خودشان «تعبیر»، تعبیری که به هر نمادی بدهیم و ارزش‌‌ صدق و کذب و جدول صدق و کذب آن را مطرح کنیم، و وارد مرحله‌‌ی سمنتیک آن شویم، حرف دیگری است. انسان باید با اینها مقداری انس بگیرد، وقتی چند بار رفت و آمد [روشن‌‌تر می‌شود] خود این مطالب در ابتداء درهم و مبهم بود، با ظرافت‌‌کاری از هم جدا شد.

شاگرد: شاید در فضای خودمان هم بتوانیم بگوییم. مثلاً برای شکل اول می‌گفتیم «مغ کب» موجبه بودن صغری و کلیه بودن کبری، همین که باشد کافی است، امّا اینکه صغری خودش صادق است یا کاذب است؟ یا همچنین کبری صادق است یا کاذب، این یک حرف دوم می‌شود و غیر از این است که این شکل، شکل آن هست یا نیست.

انواع مختلف قواعد استنتاج

استاد: یعنی قواعد استنتاج نظامی دارد، قواعد استنتاج اصل موضوعی،[ قواعد استنتاج] طبیعی، [به‌‌طور کلی باید گفت] الان سه نوع [قواعد استنناج] رایج است، قطع نظر از سمنتیک، سه نوع قواعد استناج در صورت محض وجود دارد که در کتاب‌‌ها می‌گویند. قواعد استنتاج طبیعی، که حدوث و پیدایشش بعد از اصل موضوعی بوده است، و سیستم استنتاج اصل موضوعی که در ابتدای قرن بیستم، اول از همه این درست شده است. وقتی منطق ریاضی را نوشتند بر مبنای سیستم استنتاج اصل موضوعی بود. بعداً سیستم استنتاج طبیعی هم آمد، و به نظرم از نظر تاریخی، متأخر از این سیستم استنتاج درختی با ساختار درختی آمد. البته ساختار درختی ظاهراً با صدق و کذب هماهنگ است، حالا اینکه چطور است باید در جای خودش بیشتر مطالعه کنیم.

علی‌ایّ‌حال این نظام استنتاجی برای خودش قواعدی دارد. مثلاً من یک  قاعده‌‌ی استنتاج محض بگویم که صوری محض است. می‌گوییم علی‌ایّ‌حال وقتی شما یک مقدماتی را ترتیب می‌دهید که نتیجه بگیرید، باید این نتیجه از دل مقدمات بیرون بیاید، نمی‌شود که ماست و دروازه باشد، نمی‌شود یک مقدماتی شما بگویید امّا چیزی که ربطی به آنها ندارد را نتیجه بگیرید. کار نداریم این راست یا دروغ است، نمی‌گویم راست یا دروغ است، امّا می‌گویم شما باید یک چیزی را از مقدمات نتیجه بگیرید که در دل آنها باشد.

شاگرد: از نظر ساختاری باید با هم مرتبط باشد.

استاد: بله، این را قواعد استنتاج می‌گوییم. اگر می‌خواهید نتیجه بگیرید، ماست را از دروازه می‌خواهید نتیجه بگیرید؟! این که نمی‌شود. این به اصطلاح رایج …. شما مقدماتی که ردیف می‌کنید -هر چه باشد- نتیجه‌‌ای که می‌خواهید می‌گیرید از دل اینها باید بیرون بیاید، این را هم یک نحو قاعده‌‌ی استنتاج می‌گوییم. و لذا در گزاره‌‌ها می‌گویید اگر قضیه «الف» باشد، روی اصطلاح آنها اگر p باشد آنگاه q، بعد فرض می‌گیرید که p هست، نتیجه می‌گیرید که q ثابت است. این یک نحو قاعده‌‌ی استنتاج است. حالا p وq  راست است یا دروغ است، چند ارزشی است صدق و کذبش جای خودش، همین اندازه که می‌گویید آن هست، نتیجه می‌گیرید دیگری هم هست. استلزام مادی.

شاگرد: مثلاً حدّ وسط باید تکرار شود.

استاد: بله، اصل تکرار حد وسط، مربوط به منطق محمولات می‌شود.

شاگرد: نمی‌توان به استحاله اجتماع نقیضین برگردانیم که این باید از دل آنها دربیاید، و باید ربط داشته باشد و هر چیزی را به هر چیزی نمی‌توان دوخت. اینها تحلیل پیدا کند دوباره سر از صدق و کذبی در می‌آورد که ما تا به حال تقریباً می‌شناختیم. یعنی این صوری‌‌ محض بودن بدون اینکه ما بخواهیم از صدق و کذب صحبت کنیم، ما متوجه نمی‌شویم. شما می‌فرمایید بدون ارزش‌‌گذاری جلو می‌رویم، همین که می‌فرمایید این باید از دل آن بیرون بیاید و هر چیزی را نمی‌توان به هر چیزی دوخت، این یعنی باید پای صدق و کذب و تناقض را وسط بکشیم.

منطق‌‌های فراسازگار

استاد: نه، ما می‌توانیم نظامی داشته باشیم که از دل مقدمات بیرون بیاید امّا اصلاً تناقض را هم قبول نداشته باشیم. الان منطق‌‌های امروزی هستند،-حدود بیست‌‌سالی است که آمده است و قبلاً هم گفتم- که به آن منطق‌های‌ فراسازگار گفته می‌شود و می‌گوید اصلاً ما در بند این نیستیم که در یک سیستم فکری و سیستم صوری محض، تناقض نباشد، تناقض باشد، به آن فراسازگار می‌گویند. تا قبل از منطق فراسازگار، می‌گفتند باید سیستم صوری ما حتماً سازگار باشد، سازگار یعنی مشتمل بر تناقض نباشد. نمی‌شود یک نظامی درست کنیم که درونش تناقض باشد. منطق‌‌های فراسازگار می‌گوید اینطور نیست، ما به نحو انفجاری -به تعبیر خودشان- قائل به تناقض نیستیم، امّا قبول نداریم مطلقاً تناقض محال است و لذا می‌توانیم سیستمی داشته باشیم که مشتمل بر تناقض و قبول تناقض باشد، حالا یا امکانش یا حتّی تحققش؛ خودشان اینها دو دسته هستند.

در یک رساله‌‌ای قاعده‌‌ای پیدا کردم که بعد اگر خواستید مراجعه بفرمایید، «رویکردهای نو به قانون عدم تناقض» مؤلفش آقای چیت‌‌ساز، در مجله منطق‌‌پژوهی سال اول، شماره دوم، پاییز 89، در سایتش هم موجود است. ایشان این مطالب را مطرح کرده است.

شاگرد: یعنی اینها قواعد استنتاج دارند ولی مبتنی بر تناقض نیست؟ یا اصلاً قواعد استنتاج ندارند؟

استاد: دارند، سیستم صوری دارند و منطق است. اتفاقاً خوبی این منطق فراسازگار این است که یک منطقی است که بعد از نزدیک صدسال فکر کردن روی منطق سمبلیک و ریاضی و دوارزشی، حالا دارد می‌آید. یعنی کسانی که اینها را گفتند از بچگی اینها را خوانده‌‌اند، از کلاس ابتدایی تا دانشگاه، با منطق ریاضی انس داشته‌‌اند و در این فضا بزرگ شده‌‌اند. مثل ما طلبه‌‌ها منطق ارسطویی نخوانده‌‌اند. کسانی که منطق فراسازگار را می‌گویند در آن منطق بزرگ شده‌‌اند، امّا بعد که مرتّب جلو رفتند و دیدند که فکر خیلی عظیم است و نگفته‌‌های زیادی داریم، این منطق‌‌های بعدی را به این صورت مطرح کردند. این رساله خوب است و می‌شود مباحثه کرد ولی مباحثه کردن آن، باید طوری باشد که خیلی قبل از آن آب‌‌دیده شده باشد و الا ذهن را به هم می‌ریزد، یعنی انسان نباید کاری کند که یکدفعه نظام فکری خودش را به هم بریزد، چه لزومی دارد این کار؟ گاهی می‌بینید بچه در سنّی است که باید شیر بخورد و نباید چلوکباب بخورد، حالا کسی می‌گوید کباب خیلی قوت دارد و غذای خوبی است.[نه این] برای وقتی است که قوی شد. همه‌ی نظام مزاج بچه با خوردن چلوکباب به هم می‌ریزد، می‌گویند غذای به این خوبی چطور شد که به بچه نساخت؟ چون هنوز وقت آن غذا برای بچه نیست. حالا آن رساله هم اینطوری است، اگر می‌بینید هنوز زود است لازم نیست مطالعه کنید. ولی من فعلاً گفتم برای اینکه اینطور چیزی هست. حالا به چه مناسبت این حرف را زدم؟

شاگرد: بحث در این بود که قواعد استنتاج آنها مبتنی بر تناقض نیست یا اصلاً قواعد استنتاج ندارند؟

استاد: بله، اینکه فرمودید قواعد استنتاج [ندارند؟] نه اینطور نیست. اصلاً همین که می‌گویم اینها را گفته‌‌اند به دلیل این است که کاملاً نظام صوری با سمنتیک دو وادی است، ارزش‌‌گذاری چیز دیگری است، ارزش‌‌گذاری فازی، سه‌‌ارزشی، حتّی‌‌ چهارارزشی، بی‌‌نهایت ارزشی که فازی باشد، همه‌ی اینها فضای جدایی است از محضِ آن نظام صوری که شما، اول یک زبان طراحی می‌کنید، بعد به وسیله‌‌ی آن زبان یک نظام استنتاج دارید، یک نظام خاص خودتان را دارید، این نظام صوری محض طبق ضوابط خودش استنتاج را نتیجه می‌دهد و جلو می‌رود.

شاگرد: نظام صوری مگر تفکر نیست؟ چه ربطی به زبان دارد؟

استاد: فرم تفکر است، شکل تفکر است، نه محتوای تفکر. ببینید شما که راه می‌روید، راه رفتن یک شکلی دارد، یک محتوا و نحوه و تعداد گام، شکلِ فکر نظام صوری محض می‌شود. مدت‌‌ها طول کشیده تا اینها از همدیگر جدا شده‌‌اند. الان حتی مفاهیم ریاضی که خیلی پیشرفت‌‌های زیاد داشته‌‌، در این کدنویسی‌‌های امروز تکاملش بیشتر می‌شود، یعنی کدنویسی‌‌ها امروز به آن مسائل کمک می‌کند.

شاگرد: در این نظام‌‌های فراسازگار که فرمودید، معیار صدق و کذب عوض شده است؟ من کلاً نفهمیدم، یعنی صدق و کذب را کنار می‌گذاریم؟

استاد: صدق و کذب را کنار نمی‌گذارند. استحاله تناقض را به‌‌طور مطلق قبول ندارند.

نیاز به مبدأ مطلق و اسبقیت آن نسبت به ساده ترین نظام صوری محض

شاگرد: و صدق و کذبی که بر اساس استحاله تناقض تعریف می‌شود را آنجا نمی‌آورند ولی ناچار از یک صدق و کذبی متناسب با آنجا هستند؟

استاد: بله. اگر یادتان باشد این را مکرر عرض کردم، ما در اثبات مبدأ مطلق، ساده‌‌ترین سیستم‌‌های صوری همه مسبوق به حقّ متعال هستند، یعنی حتّی فضای سمنتیک و ارزش‌‌گذاری هم وارد نشوید، حتّی در یک سیستم‌‌های صوری محض تا مبدأ نداشته باشید نام ندارید، -قبلاً در مورد اینها مفصل عرض کردم- که مطلب توحید و خداشناسی اسبق از همه چیز است، حتّی در ساده‌‌ترین چیزها که یک نظام صوری محض است، شما می‌بینید [نیاز به مبدأ دارید] این همین فرمایش شماست. یعنی در سیستم صوری محض هم آخرش، یک نحو با حقّ مطلق و ثبوت مطلق کار دارید، و تا آن بستر نباشد، تا آن فضایی که خدای متعال فراهم کرده، جهات نفس‌‌الامری نباشد، حتّی در سیستم صوری محض هم که دلخواه‌‌ترین نحو چیزها را می‌توانید برقرار کنید، باز آنجا [نیاز به مبدأ مطلق] برقرار است. یعنی در آخر یک نظام است و نظام ضوابط خاص خودش را دارد. مثال عرض می‌کردم در مورد در باغ یا افتادن پرده و امثال اینها، حتّی در نظام فرض محال محال نیست، مسبوقیت به مبدئیت متعال در فروضی هم که فرض محال محال نیست جاری بود. اینها از مطالبی بوده که در جلسات گذشته اصول و تفسیر، شاید ده‌‌ها بار تکرار شده و اینجا به این مطالب مربوط می‌شود. به گمانم اگر کسی اینها را تصور کند خود اصل تصورش لذت خاص خودش را دارد که به هیچ وجه و در هیچ فضایی، در صوری‌‌ترین نظام‌‌ها که هیچ صحبتی از حقّ و باطل به معنای صدق‌‌گذاری سمنتیک -حق و باطل مقابلی- هم نیست، آنجا هم مسبوقیت به یک حقّ بدون مقابل، یعنی حقّ مطلقی که مقابل ندارد، هست.

این مطالب را قبلاً هم عرض کردم. «وَ يُبْطِلَ الْباطِلَ»[2] یعنی باطل، باطل است، امّا باطل بودن باطل، باطل نیست، حقّ است. بطلان باطل حقّ است یا باطل است؟ حقّ است. آن حقّ همه جا، ساری است. حتّی باطل هم در باطل بودنش حقّ است، حقّاً باطل است، آن حقّ، حقّ مقابل ندارد و غیره، که این رشته، سر دراز دارد.

شاگرد: از حقّ یک استفاده اشاره‌‌ای می‌شود؟

استاد: بله، لذا عرض می‌کردم که اینجا از جاهایی است که از مفهوم توصیفی حقّ و باطل، ذهن ترفند به کار می‌برد، می‌فهمیم مشارإلیه چیست، وقتی به همدیگر می‌گوییم مشکلی نداریم، مثل اینکه می‌گفت «نبود نان در سفره هست» -یادتان هست که عرض می‌کردیم؟- که در مراد همدیگر مشکل نداریم، امّا لفظ هم [مهم است،] نبود هست یعنی چه؟ نظیر همین راجع به حقّ و باطل است. بعضی عبارات فی حدّ نفسه خیلی جالب است، در زیباترین دعاهای ماه رجب، که از علوِّ بالابالا، این دعای شریف برخوردار است، می‌فرماید:«مُوجِدَ كُلِ‏ مَوْجُودٍ …..وَ فَاقِدَ كُلِّ مَفْقُودٍ»[3] چه تعبیری، که خودش چه دستگاهی دارد.

صورت‌‌بندی پارادوکس خرمن

«پارادوکس استدلالی است به وضوح معتبر با مقدمات به وضوح صادق و نتیجه به وضوح کاذب.» که آدم را متحیر می‌کند که چطور می‌شود. باید راهی برای این پیدا کنیم. چه شده این [فضا] پیش آمده، راه‌‌های مختلفی [است] که این رساله برای همین است. کل پایان‌‌نامه‌ای هم که ایشان نوشته‌‌اند برای همین است که ببینیم چه اتفاقی افتاده که این پارادوکس خرمن پدید آمده است. نظریه‌‌ای ارائه دهیم که این پارادوکس را حلّ کند، به جهاتی که توضیحات بیشتر را بعداً می‌دهند. سریع‌‌تر عبارت را جلو ببریم که از عبارات ایشان استفاده کنیم.

«یکی از نمونه‌‌های مشهور و قدیمی این تعریف، که پارادوکس خرمن (Sorites Paradox) نام دارد.» که عرض کردم که (Sorites) به معنای پارادوکس تسلسل منطقی است، به معنای خرمن نیست ولی روی اصطلاح ایشان خرمن را به پارادوکس تسلسلی تطبیق می‌دهند. «در قسمت‌‌های پیشین معرفی شد.» پارادوکس‌‌های معروف دیگر، مثل پارادوکس دروغگو و پارادوکس‌‌های مختلف دیگری که در ریاضیات و فضاهای علمی دیگر مثل منطق، مطرح شده جای خودش را دارد، (یا مثل پارادوکس سلمانی و دلّاک که سر را می‌تراشید الان دقیق یادم نیست) این را می‌دانم که یک لیستی دارد و یک صفحه‌‌ای دارد مثل همین دانشنا‌مه‌‌ها که لیست حدود صد پارادوکس را آورده است.

حالا می‌خواهیم صورت‌‌بندی‌‌اش کنیم. اول با محتوای حرف زدن صورت‌‌بندی می‌کنیم تا بعد به فرم برسیم.

به صورت صغری:«یک دانه گندم تشکیل خرمن نمی‌دهد.» البته اینجا صغری و کبری به صورت قیاس نداریم. اینجا چون یک استقرای ریاضی است، یک مقدمه‌‌ و فرض پایه داریم، یک فرضی داریم که در یک مقطعی از مجموعه اثبات می‌شود و بعد یک نتیجه داریم، الان فرض پایه این است: «یک دانه گندم تشکیل خرمن نمی‌دهد.» استدلال آن بدنه‌‌ی استقراء «به ازای هر n» یعنی هر عددی که شما فرض بگیرید، آنجا یک دانه‌‌ی گندم بود، [حالا می‌گوید] به ازای هر عددی برای گندم  «اگر n دانه‌‌ی گندم» مثلاً دو تا «تشکیل خرمن ندهد، آنگاه n+1 دانه گندم تشکیل خرمن نمی‌دهد.»

«∴» این سه نقطه نماد نتیجه است، نتیجه اینکه «صد هزار دانه گندم تشکیل خرمن نمی‌دهد.» در پاورقی گفته‌‌اند که من صدهزار را انتخاب کرده‌‌ام، شما مشکل‌‌پسند هستید بگویید صدمیلیون مثلاً.

شاگرد: در جلسات قبل شما فرمودید که اگر صدهزار دانه کم است می‌توانید بیشتر کنید.

استاد: بله.

«مقدمه نخست (یا مقدمه‌‌ی پایه) به وضوح صادق است؛ توجیه مقدمه‌‌ی دوم، که از این پس آن را مقدمه‌‌ی استقرائی (lnductive Premise) خواهیم نامید، نیز ساده است: یک دانه‌‌ی گندم در خرمن بودن یا نبودن، نمی‌تواند تأثیری داشته باشد، ولی نتیجه به وضوح کاذب است.

به‌‌طور مشابه اندکی تغییر در ابعاد فیزیکی در لاغری تأثیری ندارد. بنابراین مشابه پارادوکس بالا را می‌توان برای محمول «لاغر» نیز تکرار کرد. همچنین اندکی تغییر در طول قد در قدبلندی تأثیری ندارد. و بسیاری نمونه‌‌های دیگر. ساخت‌ این نوع پارادوکس بسیار ساده است: زنجیره‌‌ای از اشیاء را در نظر بگیرید که در پارامترهای مرتبط به یک محمول مشخّصφ تفاوت قابل چشم‌‌پوشی داشته باشند، شیء اول محمولφ را ارضا کند و شیء آخر نه. مثلاً زنجیره‌‌ای از انباشت‌‌های گندم به طوری که: انباشت اول تنها یک گندم دارد، انباشت دوم دو گندم دارد، …. و انباشت صدهزارم صدهزار دانه‌‌ی گندم دارد. در این مثال، انباشت اول خرمن نیست، ولی انباشت آخر، خرمن است. حال اگر اشیاء دنباله را 1، 2، …، k بنامیم، استدلال‌‌های زیر به نظر صحیح می‌آید که همان صورت کلی پارادوکس خرمن است.»

«مقدمه نخست» اینها را دقت کنید که مطالب اصطلاحی است، دنباله‌‌ای اینها را هم بگیرید، اگر می‌دانید که الحمدلله، اگر مثل من نمی‌دانید با هم همراه شویم و دنباله‌‌اش را بگیریم که ببینیم مقصود اهل اصطلاح چیست.

توضیح مقدمه نخست (مقدمه پایه)

 «مقدمه نخست(یا مقدمه‌‌ی پایه)» ببینید «صغری» نمی‌گویند. «پایه» اصطلاحی در اصل استقراء ریاضی است. اول چیزی را که شما به عنوان  argumentیا پارامتر، یا عددی که [استقراء ریاضی با آن سروکار دارد، پایه است] -چون استقراء ریاضی با اعداد طبیعی سر و کار دارد-  اصل تعریف استقراء ریاضی این است که شما چیزی را حسابیزه یا حسابیدن کنید. حسابیدن یک مفهوم مهمی در قرن بیستم است که برای ریاضیات عالی قرن هفدهم و هجدهم انجام دادند. در قرن هفدهم و هجدهم ریاضیات خیلی پیشرفت کرد امّا به قول عرب‌‌ها یک فوضی در آن بود، ناخودآگاه یک هرج و مرج پیش آمده بود، بعد متخصصین و اساتید مهم ریاضیات که این فوضی آنها را اذیت می‌کرد، حسابیدن را آغاز کردند. -مرادف انگلیسی‌‌اش را نگاه کردم ولی دقیق یادم نیست – حسابیدن به تعبیر ساده‌‌ی خودمان،[که حکمت بازگشت به تعابیر ساده خودمانی این است که] بعضی‌‌ گفته‌‌اند که شما قدر چیزهایی که خدا ابتداء به بشر داده است، را بدانید، هر چه در کلاس پیشرفت می‌کنید از این چیزی  است که خدا به شما داده ،  قرار است به عنوان پایه از آن استفاده کنید، آن چیزی که خدا به بشر داده اعداد طبیعی است، حتّی خدا در اعداد صفر به بشر نداده است، صفر یعنی هیچ، عدد نیست، آن چیزی که خدا به بشر داده همان اعداد طبیعی است.

شاگرد: دو به بالا.

استاد: یک را برای خودش نگه‌‌داشته است. خدا اعداد طبیعی را به بشر داده است. حسابیدن یعنی شما هر چیزی را می‌خواهید در موردش حرف بزنید با اعداد طبیعی نگاشتش کنید، یعنی یک نحو تناظر یک به یک با اعداد طبیعی برقرار کنید. نگویید یک دوم(2/1) و یک سوم (3/1) و منفی دو (2-) و…، نه اینطور نگویید، اعداد طبیعی حتّی صفر هم ندارد، از یک شروع می‌شود و تا بی‌‌نهایت می‌رود. این حسابیدن است. -البته اگر اینها درست عرض کنم.-

می‌گویند علامت خطر، علامت تعجّب و علامت هشدار جاهای مختلف به کار می‌رود، حالا روی هر یک از این مطالبی که عرض می‌کنم یک علامت هشدار بگذارید که مراجعه کنید، چون از مطالعه و حافظه‌‌ی ضعیف است.

پس حسابیدن این شد که شما می‌آیید چیزها را بر طبق نگاشتی با مجموعه‌‌ی اعداد طبیعی درمی‌آورید. در اینجا اصل استقراء ریاضی این است که شما دقیقاً آن n، در منطق ما همیشه اندیس ما یا آرگومان ما لازم نیست  n باشد، امّا در استقراء ریاضی این n همیشه عدد است و عدد طبیعی هم هست. نکته‌‌ای که عرض کردم این است که پایه‌‌ی استقراء ریاضی بر حسابیدن است، یعنی پایه‌‌اش بر این است که این n فقط مجموعه‌‌ی اعداد طبیعی باشد تا استقراء ما را سر و سامان دهد.

«مقدمه‌‌ی نخست(مقدمه‌‌ی پایه)» «مقدمه‌‌ی پایه» اصطلاحی است در استقراء ریاضی یعنی …

شاگرد: یعنی یک.

استاد: لازم نیست یک باشد.

شاگرد: اندیس یک به آن می‌دهند.

استاد: بله اندیس یک است، ولی لازم نیست خودش عدد یک باشد.

شاگرد: در واقع نگاشت به یک شده است.

استاد: بله. با یک شروع می‌شود، به عنوان گام یک یا گام اول.

«مقدمه‌‌ی نخست(مقدمه‌‌ی پایه) به وضوح صادق است» چرا؟ چون گفتیم یک دانه‌‌ی گندم خرمن نیست.

«توجیه مقدمه‌‌ی دوم» مقدمه‌‌ی استقرائی‌‌مان را هم باید اثبات کنیم. می‌گویند توجیهش و اثباتش شهودی است، اشکالی ندارد، می‌دانیم وقتی یک دانه‌‌ی گندم روی یک دانه‌‌ی گندم گذاشتیم و دو دانه شد، آنجا هم قطعاً خرمن است. اگر روی دو دانه هم یک دانه‌‌ی دیگر گذاشتیم یعنی خرمن نسبت به یک دانه اضافه کردن حالت رواداری دارد.

«توجیه مقدمه‌‌ی دوم که از این پس آن را مقدمه‌‌ی استقرائی (lnductive Premise) خواهیم نامید،» مقدمه‌‌ی پایه یک عنصر استقراء است، مقدمه‌‌ی استقرائی و نتیجه هم یک چیز دیگر است.

 «نیز ساده است: یک دانه‌‌ی گندم در خرمن بودن یا نبودن، نمی‌تواند تأثیری داشته باشد، ولی نتیجه به وضوح کاذب است.» که بگوییم صدهزار دانه خرمن است. «به‌‌طور مشابه، اندکی تغییر در ابعاد فیزیکی در لاغری تأثیری ندارد.» اگر شخصی یک میلیمتر چاق‌‌تر یا لاغرتر باشد فرقی نمی‌کند، همینطور ادامه می‌دهیم و دائماً میلیمتر‌‌ها را اضافه می‌کنیم. «بنابراین مشابه پارادوکس بالا را می‌توان برای محمول «لاغر» نیز تکرار کرد.» خیلی واضح است. «همچنین اندکی تغییر در طول قد در قدبلندی تأثیری ندارد. و بسیاری نمونه‌‌های دیگر. ساخت‌ این نوع پارادوکس بسیار ساده است» چگونه است؟ ریخت استقراء ریاضی و صورت‌‌بندی فکر را توضیح می‌دهند. «زنجیره‌‌ای از اشیاء را در نظر بگیرید» یعنی خرمن‌‌هایی با تفاوت‌‌های یک دانه‌‌ی گندم «که در پارامترهای مرتبط» پارامتر یعنی تعداد‌‌های دانه‌‌های گندم که مرتبط است با محمول‌‌های خرمن بودن «که در پارامترهای مرتبط به یک محمول مشخّصφ تفاوت قابل چشم‌‌پوشی داشته باشند» چون تفاوت پارامترها به یک گندم است، در ارتباط با خرمن بودن یا نبودن تفاوت قابل چشم‌‌پوشی دارند. «شیء اول محمولφ را ارضا کند» شیء اول یک دانه گندم بود. قطعاً محمولφ که خرمن نبودن است. معمولاً متغیرφ را که از زبان یونانی می‌گیرند، منطق ریاضی در ابتدای کار متغیرها را از زبان خودشان گرفتند، مثلاً می‌گفتند اگرp آنگاه q (p→q)؛ p حرف اول قضیه بود، یعنی اگر این قضیه را فرض بگیرید، q هم که بعد p بود، یعنی قضیه‌‌ی دوم، p از قضیه بود، q هم که در حروف الفبا بعد از p می‌آید. می‌گفتند اگر قضیه‌‌ی اول، قضیه‌‌ی دوم، به جای اینکه بگویند قضیه‌‌ی اول و قضیه‌‌ی دوم می‌گفتند اگرp سپس q (p→q)؛ یعنی حرف q را به جای قضیه‌‌ی دوم به دنبالش می‌آوردند و این در ریاضیات خیلی نظیر دارد.

بعد که می‌خواهیم عنوان کلی‌‌تر به قضایا بدهیم، صحبت فرامتغیّرها می‌شود. فرامتغیّر یعنی یک متغیّرِ داخل نظام نیست که روی آن اسم بگذاریم، بلکه در فرازبان، یعنی در آن زبانی که داریم راجع به آن زبان و آن سیستم صوری صحبت می‌کنیم اینها را به کار می‌بریم. مثلاً اگر الان بخواهیم خودمان بگوییم، راجع به زبان طبیعی وقتی می‌گوییم ما از اشیاء صحبت می‌کنیم، بعداً اشیاء را در یک قضیه وارد می‌کنیم. ببینید کلماتی مثل «قضیه» یا حتّی خود «اشیاء» یک نحو تجریدی از آن واقعیاتِ حرف‌‌هایی است که می‌زنیم، زید و عمرو و بکر. الان در این تجرید چکار می‌کنیم؟ داریم یک سطحی از مفاهیم را در نظر می‌گیریم که تجرید شده و تعمیم‌‌داده و صحبت‌‌کننده‌‌ی راجع به یک سطح پایین‌‌تر از خودش است. شما در منطق که حرف می‌زنید، در چه سطحی حرف می‌زنید؟ دارید در سطحی حرف می‌زنید که فکرهای ذهن مردم را توضیح می‌دهید. اینجا هم همینطور است. اینجا هم شما فرامتغیر می‌آورید برای اینکه هر چیزی را بتوانید در دل این جا بدهید. پس متغیر φ یعنی هرگونه عبارتی باشد، چه قضیه‌‌ی مفرد و اتمی باشد، چه قضیه‌‌ی مرکب باشد، گزاره‌‌ی مرکب باشد، مرکب عطفی باشد، شرطی باشد، فصلی باشد، هر چه باشد. پس این φ یعنی هر طور چیزی که یک عبارت صحیح باشد. ولی باید صحیح و طبق نظام باشد. قید این φ این است که درست باشد و غلط نباشد و در نظام معتبر باشد.

«محمول مشخص φ» الان در ما نحن فیه ببینید این محمول خودش منفی است، خرمنِ گندم نبودن، ولی ما به φ تعبیر می‌کنیم، نیاز نداریم not و نماد نفی را کنارش بگذاریم.

«زنجیره‌‌ای از اشیاء را در نظر بگیرید که در پارامترهای مرتبط به یک محمول مشخّصφ تفاوت قابل چشم‌‌پوشی داشته باشند، شیء اول» که یک دانه گندم است «محمولφ را ارضا کند و شیء آخر نه.» یعنی ارضا نکند، شیء آخر صدهزار دانه‌‌ی گندم بود که ارضا نمی‌کند، یعنی خرمن گندم هست. می‌خواهد بگوید خرمن گندم نیست محمول گندم نبودن را ارضا نمی‌کند. از اینجا تناقض پیش می‌آید.

«مثلاً زنجیره‌‌ای از انباشت‌‌های گندم به طوری که: انباشت اول تنها یک گندم دارد، انباشت دوم دو گندم دارد، …. و انباشت صدهزارم صدهزار دانه‌‌ی گندم دارد. در این مثال، انباشت اول خرمن نیست، ولی انباشت آخر، خرمن است. حال اگر اشیاء دنباله را 1، 2، …، k بنامیم» ببینید یک و دو اعداد طبیعی است تا آخرین عدد که به عنوان متغیر نمی‌تواند، k با این فرق می‌کند و خود عدد طبیعی نیست، آن شماره‌‌ی معینی است و به عنوان متغیر هم نیست و به عنوان یک چیز دلخواهی است که آنجا باید به آن برسیم و متعین است. حالا توضیح تفاوت این با موارد دیگر بعداً می‌آید.

«استدلال‌‌های زیر به نظر صحیح می‌آید» اگر اینها را بگذاریم  این استدلالات صحیح است «که همان صورت کلی پارادوکس خرمن است.»

همین حرفی را که ایشان گفتند در نماد هم پیاده کرده‌‌اند. قبلی نماد نبود، فقط نتیجه را به صورت نماد آورده بودند. بقیه حرف می‌زد. امّا اینجا صرفاً نماد محض و صورت محض است که إن شاء الله فردا زنده بودیم همه‌ی اینها با دنباله‌‌اش را می‌خوانیم.

«و الحمد لله رب العالمین و صلّی الله علی محمّد و آله الطیبین الطاهرین»

نمایه: پارادوکس، پارادوکس خرمن، ابهام، منطق صوری، منطق مادی، شکل اول، تناقض‌نما، استدلال صحیح، استدلال معتبر، منطق ریاضی، منطق ارسطویی، منطق جدید، منطق کلاسیک، منطق دوارزشی، منطق سه‌ارزشی، منطق فازی، منطق صوری، زبان صوری، ارزش‌گذاری صدق و کذب، سمنتیک استنتاج اصل موضوعی، استنتاج طبیعی، استنتاج درختی، منطق‌‌فراسازگار، تناقض، استقراء ریاضی، مقدمه‌‌ی پایه، فرازبان، فرامتغیّرها، متغیر، اعداد طبیعی، حسابیدن،

اعلام: دکتر محمد خوانساری، دکتر مصاحب، چیت‌‌ساز

[1] مقاله‌ی «ابهام و پارادوکس خرمن»، ص8

[2] سوره‌ی انفال،آیه‌ی8.

[3] شیخ طوسی،مصباح المتهجد و سلاح المتعبد، ج‏2، ص804.