بسم الله الرحمن الرحیم

موضوع این جلسه : بررسی ابهام درریاضیات و بی نهایت و ویژگی های ابهام.

شاگرد: ما اگر در مورد ریاضی محض صحبت ‌کنیم و بحث خط لوازم خودش را دارد. مثلاً در عالم واقع چیزی که حالت مستقیم یا انحناء دارد، اگر از انحنایش یک مقدار ناچیز کم کنیم عرف می‌گوید این همان منحنی است. سؤال این است که ما در فضای عرف بحث می‌کنیم یا در عالم ریاضی محض؟

استاد: [اینکه فرمودید] عالم ریاضی محض، ظاهراً مقصود شما «محض» اصطلاحی نیست. امروزه که «محض» می‌گویند یعنی [ریاضیاتی که] کاربردی نباشد؛ ریاضیات محض [در مقابل] ریاضیات کاربردی. شما که «محض» می‌فرمایید منظورتان ریاضی علمی و ریاضی عرفی است.

شاگرد: بله همینطور است.

استاد:[در جواب باید گفت] نه، بحث ما در مورد ریاضی محض بود ولی در ریاضی محض پیشرفت‌‌های [زیادی در رابطه‌‌ی با] حد و تابع و میل به صفر شده که اینها هم ریاضی و ریاضی دقیق هم هست. برای اینها خیلی زحمت کشیده شده است. منظور این که بنای ما بر ریاضیِ دقیقِ محض بود، ولی با حرف‌هایی که در آن زده شده و پیشرفت‌‌هایی که کرده است.

شاگرد: مثلاً اگر یک روی (x) باشد و (x) به بی‌‌نهایت میل کند می‌گوییم این مساوی با صفر است، دقیقاً صفر می‌شود؟

استاد: الان در محاسبه صفر می‌گیرند.

شاگرد1: مساوی می‌نویسند، قریب یا میل نمی‌نویسند.

استاد: مساوی با صفر می‌نویسند.

شاگرد: میل نمی‌نویسند، منظورم در صورتی است که با عالم واقع تطبیق کنیم و الا این را یک قرارداد گرفته‌‌اند که مثلاً اگر یک روی (x) باشد و (x) به بی‌‌نهایت میل کند، به جای این صفر می‌گذاریم، سؤالم این است که این یک توافق است یا در عالم واقع چنین اتفاقی می‌افتد؟

شاگرد1: باید دید کدام واقع منظور است. واقع ریاضی منظور است؟

استاد: جزوه‌‌ی «نکته‌‌ای در نقطه» را خدمت شما نداده بودم؟ همین مطالب در مورد اینکه واقع کدام است خیلی ذهن‌‌ها را مشغول می‌کند.

شاگرد: جزوه‌‌اش در فضای مجازی هست.

استاد: مطالبی به ذهنم بود، شاید ایام نزدیک نیمه شعبان بود یا ایام دیگر بود. گاهی نوشته‌‌هایی سریع می‌نویسم که یادم نرود، وقتی سریع می‌نویسم خط خیلی بد می‌شود، چون خط خوب کار نکردم و همین باعث شده که خطم خیلی بد شده است. قبلاً اینقدر بد نبود، الان چون عادت کردم سریع بنویسم و بعد کار خطی دیگری جز همین‌‌ها ندارم، [ باعث شده که خطم خیلی بد شده است.] گاهی می‌آیند عکس می‌گیرند و من خجالت می‌کشم.

ولی در «نکته‌‌ای در نقطه»  به ذهنم آمد که چند کلمه‌‌ای که نوشته شده علی أی حال بعداً زمینه‌‌ی فکری فراهم کند. -لذا اینها را جمع کردم و یادم نیست که خودم یا دیگری تایپ کرد.- حالا همین مطالب در آنجا بررسی می‌شود که واقعاً در واقع چیست؟ کدام را [واقع] بگوییم؟ واقع‌‌گویی در اینجا [به چه معناست؟] واقع اینطور نیست؛ یعنی آدم به طور واضح می‌فهمد چیزی که میل به صفر کرده را حقّ نداریم مساوی صفر بگیریم. خودتان می‌گویید میل به صفر کرده بعد می‌گویید مساوی با صفر! همین مطالب در اول کأنّه موجب یک نوع وهنی برای بعض مطالب بعدی می‌شود.

شاگرد: شاید تفسیر آنها از میل متفاوت باشد. ما معمولاً از اینطرف می‌بینیم و اشکال به ذهنمان می‌آید، یعنی گاهی اوقات از این طرف می‌بینیم، امّا شاید بتوان گاهی اوقات از طرف دیگر دید. خود صفر را لحاظ کنیم مثل دو نفر که شانه به شانه هم باشند مثل خود صفر که صفری است که کأنّ اگر بُعد می‌داشت سمت چپش یا سمت راستش داشت. یعنی بحث همسایگی را که تعریف می‌کنند، وقتی همسایگی را خیلی کوچک کنیم تا به سمت دیگری برود، همسایگی چپ و همسایگی راست و امثال اینها، یک مقدار این به ذهن می‌آید که ممکن است واقعاً بحث چیز دیگری باشد.

استاد: تاریخ علم خیلی مهم است. فرمایش شما مربوط بود به اصل بحث .

ابهام در ریاضیات

بسم الله الرحمن الرحیم

سؤال فرمودید که این بحث‌‌هایی که دیروز شد، منظور ما ریاضیات محض بود یا ریاضیات عرفی؟ -یعنی نگاه عرفی به مقوله‌‌های ریاضی-

شاگرد: اشیائی که در خارج داریم.

استاد: اشیائی که در خارج داریم و با یک دید عرفی یا حتّی به دید حسّ خودمان در عالم میانه؛ عالم میانه عالمی است که علی أی حال ما با یک مقیاس‌‌هایی به اشیاء هندسی نگاه می‌کنیم. عالم میانه اگر به طرف عالم بی‌‌نهایت بزرگ یا بی‌‌نهایت کوچک برویم خیلی فرق می‌کند. خلاصه بحث ما بحث ریاضی محض بود یا دید متعارف بود ولو متعارف علمی؟ منظور شما از «ریاضیات محض» این بود که غیر از آن ریاضیات محضی است که مقابل ریاضیات کاربردی است، آن محض منظور شما نبود.

عرض کردم بحث ما ریاضی محض بود امّا با در نظر گرفتن همه‌‌ی پیشرفت‌‌هایی که در ریاضیات صورت گرفته است؛ مثل قضیه‌‌ی میل به صفر، بی‌نهایت‌‌ها و امثال اینها.

بررسی میل به صفر در ریاضیات

بعد فرمودید این قضیه‌‌‌ که از این طرف بگوییم «چیزی که میل به صفر کرد پس مساوی با صفر است» را نمی‌توان گفت. این «پس» به آن «پیش» دقیقاً نمی‌خورد -به قول فرمایش ایشان به حسب واقع-

[در مقابل شما] می‌فرمایید چرا از این طرف می‌گویید که میل به صفر کرد پس نمی‌توانیم مساوی با صفر بنویسیم، شما از خود صفر شروع کنید. -من اگر مقصود شما را درست عرض نمی‌کنم بفرمایید-

شاگرد: فی‌‌الجمله….. وقتی می‌گوییم صفر کانّ یک بُعدی داشت ولی صفر واقعاً بُعد ندارد. یعنی برای صفر یک طرف چپ و راستی لحاظ می‌کنیم و حال آنکه در صفر طرف چپ و راست نداریم. مثل نقطه که طرف ندارد.

استاد: یعنی از خود صفر که شروع کنیم…

شاگرد: شروع نمی‌کنیم، بحث شروع کردن نیست، نگاه ما معطوف به آن است، یعنی می‌گوییم میل می‌کند، دائم دستمان را آن طرف نبریم که کأنّ از یک راه دوری می‌آید.

استاد: منظور من از شروع یعنی همان تمرکز.

شاگرد: تمرکز دقّی‌‌مان را روی آن طرف ببریم.

استاد: روی خود صفر می‌بریم.

شاگرد: دائماً وقتی آن طرف را نگاه می‌کنیم می‌گوییم معلوم است که فاصله دارد، ببینید فاصله دارد، هر چقدر هم نزدیک بشود باز هم فاصله دارد. می‌گوییم این نزدیکی را شاید به شکل دیگر هم بتوان بیان کرد، علی الخصوص با لحاظ آن بحث‌‌هایی که مشتق در مورد خط مماس و امثال اینها می‌کنند، به نظر می‌رسد شاید بحث‌‌هایی که دارند و مساوی با صفر می‌نویسند پربیراه نباشد.

استاد: در مساوی نوشتن همان جا، هنوز این سؤال باقی است که شما اگر مقیاس‌‌ها را عوض کنید، همان صفری که شما روی آن تمرکز کردید و می‌گویید شانه‌‌ی چپ و راستش، اگر بگویید علی أی حال شانه‌‌ی چپ و راست، خط ما، خط حقیقی و پیوسته است که صفر روی آن تمرکز کرده است. یک وقتی الان من و شما با این قوای دماغی کره زمین خط حقیقی را تصور می‌کنیم و شانه‌‌ی چپ و راست می‌گوییم، امّا یک وقت یک انسانی که مثلاً بسیار هیکل بزرگی دارد را فرض می‌گیریم که منظومه‌‌ی شمسی در سلول‌‌های بدن او جا گرفته است،- همانطور که الان در سلول‌‌های بدن ما خبرهاست، مولکول‌‌ها و اتم‌‌های زیادی در حال گردش‌‌اند و ما هم به عنوان انسان حرف می‌زنیم …. اگر با چنین انسانی صحبت کنید می‌گوید اصلاً خطی که شما روی صفر آن تمرکز کرده‌‌اید، برای من خود این خطِ شما زیر صفر است.

شاگرد: این بحث در مورد تطبیق خارجی شد، این دو با هم تفاوت می‌کند.

استاد: حالا صبر کنید من عرض می‌کنم.

شاگرد: آنها می‌گویند شما هر چقدر بزرگ و بزرگ‌‌تر کنید هنوز میل به بی‌‌نهایت مانده است. آن وقت می‌گوییم میل به بی‌‌نهایت.

استاد: نشد، قرار شد میل را از این طرف نگاه کنید، ما داریم شانه‌‌ها را می‌بینیم. شما دوباره این را «میل» کردید، و وقتی«میل» می‌گویید از طرف یک به طرف صفر می‌آیید. -قشنگ شد- می‌گویید بی‌نهایت کوچک و میل به بی‌نهایت و از این [نوع] حرفها می‌زنید. شما می‌خواهید بگویید نباید گفت چرا می‌گوییم مساوی صفر است، خود صفر را ببین، بگو شانه‌‌ی چپ و راستش، قرار شد اینطور باشد. حالا من که شانه‌‌ی چپ و راست می‌گویم، شانه‌‌ی چه کسی را در نظر می‌گیرید که صفر را تمرکز می‌کند که چپ و راست صفر بشود؟

شاگرد: ما می‌گوییم هر کسی ممکن است. ما روی صفر متمرکز می‌شویم، روی یک نقطه‌‌ی واقعی.

استاد: نه، تفاوت می‌کند. نقطه‌‌ی واقعی چیست؟ طرف الخط است؟

شاگرد: من نمی‌توانم نقطه‌‌ای را بدون بُعد تصور کنم همان طرف را تصور می‌کنم.

استاد: طرف که شانه ندارد.

شاگرد: مثلاً طرف الخطی که طرف خط راست باشد و طرف الخطی که طرف خط سمت چپ باشد.

استاد: طرف که شانه ندارد؛ طرف، طرف است. مثلاً شما دقیقاً رأس یک مخروط [را در نظر بگیرید] این طرف دارد؟ تمام شده است. ممکن است بگوید حالا من یک شانه‌‌ای فرض می‌گیرم! خط تمام شد، طرف انقطاع الخط است. اگر واقعاً رأس مخروط انقطاع خط است، نمی‌توانید بگویید طرف راستش، چون تمام شده و بالدقه طرف ندارد. شما چکار می‌خواهید بکنید؟ اگر طرف الخط است شما چکار می‌خواهید بکنید؟ ملاحظه می‌کنید؟ روی رأس مخروطی که تمام شده دقیق شوید -دو مخروط و مقاطع مخروطی در نظر نگیرید- به نقطه‌‌ی رأس مخروط رسیدیم و ایستادیم، حالا می‌گویید این سر مخروط طرف الخط است، اگر مخروط در طرف چپ است، شانه راست ندارد، اگر مخروط پایین است بالا ندارد.

شاگرد: و لذا ما برای توابعی که از یک طرف فقط تعریف می‌شوند، همسایگی آن طرف را نداریم، فقط همسایگی این طرف را داریم.

استاد: پس به تعریف ما بستگی پیدا کرد، ما نمی‌توانیم صفر بگوییم. یعنی ما صرف اینکه تمرکز روی یک نقطه کنیم،-دقیقاً خودتان فرمودید- مجوز نیست برای اینکه شانه‌‌ی راست دارد، چطور تعریف کردیم؟ پس صرف تمرکز مفید نبود.

شاگرد: تمرکز کردیم روی آن، و در واقع یک شانه با شانه‌‌ای را لحاظ کردیم که تعریف شده است.

استاد: که خلاف واقع است. اگر به عنوان صفر تعریف شده که شانه نیست. اگر به عنوان شانه‌‌ی صفر تعریف شده الکلام الکلام. پس واقعیت صفر نیست، و نمی‌توانید بنویسید مساوی صفر است. لذاست که می‌گویم آن طرف را بگیرید. ببینید وقتی خط تمام شد، شانه‌‌ی راست دارد یا نه؟

شاگرد: اگر ما بُعد می‌داشتیم شانه تعریف شده بود، امّا حالا که بُعد نداریم چطور می‌شود؟ اگر بُعد نداشته باشیم شانه‌‌ی دقیقاً منطبق می‌شود، همان طرف الخط می‌شود. در واقع در این نگاه طرف الخط با نقطه روی هم شده‌‌اند، یعنی در واقع می‌خواهیم بگوییم یک خطی داریم؛ از آن طرف و نزدیک و  نزدیک‌‌تر می‌شویم و وقتی به آخرش رسیدیم این همان صفر است، چه بگوییم آخر خط و چه بگوییم نقطه‌‌ی صفر فرقی نمی‌کند، همینطور در مورد خطی که منتهی‌‌الیه‌‌اش صفر است از آن طرف وقتی به آن نزدیک شدید می‌آیید و می‌آیید تا به طرفش می‌رسید، این طرفش همان نقطه‌‌ی صفر است و تفاوتی در نهایت قضیه نمی‌کند. یکی از شبهاتی که مطرح می‌شود این است که آیا همان نقطه با طرف الخط یکی است یا خیر؟

استاد: طرف الخط تعریف کلاسیک است، تعریف فطری از نقطه نیست.

شاگرد: این بحث‌‌ها جزء بحث‌‌هایی که معمولاً در کلاس‌‌های ابتدائی که ما خواندیم مطرح نمی‌شود. بین نقطه‌‌ای که در ابتداء برای آن کأنّه یک بُعدی تصور شده ولی این بُعد میل به صفر کرد با طرف الخط تفاوتی گذاشته نمی‌شود و بحثی روی آن نمی‌شود.

استاد: جالب این است که از همان ابتداء می‌گوییم نقطه یک عنصر تعریف ناشده است. دیده‌‌اید یکی از مهمترین چیزهایی که می‌گویند تعریف ناشده، نقطه است.

شاگرد: حالا اگر صلاح می‌دانید از بحث‌‌های کلاس فاصله نگیریم چون الکلام یجر الکلام می‌شود. مثالی هم که دیروز در مورد رأس بیضی فرمودید، گویا یک فرض مطوی دیگر داشتید و آن هم این است که فرض کردید نیم‌‌دایره است، قوس را صد و هشتاد درجه درنظر گرفتید، چون اگر کمتر از صد و هشتاد درجه باشد ولو شعاع را هر چقدر کم کنیم، خط حالت اینطوری یا اینطوری پیدا کند[ظاهراً با دستشان نشان می‌دهند] برای اینکه دو خط روی هم بیفتند، قوسی که رأس بیضی پیدا شده بود را باید صد و هشتاد درجه فرض کنید.

استاد: به فکرم می‌آمد که تا نیم‌‌دایره یا کمتر از نیم‌‌دایره برویم.

شاگرد: مجبور هستید که بروید.

استاد: در موردش فکر نکردم ولی در ذهن من شرط نبود. ببینید ما خم کروی یا دایره‌‌ای در نظر نمی‌گیریم، خم مطلق در نظر می‌گیریم که عرض کردم شبه بیضی.

شاگرد: در یک نقطه، شما یک انحناء بیشتر ندارید.

استاد: ما یک نقطه‌‌ی اتصال با یک قوس یک دایره داریم، آنها دایره فرض می‌گیرند ولی در یک نقطه از محیط آن دایره، یک خمی را به آن متصل می‌کنند، ولی خمی که اختیار این خم کاملاً دست خود ماست؛ یعنی می‌خواهیم دائماً خمیدگی این خم را زیاد کنیم، نه به نحو قوس دایره‌‌ای و به همان میزان، ولی خم کنیم.

شاگرد: در هر صورت وقتی خمیدگی خم را زیاد کردید، یعنی دایره‌‌ای با یک شعاع مماس بر اوست، که شعاع همینطور کم می‌شود.

استاد: خم را دایره فرض نمی‌گیریم. خم را قوس دایره در نظر نمی‌گیریم، خمی است که مماس با یک دایره است.

شاگرد: احسنت، خمی که مماس با یک دایره است که خمیدگی این خم بر اساس آن شعاع دایره‌‌ای که مماس بر اوست تعیین می‌شود، و هر چه آن شعاع کمتر باشد می‌گوییم خمیدگی این بیشتر است. امّا بحث در این است اگر در نظر بگیرید که این خمیدگی تغییر کند، باید در نقاط جانبی این، دائماً خمیدگی‌‌های متفاوتی داشته باشید، مگر اینکه خودمان را خلاص کنیم و بگوییم در این نوک، فقط یک خم دارم، یعنی یک اندازه‌‌ی خمیدگی بیشتر ندارم و همان را کم و زیاد می‌کنم، کنارش هم حتّی خط فرض کنید. این دو خطی که در واقع از ادامه خمیدگی مماس شده و پایین می‌رود که بیضی هم در نظر نگیریم، اگر بخواهیم قوس و اندازه‌‌ی درجه خمیدگی بالا را کمتر از صد و هشتاد درجه در نظر بگیریم، در واقع این انطباق و روی هم قرار گرفتن دو خط حداقل به صورت چشمی اتفاق نمی‌افتد، بلکه اینها از هم باز می‌شوند و یک حالت زاویه پیدا می‌کنند.

استاد: منظور شما هذلولی است.

شاگرد: نه هذلولی منظور من نیست، منظور من این است که شما قوسی را در نظر بگیرید که ادامه‌‌اش دو خط می‌رود. در واقع زاویه‌‌ است، این زوایه اگر صد و هشتاد درجه باشد ادامه دادن و کوچک کردن شعاع دایره باعث می‌شود که این دو خط روی هم بیفتد، اگر کمتر از صد و هشتاد درجه باشد نتیجه‌‌اش چیزی شبیه زاویه‌‌ای است که روی نوک آن یک خمیدگی خیلی کوچک است که به سمت صفر میل می‌کند.

استاد: شما می‌فرمایید شرط اینکه آن حرف سر برسد -اگر درست باشد- باید صد و هشتاد درجه باشد. دیروز در ذهن من این شرط نبود.

شاگرد: شاید ما درست متوجه نشدیم.

استاد: الان هم هنوز با این توضیحی که شما فرمودید، اشتراط آن چیزی که در ذهن من بود نمی‌آید،به این صورت که شما می‌گویید که اگر قوس کمتر باشد به صورت دو خط اینطوری درمی‌آید. چون علی أی حال اگر قوس دایره‌‌ای باشد و کمتر از صد و هشتاد درجه باشد، وقتی جلو بیاید، سر دو قوس یک جایی به هم می‌رسد که باید دوباره از هم عبور کنند تا بخواهد خم خیلی فشرده شود، البته اگر دایره باشد.

شاگرد: اصلاً عبور نمی‌کند، نیازی به عبور نیست. یک زاویه مثلث را در نظر بگیرید، زاویه‌‌های مثلث وقتی کشیده می‌شود. بعضی نقاله‌‌ها داخلش شکل خالی دارد و با آن مثلث می‌کشیم، آنجا اگر دقت بفرمایید وقتی می‌خواهم قلم را بچرخانم همان جا یک قوسی تشکیل می‌شود، در حقیقت دو خط نیستند که همدیگر را قطع کرده باشند و یک نقطه تشکیل شده باشد.

استاد: باید قلم را بردارم.

شاگرد: بله، باید قلم را برداریم و به یک شکل دیگری بکشیم. ولی اگر به همان ترتیب از داخل بکشیم آنجا واقعاً ابتداء یک قوس است، حالا این قوس را دائماً کوچک و کوچک‌‌تر بکنیم یعنی انحنایش را بالا ببریم، نزدیک به نقطه می‌شود. این همان اتفاقی است که در مورد تصویری که عرض کردم می‌افتد که دو خط کأنّ همدیگر را در یک نقطه [تلاقی می‌کند.]

استاد: آن چیزی که در ذهن من بود اصلاً اینطوری نیست. یعنی به نحوی که می‌فرمایید دو خط اینطوری می‌شود و کذا، آن‌طور خمیدگی منظور من نبود. -من خمیدگی را چطور بگویم؟- خود هذلولی بد نیست و  از این مثال شما به مطلب من نزدیک‌‌تر است. شما ببینید نزدیک رأس دو مخروط متصل به هم هذلولی تشکیل بدهید؛ یعنی پایه‌‌های هذلولی نزدیک رأس مخروط باشد. هذلولی‌‌هایی که فاصله‌‌هاشان نزدیک رأس مخروط باشد. این هذلولی بستگی به این دارد که مخروط را چطور فرض گرفته‌‌اید. اگر یک مخروط بسیار باریک را در نظر گرفته باشید، این هذلولی که شما درست می‌کنید کانّه مماس به رأس مخروط خودش است، چون خیلی نزدیک است ولی خم آن یک جایی به هم نمی‌رسد، خم آن تا بی‌نهایت می‌رود.

شاگرد: از هم باز می‌شود.

استاد: می‌توانیم کاری کنیم که تا بی‌نهایت باز شدنش مایل به صفر باشد، یعنی مخروط بسیار باریکی را در نظر می‌گیریم، ملاحظه می‌کنید که حتّی باز شدن  دو تا خط‌‌های جانبی هذلولی هم کم باشد، منظور من این بود. خلاصه خم است ولی خمی که آنقدر این مخروط را به هم نزدیک می‌کنیم که در ابتداء دو ضلع مخروط بود ولی آنقدر این دو قاعده مخروط …

شاگرد: دو مخروطی که زاویه‌‌شان تقریباً نزدیک صفر است.

استاد: احسنت، یعنی قاعده‌‌ی مخروط ما شعاع دارد ولی شعاعی مایل به صفر، این مقصود من است.

شاگرد: هذلولی منظور شما بود یا سهمی؟

استاد: هذلولی دو طرف بود، سهمی یکی بود. برای دو طرف بودنش وجهی به ذهنم نیامد. برای مقصود من سهمی هم فرقی نمی‌کند. آن دو تا بود و این یکی است. ظاهراً اگر مقاطع مخروطی یکی بود سهمی می‌شد و اگر دو تا بود [هذلولی می‌شد.]

شاگرد: وقتی موازی محور بود هذلولی می‌شد.

استاد: یعنی از هر دو طرف عین هم بود و مخروط‌‌ها را قطع می‌کرد.

این مخروطی که قاعده‌‌اش میل به صفر کرده است، -حالا شعاعش یا قطرش آنجا را باید دقت کنیم- علی أی حال قاعده‌‌ی این مخروط میل به صفر کرده است، ولی باز در واقع دو خط است، قاعده صفر نیست، زاویه‌‌ی آن خم بالا هم میل به صفر کرده است و روی حساب اینکه شعاع قاعده میل به صفر کرده است شما می‌گویید مخروط ما تبدّل إلی خطٍ، این در ریاضیات گفته می‌شود. می‌گوییم این مخروط تبدّل إلی خطٍ، چون زاویه‌‌ی رأسی آن صفر بود، قاعده‌‌اش هم میل به صفر کرده است، این یک خط است، ولو وقتی آن را بزرگ کنید یک مخروط بسیار باریک می‌شود که وقتی نگاه به بی‌نهایت بکنید و مرحله به مرحله‌‌ی میل به بی‌نهایت را تقطیع کنید اسمش آن می‌شود، این مطالب در ذهنم بود نه آن خم مثلث. در ذهنتان روش افناء در محاسبه حجم کره هست؟ در روش افناء برای اینکه حجم کره را حساب بکنند می‌آمدند رأس مخروط یا آن چند وجهی‌‌ها را روی مرکز کره می‌گذاشتند، قاعده‌‌ی مخروط را روی محیط کره می‌گذاشتند و بعد دائماً کوچکش می‌کردند. هر چه بیشتر کوچک می‌شد، محاسبه‌‌ی حجم کره به واقعیت حجم کره نزدیک می‌شد، ولو چون عدد در کره گنگ است تا بی‌نهایت هم دقیقاً مساوی  به خود او نمی‌رسد، چون گنگ است. ما هر چه محاسبه کنیم به او نخواهیم رسید، یا عبور می‌کنیم یا زیر آن است.

شاگرد: اگر محیطی باشد عبور کردیم، اگر محاطی باشد [زیر آن است.]

استاد: بله، اگر چند وجهی یا محیطی باشد عبور کردیم و اگر …

بررسی «ویژگی‌‌های معمول عبارات مبهم»

دو روز پیش مطالبی نوشته بودم که خود بحث ما که ابهام است مبهم است، بحث‌‌های دیروز باعث شد دوباره به یادم بیاید.

ایشان فرمودند: «ویژگی‌‌های معمول عبارات مبهم» سه ویژگی برای ابهام ما نحن فیه گفتند. آیا این ویژگی‌‌ها، ویژگی‌‌های ابهام بحثِ ابهام منطقی است -که ما به دنبال آن هستیم- به طور مطلق؟ یا نه این ویژگی‌‌ها فقط ویژگی‌‌های ابهام‌‌هایی است که مستعدّ پارادوکس خرمن هستند؟ این سؤال مهمی است.

شاگرد: گویا همینطور است و به همین وجه تصریح می‌کند. ابهام هست ولی ابهامش ربطی به پارادوکس خرمن ندارد.

استاد: نه، قبلاً گفتند[1] که ابهام در اینجا به معنای پیچیده و چندپهلو و… نیست، ابهامش بحث ماست، یعنی دقیقاً همین چیزهایی که می‌خواستیم بگوییم مصداق به شکلی است که طیف گسترده‌‌ای را تشکیل می‌دهد. امّا مستعدّ پارادوکس هست یا نیست؟ مثال‌‌هایی در اینجا به ذهنم آمد. مثلاً یکی از خصوصیّات مثال‌‌هایی که مستعد پارادوکس خرمن است این است که رواداری در جهت کم و زیاد شدن باشد. رواداری را ویژگی گرفتید که کم یا زیاد شود، امّا روادار در تبدیل هم داریم؛ [یعنی] به جای اینکه یک ذرّه از چیزی بردارید، یک چیزی دیگری به جایش بگذارید. مبهماتی که شئونات عرضی دارند اینطور هستند. مثلاً اگر بگوییم «خرمن گندم» -با همین مضاف الیه- بعد بگوییم شما یک ذره از این گندم -مثلاً یک سلولش را بردارید- بدون اینکه آن را کم کنید و به جای آن یک سلول جو بگذارید، دقّت کنید به جای گندم گذاشتید. این پارادوکس خرمن به معنای کم و زیاد شدن و رسیدن به اینکه خرمن هست یا نه، دیگر نیست، امّا با ادامه‌‌ی پارادوکس می‌گوییم هم خرمن گندم هست و هم خرمن جو؛ یک نتیجه دیگر می‌دهد.

شاگرد: گاهی اوقات می‌گوییم یک خرمن گندمی که غش از جو دارد،  در مورد این خیلی راحت است.

استاد: با ادامه دادن گفته می‌شود که این خرمن جو است. شما اگر تبدیل را ادامه دهید، می‌گویید رواداری که می‌گفت خرمن گندم همان خرمن گندم است، آخر کار به جایی رسیدید که تمام ذرات جو شده است، امّا حکم رواداری به ما می‌گوید که هنوز خرمن گندم است. یعنی به خرمن جو  با این ابهام و رواداری، می‌گویید خرمن گندم است. پس در رواداری به این معنا نیاز نداریم که کوچک بشود و به یک دانه برسد.

شاگرد: در واقع او ماهیت را ثابت گرفته و فقط مقدار را تغییر داده است.

استاد:او کمّ منفصل را تغییر داده است.

شاگرد: کمّ متّصل یا منفصل را تغییر داده، در مورد کم متصل هم می‌توان اجراء کرد، مثل قدبلند و امثال آن.

استاد: بله آنجا کمّ متصل بود. امّا در کمّ متصل ابهام را به شکل دیگری می‌توانیم مطرح کنیم و آن تقسیم اجزاء بالقوه آن است. خط را که قد است می‌توانیم یک میلیمتر، یک میلیمتر به آن اضافه کنیم که دائماً بزرگ می‌شود، [امّا فرض دیگر این است که]  به صد و پنجاه سانتی‌متر نه چیزی اضافه می‌کنیم و نه چیزی کم می‌کنیم، دائماً از دورن تقسیمش می‌کنیم و می‌گوییم دو نصفه، چهار بخش، هزار بخش، دو میلیون بخش، می‌گوییم اجزاء بالقوّه‌ای که این دارد را تقسیم کنید.

شاگرد: یعنی بالفعل کنیم؟

استاد: بله، با ادامه دادن بالفعل تقسیم کنیم. ریخت کار اینجا با رواداری متفاوت است.

شاگرد: قوام اینجا به چه شکل است؟

استاد: فکرش را نکردم ولی در ذهنم بود که دو سنخ کار هست. گاهی نکاتی به ذهنم می‌آید با فاصله‌‌ی پنج دقیقه می‌بینیم رفت، هر چه هم روی آن فکر می‌کنم که چه بود [یادم نمی‌آید.] باید یک جایی قلم و کاغذی باشد و سریع نوشته شود تا یادم بماند و خدمت شما بگویم. حالا اینها نکاتی است که هم من، هم شما باید دنباله‌‌ی آن را بگیریم؛ ببینید نگاه به کمّ متصل، از باب اینکه مبیّن یک کمّ متّصل غیرقارّ است، -یعنی حرکت مرتّباً یک خط را اضافه می‌کند- [به عبارت دیگر] به خط به عنوان نمود یک حرکت نگاه کنیم که در حال اضافه شدن است، با اینکه به خط نگاه کنیم به عنوان اینکه مثلاً در دلش بی‌نهایت عدد گویاست، چگال یعنی بین دو عدد گویا دوباره بی‌نهایت عدد گویاست، بین هر دو عدد کسری بی‌نهایت عدد کسری است. ابهام‌‌ها در اینطور نگاه کردن یک شکل هست یا نیست؟ مقصود من روشن است؟ خطی که زیاد می‌شود با خطی که دارد از اندرون خودش اجزاء بی‌نهایت نشان می‌دهد، -منظور از تقسیمی که می‌گویم این است که در اندرون خودش بی‌نهایت اجزاء و مؤلفه‌‌ها نشان می‌دهد- همیشه می‌گفتند کل مساوی جزء نیست، امّا در بخشی از قرن بیستم دست از این مطلب برداشتند، بحث‌‌های [مختلفی] کردند در مورد اینکه آیا کلّ مساوی جزء هست یا نیست و از «الکل اعظم من الجزء» دست برداشتند. معروف است و شنیده‌‌اید که در قرن بیستم یکی از مسائلی که گفته شد این بود که چه کسی گفته که الکل اعظم من الجزء؟ ما کلّ‌‌هایی داریم که مساوی با جزء است و آن در محدوده‌‌ی بی‌نهایت‌‌هاست. ظاهراً از دو سه قرن قبل و از حرفهای گالیله [این مطالب] شروع شد که می‌گفت مجموعه‌‌ی اعداد طبیعی با مجموعه‌‌ی مربع‌‌های اعداد طبیعی، جزئی از کل است ولی جزء و کلّ برابرند. می‌گفتند پس نتیجه می‌شود «الکل یساوی الجزء» خیلی در مورد این مسأله بحث کردند.

حالا چیزهایی که به ذهنم می‌آمد، مهم‌‌تر از حرف آنها در مورد اعداد …..  در خود یک پاره‌‌خط، کلّ بی‌نهایت است، و هر جزئی از آن را هم  تکه کنید مثل خود کلّ بی‌نهایت است، پس اینها برابرند «الکل یساوی الجزء»؛ چون یک سانت خط بی‌نهایت قابل تقسیم است، همین را اگر نیم سانت کنیم در آن نحوه‌‌ی بی‌نهایت بودن هیچ فرقی با یک سانتی‌‌ ندارد. پس از حیث اشتمال بر بی‌نهایت، کلّ با جزء برابر است، و حال آنکه دو نصف بود امّا نصف و کلّ در توان بی‌نهایت بودن مساوی هم هستند. این مطالب مربوط به خیلی وقت قبل است. شاید زمانی بود که درخانه‌‌ی قبلی بودیم اینها به ذهنم آمد که یادداشت کردم.

شاگرد: ابهام را در هر دو اینها تصویر فرمودید؟ نگاه به خط به عنوان یک کمّ متصل به عنوان نمود یک حرکت با نگاه به آن به عنوان نمودی از بی‌نهایت عدد گویا.

استاد: که آیا ابهام در این هست یا نیست. شاید به بحث دیروز برگردد که باید خود بی‌نهایت را بررسی کنیم که ببینیم مستعدّ بحث‌‌های ابهام ما هست یا نیست؛ مثل مجموعه -چند مثال دیگر در ریاضیات به ذهن من آمد، [و مثل] خط مستقیم که دیروز عرض کردم، [و همچنین] بی‌نهایت کوچک.

مسأله‌‌ی «بی‌‌نهایت کوچک» در ریاضیات

یکی از مسائلی که در تاریخ ریاضیات خیلی مهم بود و بعدها با یک زحمتی ریاضی‌‌دانان خودشان را از بحران ریاضی‌‌اش خلاص کردند همین بی‌نهایت کوچک بود. از متأخرین‌ مثل نیوتن و معاصرش -که آلمانی بود- شروع شد، کشف مشتق و انتگرال خیلی کشف مهمی در حساب بود، بعد معضلی که داشتند، به کار بردن «بی‌نهایت کوچک» بود. یک عنصری در کار آمده بود به نام «بی‌نهایت کوچک» آیا این بی‌نهایت کوچک مبهم است یا نیست؟ ابهامی که ما می‌گوییم را نیوتن و لایپنیتس هر دو در«بی‌نهایت کوچک» به کار می‌بردند، بعد آمدند به شکل دیگر بی‌نهایت کوچک را محدود کردند و با پیدایش حدّ… الان همه برای متعلّمین حدّ را قبل از مشتق می‌گویند، امّا تاریخ حدّ بعد از مشتق بود است. یعنی اوّل مشتق کشف شد و آنقدر بلا سر متخصصین آورد که مجبور شدند که برای آن زحمت‌‌ها بکشند و آخر کار حدّ را برای آن به دست آوردند. منظور آیا در آن بی‌نهایت کوچکی که آنها می‌گفتند ابهام بود یا نبود؟

شاگرد: به چه شکل؟

استاد: آنها می‌گفتند بی‌نهایت کوچک چقدر بی‌نهایت کوچک است؟

شاگرد: بی‌نهایت حدّ ندارد.

استاد: اتفاقاً خوبی بی‌نهایت در همین است که وقتی بی‌نهایت حدّ ندارد یک ذرّه از آن را برمی‌داریم. یعنی اگر ذرّه‌‌ای به بی‌نهایت کوچک اضافه کنیم در همان بی‌‌نهایت….

شاگرد: مسأله در اینجاست که یک ذرّه کم کردن یعنی چه؟ این یک ذرّه به چه مقدار است؟

شاگرد1: به اندازه بی‌نهایت کوچک به آن اضافه کنیم، بی‌نهایت کوچک به بی‌نهایت کوچک اضافه کنیم بی‌نهایت کوچک می‌شود.

شاگرد: شما وقتی این کار را کردید، اگر در حدّ محدودی دارید بی‌نهایت کوچک اضافه می‌کنید شکّی نداریم، یعنی مسأله در این است که شما به شرطی می‌توانید در اینجا شبهه و ابهام وارد کنید که این کار را به اندازه بی‌نهایت انجام بدهید، یعنی به اندازه‌‌ی بی‌نهایت، شما بی‌نهایت کوچک اضافه کنید و این قضیه از ما نحن فیه خارج است.

استاد: نیازی به بی‌نهایت نداریم. اگر یک محدوده‌‌ای هم بیاید که بی‌نهایت کوچک‌‌های ما برسد که از آن وضعیت بی‌نهایت کوچک خارج شود پارادوکس درست می‌شود.

شاگرد: نمی‌شود، چون تعریف بی‌نهایت کوچک این است که شما ضرب در هر مقدار غیر بی‌نهایت بکنید صفر می‌شود، مثل صفری که ضرب در هر عددی شود، ولی باید عدد باشد، عددی که بی‌نهایت نباشد.

استاد: قرار شد صفر نگذاریم، قرار شد بی‌نهایت کوچک در همان فضا محفوظ بماند.

شاگرد: بی‌نهایت کوچک را جعل کردند که با آن معامله صفر کنیم.

استاد: معامله صفر بحقٍّ و -به قول ایشان- بواقعیّةٍ می‌کنند؟ یا در محاسبه معامله صفر می‌کنند؟ باید این را روشن کنیم که کدام منظور است.

شاگرد: برخورد ما که با آن محاسباتی بوده است. وقتی ابهام‌‌گیری در بحث‌‌های فنّی انجام می‌شود، همینطور است. می‌گویند ما بی‌نهایت المان داریم که همه بی‌نهایت کوچک هستند.

استاد: کتابی بود به نام اشتباهات هندسی، اگر مثال‌‌های آن اشتباهات هندسی را ببینید به جایی می‌رسیم که نیازی به بی‌نهایت نیست. شما یک بی‌نهایت کوچک را در یک پروژه کنترل شده اضافه کنید می‌بینید که از بی‌نهایت کوچک در می‌آید، این یک شکل روشنی است. یعنی بی‌نهایت کوچک‌‌ها طوری است که قابل انضمام به همدیگر هستند به خلاف نقطه‌‌ای که دقیقاً طرف الخط است. شما می‌توانید بی‌نهایت کوچک‌‌ها را به عنوان یک بُعد بسیار کوچک و بی‌نهایت کوچک، اصطیاد کنید.

شاگرد: یعنی به هر صورت بی‌نهایت کوچک بودنش باقی می‌ماند.

استاد: ما به هم ضمیمه می‌کنیم.

شاگرد: هزار یا ده ‌‌هزار یا یک میلیون هم ضمیمه کنید بی‌نهایت کوچک باقی می‌ماند. باید بی‌نهایت کوچک را تصوّر کنید، بی‌نهایت کوچکی که مقابل بی‌نهایت است، یعنی یک چیزی است که باید بی‌نهایت به هم اضافه شود تا یک چیز محدود دربیاید. مثلاً یک کره‌‌ای در بیاید که ابعادش قابل اندازه‌‌گیری است. ولی بی‌نهایت کوچک اصلاً قابل اندازه‌‌گیری نیست، اینطور که شما تعریف می‌کنید.

استاد: اینکه آنها تعریف می‌کنند یک پاره‌‌خط یک سانتی، آن بی‌نهایت کوچک جزئی از آن هست یا نه؟

شاگرد: به عنوان جزئی از او تعریف می‌کنند امّا جزئی که بُعد ندارد.

استاد: در محاسبه می‌گوییم بُعد ندارد یا واقعاً ندارد؟

شاگرد: به سمت صفر میل می‌کند.

استاد: می‌دانم، میل به صفر می‌کند ولی اینطور نیست که صفر بشود. بُعدی بسیار کوچک دارد که به سمت صفر میل کرده است. ما این «بسیار کوچک‌‌ها» را می‌خواهیم خرمن کنیم.

شاگرد: هزار هم خرمن کنید فایده ندارد.

استاد: چرا فایده ندارد؟

شاگرد: چون خرمن درست نمی‌شود.

استاد: یک سانتی‌‌متر خط از همان‌‌ها درست شده است.

شاگرد: درست شده باشد.

استاد: پس چطور می‌گویید خرمنی درست نمی‌شود؟ آن خط نمی‌تواند درست کند؟ پس چطور می‌گویید هر خط یک سانتی بی‌نهایت است؟

شاگرد: بی‌نهایت کوچکی که من تعریف می‌کنم، برای یک سانتی‌‌متر همان بی‌نهایت کوچکی است که برای یک میکرون بی‌نهایت کوچک است.

استاد: نه، میل به صفر که ضابطه دارد.

شاگرد: جایی از آن ضابطه ندارد. اینکه ما در محاسبات می‌گوییم قابل صرف نظر است یک بحث دیگر است. ما کد می‌نویسیم و برنامه محاسباتی می‌نویسیم، آنجا بی‌نهایت کوچک ما واقعاً اندازه دارد.

استاد: کاربردی قبلی شما همان کاربردی است که نیوتنی‌‌ها داشتند، یعنی به صورت مفهوم….

شاگرد:  مفهوم کاملاً مجردّ است. چیزی که اصلاً ما به ازاء خارجی ندارد و فقط یک چیز تصوری و تعریفی است.

یک چیزی شبیه به توان صفر رساندن است. به توان صفر رساندن یعنی چه؟ همان بلائی که سر اینطور چیزها می‌آورند و تعریف می‌کنند، به عبارت دیگر یک تعریفی است برای آشتی دادن و برای درست کردن…

استاد: ببینید به توان صفر، خودش صفری ……. امّا شما از اول یک سانتی‌‌متر خط دارید. در این جلو می‌روید، چه زمانی می‌رسید به اینکه تمام شد؟ هیچ وقت، پس تمام نشده است. شما می‌گویید در بی‌نهایت می‌گویم تمام شد، غلط می‌گویید. چون خود شما قبول دارید که تمام نشد، می‌گویید برای سهولت می‌گویم تمام شد، اشکال ندارد برای سهولت بگویید. شما اگر در دل همان فضا، بسیار کوچک بشوید، یک انسانی بشوید که یک الکترون برای شما یک کهکشان است، همان جا دارید جلو می‌روید.

شاگرد: هنوز به بی‌نهایت کوچک نرسیدیم، باید همینطور کوچک و کوچک‌‌تر کنیم. یعنی شما تا ابد هم کوچک کنید طبق تعریف شما واقعاً به بی‌نهایت کوچک نمی‌رسید.

استاد: پس تا ابد هم نمی‌توانید جای آن صفر بگذارید، احسنت.

شاگرد: ما صفر می‌گذاریم، چون این یک اتّساع مفهومی است. مثل این است که یک چیزی را در یک محدوده تعریف شده می‌فهمم، این فهمی که در این تعریف شده است را به قول آنها اکستراپولیشن یعنی برون نگاری می‌کنم -که یک چیزی شبیه اتساع مفهومی است که در بعضی از بحث‌‌ها فلسفی داریم- من همین را برون نگاری کردم. من نمی‌فهمم که واقعاً آنجا چه می‌شود و اگر از من بپرسید می‌گویم من توانش را ندارم و با هیچ ابزاری هم نمی‌توان به این رسید. یکبار خدمتتان عرض کردم که کلاً مباحثی که  در مورد بی‌نهایت مطرح می‌شود در خیلی از مواضع، شبیه این است که ما کأنّ بی‌نهایت را احصاء کردیم، مگر این می‌شود؟ از یک طرف گفتید نهایت ندارد و از یک طرف می‌گویید آن را احصاء کردم؟ کار را دچار مشکل می‌کند.

استاد: این مسأله کار را دچار مشکل می‌کند ولی می‌توانیم صفر به جای آن بگذاریم؟

شاگرد: آنها تعریف می‌کنند، من عرض کردم با بعضی از مبانی مشکل دارم امّا می‌خواهم بگویم اگر مبنای آنها را در همان حدّی که هست پذیرفتیم، فقط یک مدل‌‌سازی است تا کار را راه بیندازد.

استاد: پس کار، دید فلسفی و واقع‌‌نگری ندارد.

شاگرد: در حدّ برون‌‌نگاری مفهومی است، چیزی شبیه علّت تامّه‌‌ است که معلوم نیست تا چه اندازه آن را بفهمیم یا نفهمیم.

استاد: اگر برون‌‌نگاری را از طرف دیگر به صورت کلان‌‌نگری نگاه کنیم، همان را که در بی‌نهایت می‌گویید برو، دستتان را [اشاره کردید که]  برو، که صفر می‌شود، من عین همین عبارت را این طرفی نگاه می‌کنم و می‌گویم شما این بی‌نهایت کوچکی که گفتم برو، حالا از صفر، این بی‌نهایت کوچک بیا.

شاگرد: نمی‌توانید بیایید.

استاد: چرا نمی‌توانم بیایم؟ می‌آیم و می‌رسم و خط می‌شود.

شاگرد: نمی‌توانید بیایید.

استاد: چطور از این طرف می‌روید؟ چه فرقی کرد؟

شاگرد: مگر اینکه آمدنتان هم به نحو بی‌نهایت باشد، عرض ما همین است. مثل یک سیاه‌‌چاله‌‌ای است که اگر سرعت شما بی‌نهایت شد از آن بیرون می‌آیید، اگر سرعتتان بی‌نهایت نشد بیرون نمی‌آیید و همان جا می‌مانید. اینطور باید فرض کرد. آن صفری که به آن رسیدید، اگر رسیدید که نمی‌توانید برسید.

استاد: نمی‌رسد.

شاگرد: همانطور که اگر بخواهید وارد شوید باید سرعتتان به بی‌نهایت می‌رسید، همان طور هم اگر بخواهید خارج شوید باید سرعتتان بی‌نهایت شود.

استاد: نمی‌خواهیم از صفر خارج شویم.

شاگرد: شما دارید می‌گویید بیا، با این «بیا» که نمی‌تواند دربیاید.

شاگرد1: صفر که نیست.

استاد: من نمی‌گویم از صفر دربیا، من نمی‌خواهم حرکت زنون را بگویم. من دارم می‌گویم شما می‌گویید برو، همین طور مفهومی در همین مسیر برو، برگرد.

شاگرد: بین راه که بی‌نهایت کوچک نیست، هنوز نرسیدید.

استاد: ولی همان مسیر بی‌نهایت را، همان‌طور که می‌رفتم دارم برمی‌گردم.

شاگرد: مسیر که کاری نداریم..

استاد: وقتی برمی‌گردم خطی به دست من می‌دهد که مشت پر کن است.

…..

«و الحمد لله رب العالمین و صلّی الله علی محمّد و آله الطیبین الطاهرین» 

نمایه: پارادوکس خرمن، ابهام، مرزمغشوش، موردحاشیه‌‌ای، رواداری، واقع، ریاضیات کاربردی، ریاضیات محض، میل به صفر، طرف الخط، هذلولی، مشتق، انتگرال، بی‌نهایت، بی‌‌نهایت کوچک، حرکت زنون، برون‌‌نگاری

اعلام: نیوتن، لایپنیتس

[1] مقاله‌ی «ابهام و پارادوکس خرمن»، ص 3