بسم الله الرحمن الرحیم

سیستم‌‌های استاندارد منطق فازی

پنجم: سیستم‌‌های استاندارد منطق فازی. در سیستم فازی، جمله‌‌های مبهم در مواردحاشیه‌‌ای یکسان نگریسته نمی‌شوند. مثلاً در نظر بگیرید که جمشید و کامران هر دو موردحاشیه‌‌ای «قدبلند» باشند، امّا جمشید قدبلندتر از دیگری باشد. در این صورت ارزش صدق جمله «جمشید قدبلند است» از ارزش صدق جمله «کامران قدبلند است» بیشتر خواهد بود. به عبارتی هر چه به حالت صدق نزدیک‌‌تر باشیم، ارزش صدق نیز بیشتر خواهد بود. در سیستم استاندارد فازی برای مدلسازی این وضع از بازه‌‌ی حقیقی بسته‌‌ی [1,0] برای مقادیر ارزش صدق استفاده می‌شود. 1 یعنی صدق کامل و 0 یعنی کذب کامل؛ بقیه اعداد نیز برای ارزش صدق‌‌های متفاوت جملات در موارد حاشیه‌‌ای استفاده می‌شوند.در این سیستم‌‌ معمولاً عملگرهای منطقی، تابع ارزش هستند. قواعد سمنتیکی عملگرها نیز معمولاً به گونه‌‌ای تعریف می‌شوند که در مورد 0 و 1 مانند قواعد کلاسیک عمل کنند. در سیستم‌‌های مختلف استاندارد، قضایا و قواعد متفاوتی از سیستم کلاسیک کنار گذاشته می‌شود. امّا معمولاً اصل طرد شقّ ثالث یکی از آنهاست. نمونه‌‌ی کاملی از به کارگیری سیستم استاندارد فازی برای ابهام ماچینا (Machina,1976) است.[1]

صفحه هجده بودیم. پنجم از آن رویکردها و نحوه دسته‌بندی اقوالی که در فضای سمنتیک گفته شده است: «پنجم سیستم‌های استاندارد منطق فازی. در سیستم فازی، جمله‌های مبهم در موارد حاشیه‌ای یکسان نگریسته نمی‌شوند.» یعنی خود مواردحاشیه‌ای، برای ارزش صدق، قطعاً ارزش صدق دارند اما به درصد و به تشکیک دارند؛ همان معنای فازی که تشکیک است. و می‌دانیم ربطی به مواردحاشیه‌ای ندارد، منطق فازی اینطور نیست که مبنایش فقط در موردحاشیه‌ای فازی باشد، از اول تا آخر همه فازی هستند، یعنی حتی بین کسانی که قطعاً قدبلندند و مواردحاشیه نیستند، باز ارزش فازی درصدی است. البته در اینکه  آن صفر و یک را چطور تعیین کنیم، حرف دیگری‌ است. می‌فرمایند: «در موارد حاشیه‌ای یکسان نگریسته نمی‌شوند. مثلاً در نظر بگیرید که جمشید و کامران، هر دو مورد حاشیه‌ای «قد بلند» باشند، اما جمشید قدبلندتر از دیگری باشد. در این صورت ارزش صدق جمله «جمشید قدبلند است» از ارزش صدق جمله «کامران قدبلند است» بیشتر خواهد بود.» از حیث درصد بیشتر است. ارزش‌ها متفاوت است. «به عبارتی هرچه به حالت صدق نزدیک‌تر باشیم، ارزش صدق نیز بیشتر خواهد بود. در سیستم استاندارد فازی برای مدل‌سازی این وضع، از بازه‌‌ی حقیقی بسته [۰،۱] برای مقادیر ارزش صدق استفاده می‌شود.» الان نمی‌دانم کروشه را چطور می‌گویند.

شاگرد: می‌گویند بازه‌‌ی بسته.

استاد: فقط همین؟ برای خود کروشه تعبیری نمی‌آورند؟

شاگرد: اگر بسته باشد کروشه می‌شود، اگر باز باشد پرانتز می گذارند، نمی دانم ….

استاد: از قبلاً در ذهنم هست که همین کروشه را برعکس برای بازه‌‌ی باز می‌گذاشتند. اینکه می‌فرمایید پرانتز می‌گذارند، اگر کروشه‌ها به طرف دو عدد باشد بسته است، اگر سر کروشه‌ها به طرف آن طرف باشد باز است.

شاگرد1: زمان ما هم همینطور بود، اگر عوض شده باشد نمی‌دانم.

توضیح بازه حقیقی

استاد: همینطور که عرض می‌کنم؟

شاگرد1: بله

استاد: از قدیم در اینطور در ذهن من هست.

بازه یک کم متصل است، یک فاصله است. اگر بازه، اعداد گویا یا اعداد طبیعی یا اعداد صحیح باشد، یک برد خاص خودش را دارد. اما می‌گویند بازه باید حقیقی باشد، یعنی از اعداد گویا هم بیشتر، باید دقیقاً پیوستار باشد. اعداد حقیقی به تمام معنا پیوستار را حفظ می‌کنند. یعنی اگر اعداد گویا بی‌نهایتِ فشرده بودند، ولی به اندازه کافی فشرده نبودند، -این مطلب را چند بار عرض کردم- اما اعداد حقیقی به اندازه کافی فشرده هستند. اعداد بی‌نهایتِ فشرده یعنی هیچ دو عددی نیست که شما در نظر بگیرید مگر اینکه بین آن دوتا دوباره بی‌نهایت عدد است، این را اعداد فشرده می‌گوییم. هر دو عددی از اعداد گویا را در نظر بگیرید، بین آنها دوباره بی‌نهایت عدد گویا هست، لذا می‌گوییم مجموعه‌ای‌ غیرمتناهی و فشرده است. اما در عین حال، مجموعه اعداد گویا با اینکه فشرده است به اندازه‌ی کافی فشرده نیست، یعنی باز ما نقاطی و اعدادی داریم که عضوی از همین مجموعه اعداد گویا نیستند ولی در پیوستار تام هستند. مثلاً نقطه‌‌ی رادیکال دو، نقطه‌‌ی عدد p، اینها در محور وجود دارند اما عدد گویا نیستند. بنابراین می‌گویند اعداد حقیقی به اندازه کافی فشرده‌  هستند، یعنی نه تنها بین هر دو عدد حقیقی، بی‌نهایت عدد حقیقی دیگر هست، بلکه هیچ عددی هم نیست که در محور شما بتوانید بگویید موجود است و و جزء آن نیست.

شاگرد: بین‌‌شان هست و جزءاش نیست.

استاد: بله، در اعداد حقیقی نباشد معنایی که گفتم پیوستار به تمام معنا بود، پیوستار به تمام معنا یعنی شما هیچ نقطه‌ای ندارید که این اعداد حقیقی، نقطه باشد اما اعداد حقیقی شامل آن نباشد. وقتی پیوستار تام شد لازمه‌اش این است. حالا چرا این را  می گویم؟ چون در منطق فازی، چه بسا با همین اعداد  گنگ هم سروکار داشته باشیم، با اینها کار داریم، از اول اعداد گویا انتخاب کنیم بعد در آن بمانیم! البته من نمی‌دانم و کتاب‌های منطق فازی را نخواندم همینطور روی حساب حدس تقریبی عرض می‌کنم.

شاگرد: اینکه هیچ عددی نیست که در این مجموعه نباشد که ظاهراً هست مثلاً اعداد رادیکال۲- را هم ظاهراً عدد می‌دانند، ولی در این فاصله نیست.

استاد: اعداد موهومی را می‌گویید؟ اعداد موهومی در محور افقی اعداد x نیستند، در محور عمودی فرض‌شان می‌گیرند.

شاگرد: اینکه گفته شد هیچ عددی نیست که در این مجموعه نباشد، می‌گوییم عددی هست ولی اعداد موهوم هستند، باید گفت هیچ عدد حقیقی نیست.

استاد: بله، حقیقی مقابل همان موهوم است. و الّا می‌گفتیم مجموعه اعداد گویا و گنگ، اینطور می‌شد بگویند، اینکه می‌گویند حقیقی مقابل عدد موهوم است. شامل هر عددی هم هست یعنی اعدادی که روی همین محور افقی در این پیوستار هستند، و طبق عمل‌های خاص جواب می‌دهند، و الّا عدد موهوم طبق آن اعمال چهارگانه ضرب و غیره جواب نمی‌دهد. شما هیچ حاصل ضربی ندارید که ضرب در خودش شده باشد و عدد منفی شده باشد. این معنا ندارد. با همان توضیحی که بود. بعد هم اعداد جلوتر هم که می‌رود کمپلکس درست می‌شود، کمپلکس؛ ترکیبی از اعداد موهومی و اعداد حقیقی بود، آن هم بود، ولی آنها بحث ما نیست، مقصود ما از پیوستار و هر عددی‌، هر عددی در این محور است، و الا در فضای دیگر [بحث ما نیست] و یادم می‌آید که چند بار بحثش کردیم که اعداد موهوم هم واقعاً عدد هستند؛ ما نسبت به یک ضابطه‌ای که خواستیم پیاده کنیم -شاید دو یا سه بار در موردش صحبت کرده‌‌ایم در مباحثه خلاصة الحساب شاید- که شما به گونه‌‌ای اعداد موهوم را فرض گرفتید که می‌گویید منفی در منفی، مثبت است، این در یک فضاست -توضیح کامل در این مورد عرض کردم- خودِ این قاعده که منفی در منفی باید مثبت بشود خودش محل ذووجوه است، این یکی از قاعده‌هاست. فلذا اگر در این خدشه کردید  کما اینکه می‌شود خدشه کرد به عنوان یک اصل مطلق که منفی در منفی مثبت باشد. -شاید در تحریر اقلیدس یا خلاصة الحساب در مورد اینها به تفصیل صحبت کردیم- که خودِ اعداد موهومی نسبت به این قاعده‌‌ی منفی در منفی باید مثبت شود، موهوم‌اند؛ اما نسبت به خودِ اینکه اعدادی داشته باشند اینچنین، نه، آنها موهوم نیستند. لذا اعدادِ کمپلکس نفس‌الأمریت دارند، مخصوصاً برای مباحث نفس الأمر این بحث‌ها خیلی خوب است، که این اعداد موهوم نیستند، درحوزه خودشان نفس‌الأمریت تام دارند و لذا وقتی کشف شد ـ شاید در بعضی از شعب مکانیک بود که اعداد موهوم کشف شد ـ می‌دیدند در این حوزه کاربرد دارد، اما در عین حال هم با آن عمل منفی در منفی مثبت، منطبق نمی‌شود.  آن قاعده‌‌ی شما برای یک حوزه دیگر ا‌ست، چرا می‌گویید منفی در منفی همه جا مثبت است؟ من یادم است وقتی در آن کلاس ها می‌خواستند توضیح بدهند، با یک مثال تمام می‌کردند، و می‌گفتند ببینید، پس منفی در منفی مثبت است. یعنی با یک مثال و تبیین نفیِ در نفی، اثبات در یک حوزه، نتیجه مطلق می‌گرفتند. معلوم است عدد موهوم روی این حساب موهوم می‌شود. و حال آنکه در فضای خودش موهوم نیست. علی‌ایّ‌حال ایشان می‌فرمایند «بازه‌‌ی حقیقی بسته»

شاگرد: عددِ کمپلکس نفس الأمریة دارد یا اعداد موهوم هم دارد؟

استاد: موهومی هم دارد، از موهومی شروع می‌کنیم و کمپلکسش هم دارد.

پس بازه شد فاصله کمّ متصل. «حقیقی‌ است» یعنی به اندازه کافی فشرده است. «بسته است» یعنی خود 0 و 1، یعنی دو طرف این بازه جزء خود این هستند. هم صفر که یعنی قطعاً قدی ندارد و قدبلند نیست مثلاً، یا  یک یعنی قطعاً  قدبلند است. این کلمه «قدبلند» که تکرار می‌کنم به خاطر ذهن طلبگی است و یادم می‌آید.

شاگرد: هیئت مرکب است.

استاد: بله، «قدبلند» مرکب است. شما «قد» را با «بلند» کنار هم گذاشتید، می‌گویید «قدبلند» و این حرف‌ها را ادامه می‌دهید.

شاگرد: امّا ما واقعاً مثل طبیعت مرکبه، کاملاً آن را تک تلقّی می‌کنیم و صحبت می‌کنیم.

استاد: بله، واقعاً ذهن ما پیش نمی‌رود اگر بخواهیم اینطور صحبت نکنیم. در همین مباحثه بود گفتم که اگر بخواهیم وقتی حرف می‌زنیم به مقصود همدیگر نگاه نکنیم، شما ببینید من جمله را چطور گفتم، در آخر کار می‌گویید: جمله‌‌اش اینطور بود. امّا خوب مقصود من را نگرفتید. بخواهید خوب مقصود من را بگیرید باید جملات فانی شود، باید هر جمله‌ای را به عنوان تک مقصود کنار هم بگذارید، مقصود من را درک کنید. اصلاً پیش نمی‌رود.

«برای مقادیر ارزش صدق استفاده می‌شود.» روی این حساب است که اگر دیده باشید، اسم معادل برای منطق فازی «منطق بی‌نهایت ارزشی» می‌گویند. این دیگر واضح است؛ چون الان بازه‌‌ی ما عدد حقیقی است و عدد حقیقی، بی‌نهایتی ا‌ست که برای خودش عدد دوم را دارد، عدد اول؛ الف صفر بود، الف صفر برای اعداد طبیعی بود، الف یک برای اعداد حقیقی بود، اعدادِ تمثّنی. بی‌نهایت‌ها را که می‌شمردند، اول بی‌نهایت، عدد طبیعی بود و جالب بود که اعداد گویا با اینکه بی‌نهایتِ فشرده بود، باز عدد بی‌نهایتش همان n صفر بود، یعنی شمارا بود؛ یعنی شما می‌توانستید مجموع اعداد گویای به این گستردگی را باز با اعداد طبیعی بشمارید،که به این شمارا می‌گویند؛ و لذا آن عدد بی‌نهایتش همان الف صفر بود. اما اعداد حقیقی ناشماراست، چون ناشماراست می‌شد الف یک، یعنی عدد بعدیِ شمردن. الف دو از مسائل ریاضی است که آیا داریم یا نداریم، چیست و کجاست؟ من خیلی هم نمی‌دانم چکار کرده‌‌اند. یادم است که می‌گفتند بین آنها بحث هست که [در] بینِ الف صفر و الف یک، هم عددی هست یا نیست، و الف دو هم چطوری است.

لذا می‌گویند بی‌نهایت ارزشی  يك یعنی صدق کامل، و  صفر مي شود کذب کامل؛ بقیه‌‌ی اعداد نیز برای ارزش صدق‌های متفاوتِ جملات در موارد حاشیه‌ای استفاده می‌شوند.» چرا موارد حاشیه‌ای؟  قبلاً هم تکرار کردند، امّا نیازی به موارد حاشیه‌ای نداریم. بله مگر بگویید وقتی قطعاً  قدبلند است دیگر به درصد کاری نداریم. قطعاً که قدبلند شد یک می‌شود. قطعاً  قدبلند نبود صفر می‌شود، طبعاً موارد حاشیه‌ای می‌شود درصدبردار. و الا اگر شما خودِ «قدبلند» را بگویید و «قطعاً  قدبلند» نداشته باشید، خودِ قدبلندی و خودِ قدبلندها هم بین‌شان درصد است.

شاگرد: تشکیکی است.

استاد: بله.

شاگرد: ایشان می‌خواهد از زاویه‌‌ی مورد حاشیه‌ای بحث کند.

استاد: بله من حرفی ندارم.

«در این سیستم معمولاً عملگرهای منطقی، تابع ارزش هستند.» شما وقتی یک قضیه‌ای را با ارزش صدق فازی مثلاً با باب منطقی، کنار یک جمله‌‌ی دیگری باز با ارزش صدق فازی می‌گذارید، عملگر تابع ارزش دارد. یعنی می‌گویید مثلاً حسن ۸۰ درصد قدبلند است و مثلاً علی ۹۰ درصد قدبلند است. این واو منطقی را با این عملگر وقتی ترکیب کردید بین دو تا قضیه‌‌ی منطق فازی، تابع ارزش است. یعنی می‌گویید مجموع این دو، باز قضیه‌ای می‌شود که او و او چند درصد با هم؟ یعنی باز  خروجی اش درصد می‌شود، این را دارد . منظور از عملگر بودن یعنی خروجی‌اش هم باز از سنخ منطق فازی است. شما دو قضیه با ارزش صدق فازی را یا با ادات منطقی فصل یا جمع یا شرط، اینها را با هم قرار می‌دهید، خروجی این عملگر تابع ارزش، یک قضیه‌ای با ارزش صدق فازی در نظام خود منطق فازی می‌شود، مثل سایرین.

 «قواعد سمنتیکی عملگرها نیز معمولاً به گونه‌ای تعریف می‌شوند که در مورد ۰ و ۱ مانند قواعد کلاسیک عمل کنند.» چرا؟ چون در آنها ۰ و ۱ جزمی و دوارزشی است؛ 1 هست و 0 نیست، 0 هست و 1 نیست. در آنجا وقتی درصدی نیست به صورت قواعد منطق کلاسیک عمل می‌کنند، چون دوارزشی بودن خودش را در اینجا نشان می‌دهد. «در سیستم‌های مختلف استاندارد، قضایا و قواعد متفاوتی از سیستم کلاسیک کنار گذاشته می‌شود» معلوم است فضا درصد شده است «اما معمولاً اصل طرد شق ثالث یکی از آنهاست» در سیستم‌های فازی، معنای فازیت این است که می‌گوییم آیا این است یا آن؟ می‌گوییم نه آن است و نه دیگری است، ۸۰ درصد این است و ۲۰ درصد نیست. طرد شق ثالث معمولاً کنار گذاشته می‌شود.

توضیحی در مورد اصل طرد شقّ ثالث

و در مورد این هم قبلاً صحبت کردیم طرد اصل شقّ ثالث در آن مدخولِ درصد است، نه در خود اصل درصد؛ مثلاً اگر می‌گویید شخصی هشتاد درصد قدبلند است، در قدبلند بودن هشتاد درصد می‌شود، نه قدبلندِ قطعی یعنی صد درصدی است، نه قدبلندِ هیچ درصدی است؛ اما در خود اینکه هشتاد درصد قد بلند است، طرد شق ثالث می‌آید؛ یعنی نمی‌شود بگوییم نه هشتاد درصد قدبلند هست، نه هشتاد درصد نیست. در خود هرکدام از این‌ها می‌آید. در مورد این قبلاً صحبت شده بود. لذا اینکه می‌گویند شق ثالث معمولاً کنار گذاشته می‌شود یعنی در حوزه بازه‌‌ی صفر و یک، نه نسبت به خود هرکدام از این اعداد منتخب در این بازه، که اگر نظر شریفتان باشد من از این تعبیر می‌کردم به اینکه تار و پود منطق فازی، منطق دوارزشی است؛ یعنی پارچه یک کلی برای خودش دارد، احکام حسابی دارد، ولی یک تار و پود هم دارد؛ یعنی شما تا تار و پود را کنار هم نگذارید پارچه پدید نمی‌آید. ولی اینطور نیست  که پارچه چیزی نباشد جز تار و پود. منطق دو ارزشی است که فازی را به وجود می‌آورد، اما وقتی دستگاه منطق فازی به پا شد، بسیاری احکام و چیزهایی دارد که شالوده ذهن انسان در معرفت و کارش است.

شاگرد: دو ارزشی شالوده همه منطق‌‌ها می‌دانید یا نه؟

استاد: در موردش فکر نکردم. در مورد فازی را که می‌دانم هست، یک چیزهایی هست که انسان قبلاً به آن فکر کرده، کوچه پس کوچه‌ها و احتمالات را دیده، امّا این چیزی نبوده که من در موردش فکر کرده باشم.

«نمونه کاملی از به کارگیری سیستم استاندارد فازی برای ابهام ماچینا (Machina,1976) است.» اسم مؤلف که در ۱۹۷۶ این را تصنیف کرده است. چون در آن زمان‌ها یعنی دهه هفتاد، تازه منطق فازی یک شتابی گرفته بود. لذا می‌بینید وقتی این منطق شتاب گرفت، سریع عده‌ای که ذهن خاص در این مسائل دارند از آن برای مسئله ابهام و فضای منطقی خودشان استفاده کردند.

سیستم‌‌های غیراستاندارد فازی

ششم: سیستم‌‌های غیر استاندارد فازی. در این سیستم به جای بازۀ بسته حقیقی [1,0]  از مجموعه دیگری برای مقادیر ارزش صدق استفاده می‌شود. برای اینکه بتوان مقایسه بین ارزش‌‌های صدق را مدل کرد، معمولاً این مجموعه، مرتب لحاظ می‌شود. همچنین ممکن است که بسته به اهداف و انگیزه‌‌های نظریه‌‌پرداز، ترتیب این مجموعه ترتیبی جزئی (Partial Order) یا کلی (Total Order) باشد. گوژن (Goguen, 1969) و پائولی (Paoli, 2003) مثال‌‌های بارز این رویکردها هستند.

گرچه این دسته‌‌بندی ششگانه شامل همه سمنتیک‌‌های موجود نمی‌، امّا متداول‌‌ترین‌‌ها را پوشش می‌دهد. برای ادامۀ کار به همین مقدار بسنده کرده، به دسته‌‌بندی‌‌های دیگر نظریه‌‌های ابهام خواهیم پرداخت.[2]

«ششم: سیستم‌های غیراستاندارد فازی.» استاندارد این بود که بازه‌‌ی بسته‌‌ی حقیقی میزان ارزش بود. غیراستاندارد اینطور نیست، می‌گوید ما چکار داریم که بی‌نهایت ارزشی شویم؟ کجا به ما الزام شده است؟ و جالب این است که وقتی چیزی راه افتاد، معمولاً علوم اینطور است که سر از بی‌نهایت درمی‌آورد، وقتی راه افتاد می‌فهمند و برادرها و همه‌ی اقوام و طائفه‌‌اش را کشف می‌کنند. «در این سیستم به جای ارزش‌هایی که در بازه بسته حقیقی [1,0] بود، از مجموعه‌‌ی دیگری برای مقادیر ارزش صدق استفاده می‌شود، مثلاً برای اینکه بتوان مقایسه بین ارزش‌های صدق را مدل کرد، معمولاً این مجموعه، مرتب لحاظ می‌شود.» در اصل قوام مفهوم مجموعه ترتیب نخوابیده است. شما وقتی می‌گویید مجموعه‌‌ی دانش‌آموزان کلاس، ترتیب در آن ندادید که به ترتیب نمره‌شان یا سن‌شان؛ که به این، عددِ کاردینالِ مجموعه می‌گفتیم، همان عدد اصلی؛ یعنی هر مجموعه‌ای یک عدد کاردینال اصلی دارد که تعداد اعضایش هستند، قطع نظر از ترتیبی که بین اعضاء باشد. می‌فرمایند در اینجا که می‌خواهیم ارزش‌گذاری و مدل‌سازی کنیم، بر طبق منطق فازی غیراستاندارد، مجموعه‌ای را به عنوان مدل‌سازی ارزش در نظر می‌گیریم که مرتب است؛ یعنی اعضایش با هم اُردینال هستند، یعنی عدد اردینال و عدد ترتیبی دارند. «معمولاً این مجموعه مرتب لحاظ می‌شود، همچنین ممکن است بسته به اهداف و انگیزه‌های نظریه‌پردار» نه فقط نظریه‌پرداز، در محدوده‌های نفس الأمر، بعد از اینکه این منطق‌ها کشف شد، زبان گرفتید [و دارای زبان شُدید]، در هر حوزه‌ای که از نفس‌الأمر می‌روید  ـ به نظریه‌پرداز چه کار دارید ـ خودتان لمس می‌کنید در این حوزه، اینطور ارزشی را می‌خواهد. بازه‌‌ی [1,0] برای یک حوزه خوب است، همین فازیت را وقتی در یک حوزه دیگر می‌روید، می‌بینید به آنها چکار دارید؟ الان مناسب است ارزش صدق‌تان و مدل‌سازی‌تان طبق همان حوزه نفس‌الأمر اینطوری باشد. این مطالبی که عرض می‌کنم، مطالبی است که به ذهن قاصر من می‌آید که طبیعی بحث است و روزی هم اینها جا می‌گیرد. یعنی به جای اینکه که مدام مدوّن را بر نفس‌الأمر تحمیل کنند، خود نفس‌الأمر شناسایی می‌شود و منطق مناسب او را به کار می‌گیرند، به نظریه‌‌پردازی چکار داریم؟ ما اول حوزه‌ای که می‌خواهیم در آن مدل‌سازی کنیم را شناسایی می‌کنیم، بعد می‌بینیم مناسب آن حوزه کدام از اینهاست.

«ممکن است بسته به اهداف و انگیزه‌های نظریه‌پرداز ترتیب این مجموعه ترتیبی، جزئی یا کلی باشد.» اینها اصطلاحات آنهاست و ما خیلی وارد نیستیم. مجموعه‌های مرتب جزئی، مجموعه‌های مرتب کلی که گاهی می‌بینید در اصطلاحات می‌گویند مجموعه‌‌ی مرتب کلی، مجموعه‌‌ی مرتب کامل، مجموعه‌‌ی مرتب تام، اینها یکی است؛ اگر در اصطلاحات برخورد کردید فرقی ندارند. حالا ایشان کلی گفته‌اند. مثلاً تعبیر توتال آورده‌‌اند ولی در اصطلاح منطق، توتال، به معنای کلی نیست، توتال یعنی سراسری، همگانی، تام، کامل یا بفرمایید کلی، یعنی لایستثنی منه شیء به این معنا.

«این مجموعه ترتیبی جزئی یا کلی باشد» که جزئی‌اش را فعلاً این اندازه می‌دانیم که رابطه‌ای‌ است که بین دو جزء، زوج‌های مرتب از یک مجموعه برقرار می‌شود که همان رابطه جزئی است، اما رابطه کلی این است که همین رابطه بین دو جزء دو جزء برقرار بود، بین هر جزء برقرار باشد؛ نفس این رابطه اگر بین هر دو جزئی از همه‌‌ی اجزاء نسبت به همدیگر برقرار بود، مجموعه‌‌ی مرتب کلی و سراسری می‌شود. امّا اگر اینطور نباشد و دوتا دوتا با هم ملاحظه‌ می‌شد نه همه اجزاء نسبت به همدیگر، آن وقت جزئی می‌شود. یک چیز دیگر هم دارند که آن هم خیلی کاربرد دارد، مجموعه‌‌ی خوش ترتیب و مجموعه غیرخوش‌ترتیب؛ چون خودِ مجموعه مرتب دو نوع است: مجموعه‌های مرتب خوش ترتیب، مجموعه‌های مرتب ناخوش ترتیب، آن هم جای خودش را دارد. علی‌ایّ‌حال «گوژن (Goguen, 1969) و پائولی (Paoli, 2003) مثال‌‌های بارز این رویکردها هستند.» یکی در سال 1969 بوده، یکی هم در ۲۰۰۳، که فاصله‌‌ی زمانی زیادی می‌شود که حدود 30 سال است ولی این سیستم غیر استاندارد را سر رساندند. «گرچه این دسته بندی ششگانه شامل همه سمنتیک‌های موجود نمی‌شود، اما متداول‌ترین‌ها را پوشش می‌دهد. برای ادامه کار به همین مقدار بسنده کرده، به دسته‌بندی‌های دیگر نظریه‌های ابهام خواهیم پرداخت.» دسته‌بندی‌های دیگر چیست؟ دو مورد دیگر مانده است. صفحه بیست را ببینید. مؤلف تقصیر نداشته، در ویراستاری اینطور شده است. این دو، سه هم دارد، سه را کوچک آورده که ما باید مورد سه را عنوان کنیم. 1. سمنتیک؛ ۲. ریشه‌‌ ابهام؛ ۳. راه‌حل پارادوکس ارائه دادن؛ بنابراین سه که در صفحه‌‌ی بیست است بزرگ نوشته شده و عنوانی است که در ویراستاری کتاب صحیح آورده نشده است. دسته‌بندی دوم براساس ریشه ابهام است، اگر نظر شریفتان باشد، آنچه به ذهن قاصر من می‌آمد اصل این است، اصل همین دومی است، یعنی اول این اقوال [بررسی شود ] و از دسته‌بندی براساس ریشه‌‌ی ابهام فارغ شویم بعد به سراغ سمنتیک و راه‌‌حل آن برویم.

دسته‌بندی بر اساس ریشه‌ی ابهام در زبان

۲. دسته‌بندی براساس ریشه ابهام در زبان

چنان که پیش از این گفتیم، عموم نظریه‌های ابهام از بین سه ویژگی اصلی ابهام موارد حاشیه‌ای را مورد توجه قرار داده‌اند. نیز گفتیم که مفهوم مواردحاشیه‌‌ای با نوعی عدم تعین آمیخته است. از این‌‌رو در بحث از ریشه‌‌ی ابهام در زبان، یعنی بحث از اینکه ابهام چه نوع پدیده‌‌ای است، به این مسأله پرداخته‌‌اند که عدم تعیّن ابهام چه نوع عدم تعیّنی است. آیا این عدم تعین معرفتی است؟ آیا سمنتیکی است؟ آیا متافیزیک است؟ یا اینکه نوع دیگری است. در واقع مسئله در اینجا تعبیر عملگر D است که در صورت‌‌بندی مواردحاشیه‌‌ای گفتیم. بر اساس همین موضع‌‌گیری، می‌توان نظریه‌‌های ابهام را گروه‌‌بندی کرد. برای رعایت اختصار تنها به سه گروه از این نظریه‌‌ها اشاره می‌شود. این سه گروه، متداول‌‌ترین نظریه‌‌های ابهام را در خود جای خواهند داد.[3]

«2. دسته‌بندی براساس ریشه ابهام در زبان. چنان که پیش از این گفتیم، عموم نظریه‌های ابهام از بین سه ویژگی اصلی ابهام موارد حاشیه‌ای را مورد توجه قرار داده‌اند.» چرا؟ از باب شوخی عرض می‌کنیم چون مرزمغشوشش همین است، رواداری‌اش هم که ربطی به ابهام ندارد، زیرِ سرِ پارادوکس است. حالا شوخی یا جدی هر چیزی در فضای طلبگی به ذهن ما بیاید می‌گوییم.

شاگرد: آن موقع به ذهن من می‌آمد که بحث مواردحاشیه‌ای ربطی به ابهام پیدا نمی‌کند، موجب ابهامی که شبهه خرمن را به آن شکل بتوانیم با آن بچینیم، اگر فقط مورد حاشیه‌‌ای داشته باشیم نمی‌شود.

استاد: چون فقط پارادوکس خرمن زیر سر مقدمه‌‌ی استقرایی است.

شاگرد: رواداری.

استاد: بله، آن را باید کاری کنیم و مواردحاشیه‌ای هم با مرز مغشوش، روحاً یکی هستند، مگر آنطوری که عرض کردم.

شاگرد: ولی ما جدا کردیم.

استاد: ما در آن فضایی که بود. می‌خواهم رمز این را بگویم، اینکه می گویند:عموماً روی این متمرکز شدند، چون چیز دیگری نبوده است، حلّ پارادوکس زیرِ سرِ مقدمه‌‌ی استقرایی است، چه ربطی به ابهام دارد؟ مرز مغشوش روی دیدگاه آنها هم همان بوده است، وقتی چیز دیگری ندارند، روی چیزی که نداشتند متمرکز می‌شوند!؟ اینکه این را به عنوان شوخی گفتم به دلیل این است.

«از بین سه ویژگی اصلی ابهام موارد حاشیه‌ای را مورد توجه قرار داده‌اند. نیز گفتیم که مفهوم موارد حاشیه‌ای با نوعی عدم تعین آمیخته است.» عدم تعینی که معلوم نکردند منظور چیست؟ «از این رو در بحث از ریشه ابهام در زبان، یعنی بحث از اینکه ابهام چه نوع پدیده‌ای است، به این مسئله‌ پرداخته‌اند که عدم تعین ابهام، چه نوع عدم تعینی است. آیا این عدم تعین معرفتی است؟ آیا سمنتیکی است؟ آیا متافیزیکی است؟»معرفتی یعنی ما نمی‌دانیم، سمنتیکی یعنی جمله در صدق و کذبش [معلوم نیست]  قبلاً هم  گفتم، اینها خیلی نزدیک هم است.

«آیا متافیزیکی است؟ یا اینکه نوع دیگری است.» که این خیلی خوب است که نوع دیگری احتمال می‌دهند و پرونده‌اش را مفتوح می‌گذارند.

شاگرد: سمنتیکی اینجا شاید لزوماً به معنای ارزش صدق نباشد و به معنای زبانی باشد، یعنی خود معنا و معناشناختی.

استاد: بله، منظورم همین بود، ارزش‌گذاری صدق و کذب در فضای یک زبان، و تابی که زبان برای او دارد، اینها خیلی نزدیک به هم است.

شاگرد: یعنی ارزش‌گذاری و صدق و کذب به خاطر آن تلقی خاص است که نشانه‌‌ی این بود که اینها تک ارزشی می‌دیدند، یعنی هر گزاره یک معناست و یک معنا یک واقع است. البته این برداشت من است گر چه من سمنتیک نخواندم و اطلاعات جزئی دارم. به نظرم وقتی بحث باز شد و دیگر آن رویکرد اولی‌‌شان را کنار گذاشتند، سمنتیک یعنی معنا و معنا هم با همه‌‌ی طیف گسترده‌ای که دارد و لزوماً در ارزش صدق بله و خیر  نمی گنجد.

استاد: خیر، آنطوری که قبلاً عرض کردم این بود که شما وقتی می‌گویید سمنتیک، اگر در حوزه‌‌ی منطق گزاره‌‌ها دارید می‌گویید،  چیزی جز صدق و کذب در آنجا  ندارید، چرا؟ چون سروکار معنا که با منطق محمولات نیست، در منطق گزاره‌‌ها با یک واحد نقطه‌ای به نام P و به نام یک گزاره روبرو هستید که اوست که وقتی می‌گویید سمنتیک یعنی یا راست است یا دروغ و تمام. ما آنجا معنا نداریم که شما بفرمایید در آن گستردگی است.

شاگرد: حرفم این است که  اینجا بمعنی اعمّ می‌شود نه فقط خاص منطق گزاره‌‌ها، که بگویند نظریه ابهام ناشی از…

استاد: خود ایشان قبلاً اینطوری داشتند، عبارات ایشان را ببینید.

شاگرد: شق سوم است، به نظام معرفت که برنمی‌گردد.

استاد: در مسائل مربوط که می‌گفتند توضیح داده‌‌اند. در صفحه دوازده می‌فرمایند: «نخست سمنتیک و منطق استدلال‌های زبان دارای ابهام» که آنجا در مورد زبان بحث کردیم  «آیا سمنتیک دوارزشی برای ابهام مناسب است؟» به معنا کار ندارند، [می‌فرماید] سمنتیک دوارزشی. آن دوارزشی با ریشه‌‌ی ابهام که بعدش می‌گویند، دوباره همین سمنتیک دوارزشی را در ریشه ابهام مطرح می‌کنند.  در ذیل همین صفحه دوازده دو سطر بعد از نصف صفحه ملاحظه بفرمایید؛ می‌گویند: « باید پاسخگوی این مسئله‌ مهم باشد که ابهام موجود در زبان چگونه پدیده‌ای است. آیا ابهام پدیده‌ای سمنتیکی است؟» [آیا] این یعنی سمنتیک غیر از آن سمنتیک بالاست؟ ظاهراً دوتا نبود. لذا می‌گویم با این مطالبی که ایشان فرمودند ظاهراً منظورشان همان صدق و کذب و ارزش‌گذاری و حوزه‌‌ی سمنتیک گزاره‌هاست، نه سمنتیک تعبیر؛ چون گاهی که سمنتیک می‌گوییم معادل است با انواع مدل‌سازی، معناشناسی و تعبیر؛ تعبیر یعنی تزریق معنا در پیکر یک سیستم صوری به انحاء مختلف. شما یک پیکره صوری و نظام سوری استنتاج دارید، با تعبیرهای مختلف یعنی با تزریق‌های معانی و سمنتیک‌های مختلف، بعد می‌گویید این تعبیر در این نظام چطور است؟ این می‌شود سمنتیکی که ایشان[شاگرد] می‌فرمایند که ما با تعبیر و با معنا و با مفهوم کار داریم که منطق  محمولات می‌شود. اما ایشان[مؤلف] که اینجا به کار می‌برند، دیدم کأنّه آنطور نبود حالا باز هم بیشتر تأمل  می کنیم.

شاگرد: یعنی ما چون دو تا ارزش قائل شدیم به مشکل برخوردیم و به این وضعیت درآمدیم.

استاد: یا نه، اگر با مجموعه زبان باشد که ایشان گفت و نکته ظریفی است. یعنی نه چون دوارزش قائل شدیم که در اینصورت بحث منطقی می‌شود، سمنتیک محض نمی‌شود. ما چون زبانی داریم که آن زبان دوارزش را به ما تحمیل می‌کند، نه اینکه ما الزاماً در فضای منطق دو ارزشی شدیم.

شاگرد: این زبان هم، همچنان زبان صوری است.

استاد: نه، اینجا فعلاً اعم است. چون زبان صوری که سیمبل محض است، لازم نکرده به ما تحمیل  کند. الان ابهام در زبان طبیعی موجود است، اینجا در این فضا داریم می‌گوییم. یعنی زبان طبیعی در اثر ریختی که دارد و لذا این احتمال هست که اگر شما همان زبان طبیعی بشر را، زبان کامل و اکمل، کامل و ناقص قرار دهید، همین چیزی را که ابهام در یک زبان می‌آید، همین ابهام در زبان دیگری پیش نیاید. از دوارزشی دست برنداشتید، شما دوارزشی هستید، اما از اینکه زبان تاب ندارد که بر طبق این ارزش دوارزشی مطلب را نشان بدهد، لذا می‌گویید مشکل ما سمنتیکی است؛ سمنتیکی نه اینکه فقط زیر سر دو یا سه بودن ارزش است، زیر سر این است که این دوارزشی، زبان نمی‌تواند با هم جفت و جور شود و به طور خوب بگوید که بگو ببینم راست است یا دروغ؟ چون زبان ما، زبان کاربردی‌اش ناقص است، می‌مانیم و دست‌‌مان روی دست می‌شود و نمی‌توانیم جواب بدهیم که راست است یا دروغ؟ «داوود قدبلند است» راست است یا دروغ؟ نه قد بلندی او دست من را بسته، نه واقع آن، نه ارزش دوارزشی! همینطور که آن ویلیامسون می‌گفت، فقط زبان است که دست من را بسته است. زبان را دقیق‌تر کنم جواب می‌دهم! می‌گویم قدبلند هست یا نیست. به گمان من این کاری به صوری بودنش ندارد.

شاگرد: این با توضیحات قبلی که ایشان فرمودند «آیا ابهام پدیده‌‌ای سمنتیکی است» منطبق می‌شود؟

استاد: با کدام قسمت منطبق نشود؟ همان صفحه‌‌ی دوازده را می‌فرمایید؟ در آنجا می‌فرمایند:«آیا سمنتیک دو ارزشی است؟ اگر نه چند ارزش باید افزوده شود؟»

شاگرد: یعنی تماماً فضا، فضای ارزش‌گذاری است، نه بحث تحلیل.

استاد: ببینید یک جایی رسیدیم که ایشان احتمال دادند و  ‌گفتند زبان را ضمیمه کنیم؛ به نظرم در تقسیم سه‌تایی بود، آنجا همان احتمال بد نبود و قوی به ذهن می‌آمد. یادتان هست؟ در ذیل همان صفحه دوازده می‌فرمایند: «مورد خاص و مهمی از ریشه‌یابی ابهام بحث عدم تعین است، این عدم تعین از چه نوعی است؟ به عبارت دیگر عملگر  D که در صورت‌بندی  موارد حاشیه‌ای گفته شد چیست؟ آیا D به معنای دانستن است؟» معرفتی «یعنی در بحثی که مثلاً داوود موردحاشیه‌ای است، اهل زبان نمی‌دانند که داوود لاغر است یا نیست یا اینکه به معنای صادق بودن است» اینجا بود که گفتیم این همان سمنتیکی بود. «یعنی جمله «داوود لاغر است» نه صادق است نه کاذب، یا اینکه این عدم تعین متافیزیکی است.» نه صادق است و نه کاذب که آنجا گفتند منظورشان سمنتیکی بود، نه ارزش‌گذاری سه ارزشی. لذا ایشان احتمالش را دادند و بحثش هم انجام شد که شاید مقصود یک هم بافته‌ای از ارزش با زبان باشد، یعنی قوت زبان و این مسائل هم در آن ملاحظه‌ شود. اینطور مسائل قبلاً بحث شده بود. لذا می‌فرمایند که «آیا این عدم تعین معرفتی‌ست؟ آیا سمنتیکی است؟ متافیزیکی است؟ یا اینکه نوع دیگری است؟ درواقع مسئله در اینجا تعبیر عملگر D است» یعنی ما یک عملگر داریم سیمبل محض است و در یک نظام صوری کاربرد خودش را دارد، همین عملگر در فضای سمنتیکش تعبیر دارد، خودِ عملگرها هم سمنتیک دارند، شما وقتی عملگر D را تعبیر به چی کردید،  «به چی»اش مانده است. شما می‌گویید D یعنی نامعین، نامعین را توضیح بده! یعنی تعبیرها و معانی که می‌توانید در این عملگر نامعین D تزریق کنید، فرق می‌کند؛ نامعینِ متافیزیکی، نفس الأمری، نامعینِ معرفتی. لذا می‌گویند: «در اینجا تعبیر» «تعبیر» اصطلاح منطق است، «تعبیر عملگر D است که در صورت‌بندی موارد حاشیه‌ای گفتیم. براساس همین موضع‌گیری می‌توان نظریه‌‌های ابهام را گروه‌بندی کرد. برای رعایت اختصار تنها به سه گروه از این نظریه‌ها اشاره می‌شود. این سه گروه متداول‌ترین نظریه‌های ابهام را در خود جای می‌دهند.» یکی نظریه‌های ابهام در جهان واقع، یکی معرفتی، یکی زبانی؛ الان ببینید اگر شما بحث درباره این سه تا را در این فضا پیش بردید و حل کردید و صحبت کردید، بحث‌های دیروز سمنتیک تابع این است. اینطور نیست که بگویید دوتاست، یکی سمنتیکی و دیگری هم ریشه‌‌ی ابهام. ریشه‌‌ی ابهام حرف اصلی را می‌زند. شما الان در این سه گروه حرف زدید و پیشرفت کردید، در آن بحث قبلی حرف برای گفتن دارید، متفرع بر همدیگر هستند، نه اینکه اصلاً دو نحله و دو شعبه باشد. إن شاء الله اگر فردا زنده بودیم دنباله‌‌ی بحث را پیش می‌بریم. البته چیزی نمانده که اصل این رساله تمام شود، حالا اگر پیشنهادی برای یک بحثی مناسب همین دارید که بحث تکمیل شود، ادامه می‌دهیم و اگر نبود که إن شاء الله به سراغ مباحث الاصول ادامه بحث تعارض احوال که در اصول مشغول بودیم می‌رویم.

«و الحمد لله رب العالمین و صلّی الله علی محمّد و آله الطیبین الطاهرین»

کلیدواژه: پارادوکس خرمن، منطق فازی، موردحاشیه‌ای، سمنتیک، ارزش صدق، عدد حقیقی، عدد گویا، عدد صحیح، عدد طبیعی، اعداد موهومی،اعداد کمپلکس، اعداد گویا، عدد گنگ، نفس‌الامر، منطق بی‌‌نهایت ارزشی، شمارا، ناشمارا ، مجموعه‌‌ی خوش‌ترتیب، مجموعه غیرخوش‌ترتیب، طرد شق ثالث، مرزمغشوش، رواداری، مواردحاشیه‌‌ای، ارزش صدق و کذب، سمنتیک، منطق گزاره‌‌ها

[1] مقاله‌ی «ابهام و پارادوکس خرمن»، ص18-19

[2] مقاله‌ی «ابهام و پارادوکس خرمن»، ص19

[3] مقاله‌ی «ابهام و پارادوکس خرمن»، ص19.