بسم الله الرحمن الرحیم

موضوع: پارادوکس خرمن

استاد: …. یک عکس از مرحوم آقای بروجردی است که در صحن درس می‌دهند. ظاهر عکس این است که در صحن اتابکی حدود بیست متر دورتر از صحن آیینه درس می‌دهند. عکسی هم از مرحوم آقای مرعشی است که در مسجد بالاسر هستند که درهایی که الان هست نبوده و پشت سرشان دیوار است. ولی غیر از مرحوم آقای مرعشی، درس‌های دیگر در مسجد اعظم بود. حالا یا در شبستان نزدیک رودخانه که آقای گلپایگانی آنجا بودند یا طرف نزدیک حرم مطهر که مرحوم آقامیرزا هاشم آملی بودند. زیر گنبد هم آقای اعتمادی درس می‌دادند که ما به محضرشان می‌رفتیم. یادم نمی‌آید زیرگنبد از آقایان مراجع کسی درس می‌داد یا خیر. الان زیر گنبد درسی از مراجع هست؟

شاگرد: نه.

شاگرد1: یک بار که مسجد را تعمیر می‌کردند زیر گنبد درس بعضی از آقایان بود.

استاد: زیر گنبد آقای اعتمادی درس می‌گفتند. آقای میرزا حسین نوری هم اقتصاد می‌گفتند، که میرزا حسن برادرشان فوت شدند. شما فکر کردید منظورم صاحب مستدرک است؟

شاگرد: مؤسسه‌‌ی بقیة الله که ما درس خواندیم منزل ایشان بوده است.

استاد: یعنی در قدیم منزل آقامیرزا حسین نوری بوده؟ ایشان که قم نبوده‌‌اند. در شرح حال میرزاحسین نوری نوشته‌‌اند که ایشان مؤسس پیاده‌‌روی اربعین بوده‌‌اند. خود این تحقیق خوبی است که ببینید تاریخ این پیاده‌‌روی از چه زمانی بوده است. آن چیزی که من دیدم این بود که اصلاً رسم نبوده و ایشان همّت می‌کنند و می‌گویند از نجف برای زیارت اربعین همه پیاده به سمت کربلا برویم. مؤسس پیاده‌‌روی آقامیرزا بوده‌‌اند و وفات ایشان هم 1319ق است. حالا باید ببینیم زمان شیخ انصاری و صاحب جواهر این رسم عمومی که همه به سمت کربلا بروند بوده یا خیر؟ من در شرح حال ایشان اینطور دیدم که رسم پیاده‌‌روی اربعین را ایشان در نجف پایه‌‌گذاری کردند.

شاگرد: اصل زیارت اربعین که از قدیم بود.

استاد: بله اصل زیارت بوده ولی در مورد پیاده‌‌روی از نجف تا کربلا گفته شده است. بعداً هم که از بصره و شهرهای دیگر هم رسم شد. ولی احتمال دارد که مرسوم خود عرب‌‌ها بوده باشد.

بسم الله الرحمن الرحیم

صورت‌‌بندی مرزمغشوش

به صفحه‌‌ی ده رسیدیم. ویژگی سوم از ویژگی‌‌های اساسی ابهام، مرزمغشوش است که در اینجا می‌خواهند آن را صورت‌‌بندی کنند؛ حاصلش این است که این مورد صورت‌‌بندی نمی‌شود. در پایان‌‌نامه مفصّل [آقای حسینی] به شکلی این را انجام داده‌‌اند و به نظرم خوب بود، ولی خود ایشان از آن مطالبی که در پایان‌‌نامه‌‌ی دویست صفحه‌‌ای آورده‌‌اند خیلی راضی نیستند. به گمان من سرمی‌رسد که بعداً می‌رسیم و عرض می‌کنم. به تازگی نتوانستم نگاه کنم چون مطالب درهم است و نمی‌شود مراجعه کرد. این مباحثه‌‌های یکی از دو چیز را می‌خواهد؛ یا جوانی و نشاط و اقبال یا تک مباحثه، که دو روز در هفته باشد که بین این فاصله فرصت مراجعه باشد و مطالب دیده شود و بعد بحث انجام شود. امّا هر روز آن هم سه مباحثه و به این سبک به علاوه ضعف و پیرمردی ممکن نیست. حالا به اندازه‌‌ای که من جلوتر در کتابشان نگاه کردم، به نظرم سرنمی‌‌رساندند. حالا اگر خواستید مراجعه کنید. علی ایّ حال دیدن اینکه ایشان [در پایان‌‌نامه] چکار کرده‌‌اند خوب است و این مقاله خلاصه‌‌ای از آن حرفهاست. حالا عبارت ایشان را بخوانیم تا برسیم به بزنگاه مختار و تصدیق و ردّ مطالب. می‌فرمایند:

«سوم: مرز مغشوش. استعاره‌‌ی سایه را به یاد آورید: صفحه‌‌ای را در نظر بگیرید که در مقابل یک منبع نور قرار گرفته است. اگر صفحه‌‌ی دیگری بین منبع نور و صفحه‌‌ی اول در نظر بگیریم به طوری که روی آن سایه تشکیل شود، خواهیم دید که سایه‌‌ای که تشکیل می‌شود مرز دقیقی ندارد. حال در این مثال صفحه‌‌ای را که سایه روی آن تشکیل می‌شود، دامنه‌‌ی تعبیر، و صفحه‌‌ای را که عامل تولید سایه است، محمول F در نظر می‌گیریم. در این استعاره سایه‌‌ای که تشکیل می‌شود، همان دایره‌‌ مصادیق محمول F خواهد بود. این استعاره به خوبی نشان می‌دهد که هنگامی که گفته می‌شود محمول F دارای مرزمغشوش است، منظور چیست. منظور از داشتن مرزمغشوش این است که دایره‌‌ی مصادیق F مانند سایه‌‌ی تشکیل شده در استعاره‌‌ی بالاست. برای مثال اگر مجموعه‌‌ی ایرانی‌‌ها را دامنه‌‌ی تعبیر لحاظ کنیم، دایره‌‌ی مصادیق محمول «قدبلند» مرز دقیقی ندارد. به بیان دیگر، معادل محمول «قدبلند» دارای مرزمغشوش است. چنانچه سینزبری نیز به درستی بدان اشاره کرده است، داشتن مرز مغشوش صفتی سلبی است و در واقع همان نداشتن مرز دقیق است. از طرف دیگر، مرز (Boundary) نیز جز به یک گونه قابل فرض نیست؛ داشتن مرز غیردقیق یعنی نداشتن مرز. از این‌‌رو داشتن مرزمغشوش جز به معنای نداشتن مرز نمی‌تواند باشد (Sainsbury, 1990). امّا مرز یک محمول به چه معناست؟ و نداشتن مرز درباره‌‌ی محمول‌‌ها چه معنایی می‌تواند داشته باشد؟ مرز داشتن اساساً یک مفهوم توپولوژیک است و شهوداً تنها در مورد سطح و حجم کاربرد لغوی دارد؛ گر چه در معنای مجرّد توپولوژیک در ریاضیات، کاربرد آن برای زیرمجموعه‌‌های یک فضای توپولوژیک نیز توسعه یافته است، امّا در مورد عبارات زبانی جز کاربرد استعاری، کاربرد دیگری برای آن نمی‌توان در نظر گرفت. در توضیح بالا نیز دیدیم که مرزمغشوش بر اساس یک استعاره تعریف شده است. از این‌‌رو صورت‌‌بندی دقیقی از داشتن مرزمغشوش یا نداشتن مرز (و به تبع آن داشتن مرز) نمی‌توان داد. البته این کار با یک پیش‌‌فرض قابل انجام است: سمنتیک محمول‌‌ها را بر اساس فضای توپولوژیک تعریغ کنیم. برای رعایت اختصار این ایده را پی نخواهیم گرفت. بحث‌‌های مرتبط با صورت‌‌بندی‌‌ها را در همین‌‌جا خاتمه می‌دهیم. در ادامه به بررسی مسائل فلسفی ابهام در زبان طبیعی خواهیم پرداخت.»[1]

«سوم: مرز مغشوش.» یعنی سومین امری که از ویژگی‌‌های اصلی بود مرزمغشوش داشتن مبهم بود. «استعاره‌‌ی سایه را به یاد آورید: صفحه‌‌ای را در نظر بگیرید که در مقابل یک منبع نور قرار گرفته است. اگر صفحه‌‌ی دیگری بین منبع نور و صفحه‌‌ی اول در نظر بگیریم به طوری که روی آن سایه تشکیل شود، خواهیم دید که سایه‌‌ای که تشکیل می‌شود مرز دقیقی ندارد.» شما یک منبع نور دارید، در ما نحن فیه یک عنصر برای منبع نور در نظر نگرفته‌‌اند. ما در بحث‌‌های نفس‌‌الامر خیلی اینجا می‌توانیم در مورد منبع نور حرف بزنیم، امّا فعلاً ایشان هیچ عنصری در این فضا ندارند. آن چیزی که در فضای ایشان نقش مهم دارد، سه چیز است؛ یکی آن صفحه‌‌ی زیرین که سایه روی آن تشکیل می‌شود و دامنه است؛ دوم آن صفحه‌‌ی واسطه که روی صفحه‌‌ی زیرین سایه می‌اندازد یعنی از منبع نور حائل می‌شود و سایه می‌اندازد؛ و سوم سایه. پس فعلاً در این فضا ما با این سه تا کار داریم؛ صفحه‌‌ی واسطه، سایه‌‌ای که تشکیل می‌شود و آن صفحه‌‌ای که زیرین است. صفحه‌‌ی زیرین دامنه‌‌ی کار ماست. صفحه‌‌ی واسطه خود مفهوم است؛ یعنی مفهوم مبهم که بحث ما در مورد آن است؛ سایه‌‌ای که روی این دامنه تشکیل می‌شود مرزمغشوش و محدوده‌‌ی مصادیق است. سایه، محدوده‌‌ی مصادیق است. آن صفحه‌‌ی واسطه خود مفهوم است و آن صفحه‌‌ی زیرین هم دامنه‌‌ای است که آن مفهوم مصادیق را از یک دامنه جدا می‌کند. صفحه‌‌ی زیرین مثل «افراد ایران» یا «افراد انسان» است. صفحه‌‌ی واسطه مفهوم «قدبلند» است. سایه‌‌ای که جدا می‌شود از بین افراد انسان به عنوان افراد قدبلند، آن چیزی است  که سبب شد افراد قدبلند بین کلّ دامنه‌‌ی انسان‌‌ها یک چیزی [مجموعه‌‌ای] برای خودشان تشکیل بدهند وآن مفهوم «قدبلند» بود. پس این مفهوم سایه‌‌ای تشکیل داد یعنی مجموعه‌‌ای را از کل افراد انسان جدا کرد؛ و ما با این سه تا کار داریم. امّا آن منبع نور چیست، ایشان فعلاً در این فضا با آن کاری ندارد ولو در بحث‌‌های دیگر با آن منبع نور هم کار دارد که منبع نور چیست؟ آیا منبع نور دارید یا ندارید؟ امّا در اینجا صحبتی نمی‌کنند.

شاگرد: منظورتان چیست؟

استاد: یعنی مفهوم داریم، مصادیق مفهوم داریم، دامنه‌‌ای که مصادیق مفهوم در آن دامنه از غیر خودشان، نسبت به این مفهوم جدا می‌شوند.

تفاوت منبع نور در تشکیل سایه

شاگرد: منظورتان از منبع نور که می‌فرمایید چیست.

استاد: می‌خواهیم ببینیم در ما نحن فیه منبع نور جایی دارد یا ندارد و آیا عنصر زائدی است؟ فعلاً عنصر زائدی است و کاری با آن نداریم، چون ما مفهوم و مصداق و دامنه‌‌ای که مصادیق جدا می‌شوند را داریم، دیگر کار به چیز دیگری به عنوان منبع نور نداریم، فقط یک عنصری بوده که مصحح مثال است ولی آیا جا دارد یا ندارد، باید در جای خودش بحث شود.

شاگرد: در جلسات ابتدایی اشاره‌‌هایی در مورد استعاره‌‌ی ایشان شد، امّا تا اواخر مقاله‌‌ی ایشان که نگاه کردم چیزی دستگیرم نشد ولی نمی‌دانم حضرتعالی برداشتی داشتید یا خیر، و آن این است که اساس ایجاد مرزمغشوش را با پدیده‌‌ای مثل پراش نور روی لبه‌‌های صفحه‌‌ی میانی تشبیه می‌کنند و به آن نسبت دهند یا آن احتمالی که در ابتداء مطرح شد که ممکن است منبع نور واقعا نقطه‌‌ای نباشد و نقطه‌‌ای انگاشته شده باشد. اگر هر کدام از اینها را اختیار کنیم شاید در استعاره ما تأثیر بگذارد.

استاد: یعنی واقعاً اینطوری است که اگر منبع نور نقطه‌‌ای باشد و به یک صفحه بتابد و سایه تشکیل دهد، تفاوت می‌کند با جایی که لامپی باشد که محدوده‌‌ای از نقاط دارد و شعاع‌‌ها مختلف می‌دهد، و نیم‌‌سایه‌‌ای که در منابع وسیع نور تشکیل می‌شود تفاوت دارد با آن مرزمغشوشی که به وسیله‌‌ی منبع نقطه‌‌ای تشکیل می‌شود.

شاگرد: یعنی منشأ آن تفاوت می‌کند.

استاد: آنجا تموّج نور است و اینجا روی نقطه‌‌ای هم درست است. یعنی یک شعاعی که می‌آید برخورد می‌کند به این طرف و آنجا اینطور نمی‌شود.

شاگرد: ظاهراً وقتی به لبه می‌خورد دچار پراش می‌شود که یک ویژگی خاصی به خاطر لبه‌‌ی صفحه است نه به خاطر منبع نور.

استاد: مسأله پراش که جای خودش، حتّی اگر فرض بگیریم که جسم واسطه، بنابر دقت نانو، به گونه‌‌ای است که سبب پراش هم نشود، یعنی هندسی فرض بگیریم. [به عبارت دیگر] فرض بگیریم که لبه‌‌ی دایره، مثلاً این سطح دایره‌‌ی واسطه، دقیقاً خط هندسی است که سبب هیچ پراشی نشود، در چنین فرضی اگر منبع نور ما نقطه‌‌ای نباشد، باز [مجدداً] نیم‌‌سایه تشکیل می‌شود. اگر نقطه‌‌ای باشد طبق نظریه‌‌ی موجی باز نیم‌‌سایه تشکیل می‌شود، نه طبق نظریه‌‌ی نیوتن که قائل به نظریه‌‌ی ذره‌‌ای است. منبع ذره‌‌ای می‌آید و می‌رود امّا اگر تموج باشد باز [سایه تشکیل] می‌شود، یعنی ولو آن موج تابشی از لبه‌‌ی این هندسه رد شد، بعد که دارد ادامه می‌دهد به صورت موج ادامه می‌دهد و خود موج در بستر فضا زایش می‌کند، اینطوری نیست که موج به صورت نقطه‌‌ای جلو رود. این مطالبی است که من در این مباحث می‌فهمم.

علی‌ایّ‌حال باز هم فرمایشتان و گزینه‌‌های فرمایشتان را داشته باشید که ببینیم منبع نور، سایه‌‌ی مرزمغشوش، یعنی مرزمغشوش [در این موارد تغییری می‌کند یا خیر.] ولی به گمانم در مقصود ایشان خیلی فرقی نمی‌کند. ایشان به‌طور خلاصه می‌خواهد بگوید که یک مرزی است که نه سایه است و نه سایه نیست. ایشان این را می‌خواهند بگویند، و لذا عرض می‌کردم اگر می‌خواهید با مورد حاشیه‌‌ای فرق کند نگویید: «نه سایه است و نه سایه نیست» حتی فرمایش ایشان را هم عرض نمی‌کردم که «هم سایه است و هم لاسایه» عرض من این بود که مرزمغشوش آن است که قطعاً سایه است امّا در خود مفهوم سایه تشکیک است. سایه‌‌ی ضعیف است، نه اینکه سایه و لاسایه جمع شده باشد، با بحث‌‌هایی که گذشت.

شاگرد: ما که در آنجا مخالفت می‌کردیم به دلیل این بود که اگر قطعاً این باشد فایده‌‌ای برای پارادوکس خرمن ندارد.

استاد: چرا؟

شاگرد: اگر شما بدانید قطعاً سایه است و لاسایه نیست چه فایده‌‌ای دارد؟ یعنی شما باید یک حالت بینابینی داشته باشید که در مورد آن شکّ رخ دهد، ولی اگر بدانیم همچنان سایه است، قطعاً این قدبلند است، این چه فایده‌‌ای برای پارادوکس خرمن دارد؟

استاد: قطعاً این خرمن است امّا به ما اجازه می‌دهد چون قطعاً خرمن است یک دانه از آن برداریم، اتفاقاً بحث همین است که می‌گوییم سبب ابهام و پارادوکس می‌شود. حالا پارادوکس که مربوط به رواداری‌‌اش است امّا پشتوانه‌‌ی رواداری که به شما رواداری را اجازه دهد این مرزمغشوش است. به جایی می‌رسیم که یکی دیگر برداریم، آیا هست یا نیست؟ با یکی قطعاً خرمن است، ولو از حیث خرمن بودن مقداری ضعیف شد. یعنی خرمن است امّا خرمنی که در خرمنیت از آن خرمن قبلی ضعیف‌‌تر است. پس قطعاً خرمن است امّا خرمن ضعیف در صدق خرمنیت. اگر فرض گرفتیم خرمن مفهوم تشکیکی و مثل نور یا سیاه است.

تبیین مرزمغشوش

در ادامه می‌فرمایند: «اگر صفحه‌‌ی دیگری بین منبع نور و صفحه‌‌ی اول در نظر بگیریم به طوری که روی آن سایه تشکیل شود، خواهیم دید که سایه‌‌ای که تشکیل می‌شود مرز دقیقی ندارد.» می‌فرماید «مرزِ دقیق» چرا دو کلمه می‌آورید؟ مرز غیردقیق نمی‌شود، علّتش را الان می‌گویند. «حال در این مثال صفحه‌‌ای را که سایه روی آن تشکیل می‌شود، دامنه‌‌ی تعبیر» مثلاً افراد انسان «و صفحه‌‌ای را که عامل تولید سایه است» مثل مفهوم «قدبلند» «محمول F در نظر می‌گیریم. در این استعاره سایه‌‌ای که تشکیل می‌شود، همان دایره‌‌ مصادیق محمول F خواهد بود.» متغیرهای و ثابت‌‌های فردی و متغیرهای فردی هستند، افراد اینها هستند که در عبارت‌‌های دیروز دایره‌‌ی سایه را با امثال x می‌آوردیم. «این استعاره به خوبی نشان می‌دهد که هنگامی که گفته می‌شود محمول F دارای مرزمغشوش است، منظور چیست. منظور از داشتن مرزمغشوش این است که دایره‌‌ی مصادیق F مانند سایه‌‌ی تشکیل شده در استعاره‌‌ی بالاست. برای مثال اگر مجموعه‌‌ی ایرانی‌‌ها را دامنه‌‌ی تعبیر لحاظ کنیم» یعنی صفحه‌‌ی پایین، بعد «دایره‌‌ی مصادیق محمول «قدبلند» مرز دقیقی ندارد.» محمول قدبلند هم F، مصادیقش هم سایه‌‌ای است که روی ایرانیان تشکیل می‌دهد. «به بیان دیگر، معادل محمول «قدبلند» دارای مرزمغشوش است.» «معادل محمول قدبلند» یعنی آن سایه و مصادیق، که اینها معادل‌‌اند، مفهوم با مصادیق خودش مساوی است. چون در عین حالی که معادل و مساوی است، آن مصادیق مرزمغشوش ندارد. «چنانچه سینزبری نیز به درستی بدان اشاره کرده است» البته گمان نمی‌کنم درست باشد، اصلاً حرفش درست نیست. «چنانچه سینزبُری نیز به درستی بدان اشاره کرده است داشتن مرزمغشوش صفتی سلبی است» شما هر صفتی را می‌توانید بگویید سلبی است، کسی قائم است یعنی ساجد نیست. به این معنا هر چیزی به یک نحو می‌تواند سلبی باشد. امّا شما بگویید «مرز مغشوش داشتن یعنی مرز نداشتن» اگر منظورتان این است که یعنی مرز دقیق نداشتن، این درست است و قبول داریم. مفهوم سلبی است یعنی سلبِ مرزِ دقیق، را قبول داریم؛ امّا اگر منظورتان این است که مرزمغشوش یعنی مفهوم اصل مرز نداشتن، این را قبول نداریم. حالا توضیحش را عرض می‌کنم. «و در واقع همان نداشتن مرز دقیق است. از طرف دیگر، مرز (Boundary) نیز جز به یک گونه قابل فرض نیست؛ داشتن مرز غیردقیق یعنی نداشتن مرز. از این‌‌رو داشتن مرزمغشوش جز به معنای نداشتن مرز نمی‌تواند باشد (Sainsbury, 1990).» که از مؤلف سینزبری نقل کرده‌‌اند. «امّا مرز یک محمول به چه معناست؟ و نداشتن مرز درباره‌‌ی محمول‌‌ها چه معنایی می‌تواند داشته باشد؟» این سؤال را برای بعد می‌گذاریم. حالا من لغات را توضیح دهم.

مرز داشتن، مفهوم توپولوژیک

در لغت آنها، دو لغت زیاد به کار می‌رود؛ یکی همین (Boundary) و دیگری (Border)، ما هم در فارسی می‌گوییم «مرز» «لبه» «کناره»؛ در عربی هم «حاجز» «حدّ» «ثغر» را به کار می‌برند. شما این لغت «مرز دقیق» را که به کار می‌برید، آیا دقیق بودن در مرز خوابیده است؟ یک مفهوم شهودی عرفی است، آیا در دلش دقیق بودن خوابیده است؟ از اینجا سؤال مطرح می‌شود: مصادیق محمول مرز دقیق ندارد، یعنی چه؟ برای اینکه بگویند مرز محمول، مفهومی استعاری است که اصلاً نمی‌شود آن را صورت‌‌بندی کنند، این مطلب را می‌گویند. سؤال این است «امّا مرز یک محمول به چه معناست؟ و نداشتن مرز» که مرزش مغشوش است «درباره‌‌ی محمول‌‌ها چه معنایی می‌تواند داشته باشد؟» الان می‌خواهند بگویند محمول مرز ندارد، مرز برای محمول معنایی ندارد، چرا؟ چون مرز فقط برای سطح و حجم است. مفهوم شهودی و عرفی آن فقط در کمّ است. محمول‌‌ها و اوصاف که مرز ندارند. وقتی مرز ندارند شما مجبورید با استعاره و با یک چیزی بیان کنید که به صورت در نمی‌آید. جواب می‌دهند: «مرز داشتن اساساً یک مفهوم توپولوژیک است» توپولوژیک به معنای مکان‌‌شناسی است، بعداً توپولوژی تجریدی به مجموعه‌‌ها هم سرایت کرد و الا اساساً لغت توپولوژیک یعنی مکان‌‌شناسی؛ جوار و نزدیک و دور و همه‌ی اینها در مکان است. همانطور که در قرب الهی می‌گویید اصل معنای «قرب» مربوط به حسّ و محسوس و مکان است، یعنی مفهومی را که مربوط به حسّ است در معنویات به کار می‌بریم، از باب تشبیه معقول به محسوس است. البته این روی مبنای ظاهر بحث است، آنها می‌گویند «قرب» یک روح معنا دارد که فقط یک مصداقش در ماده است، آن حرف دیگر و فضای دیگری از بحث است که بحث خوبی است. امّا بعضی می‌گویند اصل خاستگاه و تکوّن مفهوم «قرب» و «بُعد» مربوط به مکان است، بعداً از باب تشبیه معقول به محسوس «قرب» را در چیزهای دیگر به کار می‌برند. الان می‌گوییم «زمان‌‌های دور» زمان که دور نمی‌شود. دیروز گذشته و تمام و محو شده است. این مکان است که دور است، از باب تشبیه می‌گوییم «زمان‌‌های دور». در معقول هم می‌گوییم این از خدا دور است، از بهشت دور است، از اخلاق دور است، دور مربوط به مکان است و چیزی نیست که از اخلاق دور باشد. این یک شکل برداشت است. عرض کردم بسیاری از علما می‌گویند قرب و بعد مربوط به روح معنا وضع شده است. یکی از مصادیق روح معنای «قرب»، قرب مکانی است. اگر در قرب و بعد زمانی به کار بردید، در مصداق دیگر به کار برده‌‌اید ولو مأنوس بچه و بزرگ نیست. در قرب و بعد معنوی هم به کار بردید باز روح معنا هست و آن هم یکی از مصادیق لطیف‌‌تر است. علی‌ایّ‌حال ایشان می‌گویند «مرز» یک مفهوم مکان‌‌شناسی است، مربوط به مکان است، و لذا می‌فرمایند: «شهوداً تنها در مورد سطح و حجم کاربرد لغوی دارد؛ گر چه در معنای مجرّد توپولوژیک در ریاضیات، کاربرد آن برای زیرمجموعه‌‌های یک فضای توپولوژیک نیز توسعه یافته است.» که توضیحش را عرض می‌کنیم.

مرز عرفی و مرز هندسی

عرض من این است اساساً «مرز» یک مفهوم عرفی است. بعداً مهندسین در فضای هندسه خط و سطحش کردند. کما اینکه سطح و خط هم همین است که یک مفهوم عرفی است و وقتی به هندسه می‌آید دقیق می‌شود. پس شما اگر شهودی حرف می‌زنید و عرفی می‌خواهید بگویید باید با عرف همراه باشید، نه اینکه به فضای خاص هندسه بروید. در فضای هندسه، خط دقیق می‌شود، مرز دقیق می‌شود. سطح و حجم؛ دو حجم داریم، همیشه مرز بین دو حجم چیست؟  

شاگرد: سطح است.

استاد: در بعضی از حالات سطح است. مرز بین دو حجم هم می‌تواند سطح باشد، هم می‌تواند خط باشد و هم می‌تواند نقطه باشد. در دو رأس مخروط که به همدیگر رسیده، یک نقطه مرز بین دو حجم است، چون مخروط حجم است. دو رأس مکعب را روی هم بگذارید، الان یک نقطه نقش یک مرز را دارد. در حالت دیگر جانب‌‌های دو مکعب را به هم [بچسبانید،] مرز بین این دو سطح می‌شود. گاهی هم فقط ضلع دو سطح مکعب را به هم بچسبانید، حدّ فاصل و مرز بین دو مکعب خط می‌شود. سطح هم همینطور است، وقتی در مورد حجم  اینها را گفتیم، سطح راحت‌‌تر می‌شود. مرز بین سطح هم می‌تواند یک نقطه باشد و هم می‌تواند یک خط باشد، امّا در فضای هندسه اینکه مرز بین سطح، حجم باشد معنا ندارد.

شاگرد: یک چیز مرتبه‌ی پایین‌‌تر باید باشد، یعنی اگر در فضای سه بعدی است مرزش یا دو بعدی است یا یک بعدی.

استاد: بله، درست است. این مربوط به فضای هندسه است. امّا مرز که در مفهوم عرفی خود در هندسه نیست که شما بگویید خط و سطح و حجم. در مورد مرز یا دو چیز را در نظر گرفتید و می‌گویید مرز بین این دو چیز، یا یک چیز را در نظر گرفتید و می‌گویید مرز این شیء یعنی مرز منفرد، یعنی وقتی از این شیء بیرون می‌روید، که در اینجا به دو شیء بودن کار نداریم.

شاگرد: خودش و خارجش.

استاد:احسنت، خودش و خارجش، نه دو چیز. خودش و خارجش یعنی حدّش است؛ دقیقاً در مورد لغات هم به کار می‌بریم و مثلاً می‌گوییم لبه‌‌ی شیء، یا می‌گوییم اینجا مرز شیء است یعنی لبه‌‌ و کناره‌‌اش است، همه‌ی اینها را به کار می‌بریم. پس اگر کناره و لبه و مرز به معنای عرفی‌‌اش باشد یک خط هندسی نیست. مثال بسیار واضح که در عرف می‌گویند این است که فلان شهر الف در مرز ایران و عراق واقع است. «در مرز واقع است» یعنی چه؟ یعنی دقیقاً روی خط است؟ نه، مرز عرفاً یک سعه‌‌ای دارد، هندسه نیست که بگوییم باید حتماً روی خط باشد. بعد می‌بینید چقدر راه باید بروید تا به مرز برسید. عجب آنجا مرز است؟ بله، پس چطور گفتید که این شهر مرزی است؟ اصلاً اشکالی در اینجا مطرح نمی‌شود. می‌گوید همه‌ی اینها مرز است.

شاگرد: کلّ شیء بحسبه.

استاد: بله، مرز یعنی لبه و کنار. چه کسی گفته شهوداً یعنی آن سطح و حجم هندسی؟ هندسه‌‌دانان دقیقش کردند. و لذا در مفهوم عرفی و شهودی خود «مرز» اصلاً «دقیق» نخوابیده، و لذا مجبورید که بگویید «مرزِ دقیق»؛ با کلمه‌‌ی «دقیق» دقت در مرز را آوردید، که اگر نمی‌آوردید در شهودی و عرفی این کلمه‌‌ی «دقیق» نبود. از باب تعدد دال و مدلول است. این خیلی مهم است. اگر فرمایش ایشان باشد «مرزِ دقیق» وصف توضیحی می‌شود، امّا اگر تعدد دال و مدلول باشد وصف «دقیق» احترازی می‌شود. مرز عرفی داریم. حالا مرز حتماً باید در سطح و حجم باشد؟ معلوم نیست. در خیلی چیزها [به کار می‌رود] و حرفی ندارم که بگویید استعاره است، مثل خود قرب و بعد.

شاگرد: در حدّ و تعاریف مفاهیم هم چنین چیزی هست.

استاد: بله، «لکلّ شیء حدٌ»، «للصلاة أربعة آلاف حدّ» «إذا جاوز الحدّ» اینها خیلی به کار می‌رود. من دیدم در این علوم «مرز شخصی» می‌گوید، اینجا مرز شخصی است و خیلی قشنگ این را عرف به کار می‌برد، اصلاً در ذهنش خط نمی‌آید.

شاگرد: حریم شخصی می‌گویند.

استاد: خود  آنها (Boundary) می‌گویند، چون مرز را (Border) می‌گویند، مرزهای سیاسی را (Boundary) نمی‌گویند، ایشان مرز را به (Boundary) ترجمه کرده است، خودشان مرز رسمی را (Border) می‌گویند و اتفاقاً (Border) در لسان آنها هم به معنای حاشیه و کنار و لبه هم می‌آید. بین خودشان (Boundary) را برای بین دو چیز به کار می‌برند امّا در لغتشان اینهاست. ما «ثغور» و «ثغر» می‌گوییم. «ثغر» شکاف بین دو چیز و دو کوه است. شکاف برای خودش حسابی دارد و اینطور نیست که خطّ هندسی باشد. علی‌ایّ‌حال فعلاً ایشان اینطور می‌فرمایند.

می‌فرمایند: «مرز داشتن اساساً یک مفهوم توپولوژیک است» یعنی مکان‌‌شناسی که مربوط به هندسه است. «و شهوداً تنها در مورد سطح و حجم کاربرد لغوی دارد؛ گر چه در معنای مجرّد توپولوژیک در ریاضیات» ریاضیات جدید و ریاضیات عالی علم تازه تأسیسی است و خیلی هم روی آن کار می‌شود و دقائقی دارد. «کاربرد آن برای زیرمجموعه‌‌های یک فضای توپولوژیک نیز توسعه یافته است.» می‌خواهم همین را عرض کنم حتّی در توپولوژیکی که نسبت به مجموعه‌‌ها توسعه نیافته، یعنی ما اصلاً از نظریه‌‌ی مجموعه‌‌ها قطع نظر کنیم، و به فضای هندسه‌‌ی تحلیلی می‌رویم، چون نظریه‌‌ی مجموعه‌‌ها در قرن بیستم  به وسیله‌‌ی کانتور ابداع شد، امّا هندسه‌‌ی تحلیلی قبل از او و از دکارت شروع شد، اینها به هم ربطی ندارد که وقتی شما می‌خواهید هندسه‌‌ی تحلیل را بیان کنید حتماً بیایید مجموعه مجموعه کنید. مجموعه‌‌ها هندسه‌‌ی تحلیلی را خیلی زیباتر و بهتر بیان می‌کند. الان شما در توپولوژیک از مجموعه و زیرمجموعه و نظریه مجموعه‌‌ها قطع نظر کنید،  فقط به فضای تحلیلی بروید. همان جا در مفهوم توپولوژیکش باز حرف دارید، همان اول را بدون توسعه می‌خواهم عرض کنم. اساساً مفهوم توپولوژیک چیست؟ می‌گویند دو ناحیه‌‌ای از یک فضا -و فضا هم هندسی است و کاری به مجموعه‌‌ها هم نداریم- که بین آنها مرز وجود دارد با این قید که هر مرزی خود بخشی از این فضاست، نه اینکه خط است. اصلاً قوام توپولوژیک جدید این است که مرز دیگر خط هندسی نیست، خودش عضوی از این فضاست، خب شما چرا نیاز به توسعه دارید؟

شاگرد: یعنی یک مرتبه‌ی پایین‌‌تر نشد، در همان مرتبه‌ است، یعنی اگر حجم  و سه بعدی است، در فضای سه بعدی خواهد بود؛ و اگر دو بعدی است آن هم دو بعدی خواهد بود..

استاد: احسنت، یعنی دقیقاً در توپولوژیک تحلیلی -نه نظریه‌‌ی مجموعه‌‌ها- در توپولوژیک تحلیل که ما مجموعه‌‌ی نقاط را داریم روی سطح یا در فضا سه بعدی در نظر می‌گیریم و روی آن تحلیل می‌کنیم -بدون اینکه کاری به نظریه‌‌ی مجموعه‌‌ها داشته باشیم- در همین فضا شرط مرز توپولوژیک این است که خودش ناحیه‌‌ای از این فضا باشد، اگر سه بعدی است خط سه بعدی، حجم دارد، مرزی سه بعدی است، مرزی که حجم دارد، حتّی به این معنا که نمی‌خواهیم میل به صفر هم بکند. حالا در فضای حدّگیری و مشتق و انتگرال به این سمت می‌رویم که برای حدّ بگوییم میل به صفر بکند، امّا در اینجا در مرز توپولوژیک به حدّ رسیدن هم نیاز نداریم، این خیلی جالب است. یعنی دقیقاً همین را که می‌گویم توپولوژیک در این فضای تحلیلی خودش همان مرز شهودی عرفی است. بعداً خوب است و یک تجریدی می‌کنیم و می‌بریم در کلّ نظریه‌‌ی مجموعه‌‌ها. این همان کاری است که عرف می‌کند که مثلاً شما می‌پرسید فلانی قندخون درجه‌‌ی چند دارد؟ می‌گوید در مرز است. عرف کلمه‌‌ی «مرز» به کار می‌برد و می‌گوید در مرز هستم.

شاگرد: در آزمایشات هم همینطور است مثلاً می‌نویسد (Borderline) این مقدار است.

استاد: بله، ببینید اینجا هم مرز مطرح است. این مرز چیست؟ این مرز اختصاص به حجم و سطح دارد؟ نه، اول اینکه عددها هم مرز دارند، دوم اینکه بگوییم تشبیه است، اینجا هم به ذهن می‌آید که اصلش آن بوده و این را از باب تشبیه گفتیم کأنّه مرز است، یعنی خط بکشید، روی خط اعداد را تعیین می‌کنید و می‌گویید روی صد آمده و روی مرز است، این حرف صحیح و درستی است. ولی با این چیزی که عرض می‌کنم مانعی ندارد که اصل مرزِ مکانی به همان خاستگاه شهودی خودش، ، یک بهره‌‌ای از مکان داشته باشد. بعداً شما بیایید مرز مکانی که خودش بهره‌‌ای از فضائیّت و سطحیّت دارد، در فضای استعاره‌‌ی عرف عامّ ببرید، مثلاً بگویید قندخونم در مرز است، یا مثلاً می‌گویند این صفت در مرز کفر است، کفر و ایمان امور معنوی است امّا تشبیه می‌کنید. به کار بردن این استعارات مانعی ندارد؛ یا مجموعه‌‌هایی که بعداً به صورت تجریدی با پیدایش نظریه‌‌ی مجموعه‌‌ها، توپولوژیِ مکانی به صورت کلی استعاره‌‌ی محض می‌شود، که تجریدی که ایشان می‌گویند و حاضر نیستند که استعاره بگویند، چون دقیق است. نظریه‌‌ی مجموعه‌‌ها استعاره نیست چون بافندگی نیست، شما دقیق حرف می‌زنید و روی ضوابط ریاضی جلو می‌روید. حالا ذهن عرف دقیق باشد یا نباشد، آن هم خودش یک نحو استعاره است. ان شاء الله مقصود خودم را خدمت شما رساندم که علی‌ایّ‌حال این که ایشان گفتند مفهوم توپولوژیک است، از سطح و حجم شروع کردند، علی القاعده نباید اینطور باشد.

عدم امکان صورت‌‌بندی مرزمغشوش از نظر مصنف

«امّا در مورد عبارات زبانی جز کاربرد استعاری، کاربرد دیگری برای آن نمی‌توان در نظر گرفت. در توضیح بالا نیز دیدیم که مرزمغشوش بر اساس یک استعاره تعریف شده است.» امّا ذهن طلبگی و درس‌‌نخونده ما، از باب اینکه [ممکن است] ذهن ما در بعضی از اینها یاری نکند، ولی همین اندازه که من این را می‌خواندم، چه ابتداء در این مقاله و چه بعداً در آن [پایان‌‌نامه] به ذهنم می‌آید که به راحتی می‌شود مرزمغشوش را صورت‌‌بندی کرد. چرا بگوییم نمی‌شود؟ که حوصله‌‌ای که عرض کردم [نیست] و نشاط جوانی می‌خواهد. شما در مورد این فکر کنید و اصلاً نگویید نمی‌شود. با همین توضیحی که تا الان آمدید، می‌توان برای مرزمغشوش فرمول ارائه داد، کاری ندارد. به ذهن من چند طریق و از چند ناحیه آمد که می‌شود صورت‌‌بندی کرد و ایشان می‌فرمایند نمی‌شود.

«از این‌‌رو صورت‌‌بندی دقیقی از داشتن مرزمغشوش یا نداشتن مرز (و به تبع آن داشتن مرز) نمی‌توان داد.» صورت‌‌بندی دقیق به این معنا که شما گفتید معلوم است که «مرزمغشوش» دقیق نیست، ما هم انتظار نداریم که برای مرزمغشوش یک فرمول دقیق ارائه دهیم، اگر اینطور باشد تناقض می‌شود. ما نمی‌خواهیم صورت خلاف ذوالصورة باشد، امّا اینکه بگوییم اصلاً نمی‌شود صورت داد به آن مفهومی که دارد [صحیح نیست] و به گمان من ممکن است.

شاگرد: توضیح شما مشترک لفظی شد، اینکه تعریف دقیق برای مرزمغشوش بدهیم، این «دقیق» غیر از «دقیق» مرزمغشوش است که بگوییم اینجا تناقض رخ می‌دهد. علی القاعده اگر شما بخواهید فرمول ارائه دهید باید فرمول بدهید، امّا لازمه‌‌ی معنای دقیق بودنش این نیست …..

شاگرد1: به معنای این نیست که خود ذوالصورة هم دقیق است. یعنی شما برای یک چیز دقیق، یک صورت‌‌بندی دقیق بدهید، مثل همان چیزی که برای موردحاشیه‌ای دادند.

استاد: من که نمی‌گویم که صورت‌‌بندی ندارد.

شاگرد1: شما پذیرفتید که صورت‌‌بندی دقیق نمی‌شود.

استاد: ببینید ایشان کلمه‌‌ی «دقیق» را در این صفحه بارها به کار بردند. منظورم این بود. من که نمی‌گویم صورت‌‌بندی نادقیق بدهیم. اصلاً مقصود من این نیست. می‌گویم ایشان از لفظ «دقیق» چند بار استفاده کردند و اینجا هم کأنّه دقیقی که در صورت قیدش است به دنبال دقیق‌‌های قبلی آورده‌‌اند. ملاحظه می‌کنید؟ قبلاً دائماً می‌گفتند مرز دقیق نداریم، مرز دقیق نداریم، پس صورت‌بندی دقیق هم نداریم، امّا با همین فرمایش شما سر می‌رسد که ملازمه ندارد که در قبلی‌‌ها دقیق نداشته باشیم، امّا وقتی صورت‌‌بندی ارائه می‌دهیم دقیق است و متناسب با همان است، مثل خود موردحاشیه‌ای. در موردحاشیه‌ای مگر خودشان نفرمودند که خود موردحاشیه‌ای، موردحاشیه‌ای دارد؟ ابهام مراتب بالاتر چه بود؟ فرمودند خود موردحاشیه‌ای، موردحاشیه‌ای دارد. چطور در آنجا صورت‌‌بندی ارائه دادید؟ اگر موردحاشیه‌ای، موردحاشیه‌ای دارد، پس شما چطور شما صورت‌‌بندی دقیق ارائه دادید؟ چون منافاتی ندارد. ما صورت دقیق ارائه می‌دهیم ولو آن ذوالصورة آن دقت را نداشته باشد. اصلاً مقصود من این بود که ایشان دائم کلمه‌‌ی «دقیق» را به کار بردند و گفتند حالا ببینید نمی‌توانید صورت‌‌بندی دقیق بدهیم. این دنبال مطلب بود.

«از این‌‌رو صورت‌‌بندی دقیقی از داشتن مرزمغشوش یا نداشتن مرز (و به تبع آن داشتن مرز) نمی‌توان داد. البته این کار با یک پیش‌‌فرض قابل انجام است: سمنتیک محمول‌‌ها را بر اساس فضای توپولوژیک تعریف کنیم.» اینجا خوب است و در پایان‌‌نامه‌‌شان هم فرموده‌‌اند -البته الان یادم نیست و مراجعه نکردم که این نظر را در آخر کار رد می‌کنند یا خیر- ولی خیلی رضایت ندارند، از لحن‌‌شان تأیید و رضایت برنمی‌‌آید. [ولی] من که نگاه می‌کردم سرمی‌رسد. یکی از آن راه‌‌هایی که همان جا ممکن است قطعه قطعه کردن‌‌ است و ایشان چندین عکس در پایان‌‌نامه‌‌شان آورده‌‌اند، حتّی اگر شما عکس‌‌ها را نبینید سریع به ذهن می‌آید. و من هم قبلاً عرض کردم برای شروع مرزمغشوش می‌توانید یک حدّی بگذارید، پایانش هم یک حدّ دیگر و بین‌‌الحدّین مراتب تشکیکی باشد. یعنی معنای مرزمغشوش این نیست که تا بی‌نهایت مرزمغشوش است، خلاصه به جایی می‌رسید که قطعاً سایه نیست. معنای سایه‌‌ی مغشوش این نیست که تا آخر کار صفحه، همه مغشوش است، نه اینطور نیست، در همین صفحه‌‌ی زیرین به جایی می‌رسید که قطعاً سایه نیست و به یک جایی می‌رسید که قطعاً سایه هست و یک جایی هم بینابین است.

«البته این کار با یک پیش‌‌فرض قابل انجام است: سمنتیک محمول‌‌ها را بر اساس فضای توپولوژیک تعریف کنیم.» فضای توپولوژیک همین توضیحی است که الان عرض کردم. در فضای توپولوژیک خود مرز، ناحیه‌‌ای از فضاست. خود مرز، یک خط محض نیست، خود مرز حساب دارد و ناحیه‌‌ای از فضاست. وقتی به این صورت سمنتیک محمولات را دادید، به این معناست که خود این مرزمغشوش هم بخشی از قدبلندهاست، همانطور که من عرض کردم. او خودش بخشی از قدبلندهاست، ولی قدبلندی که در قدبلند بودن ضعیف‌‌تر از دیگران است. اگر شما اینطور دادید می‌گویید مرز است، می‌گویید ما یک قدبلند 190 سانتیمتری داریم [و یک قدبلند 170 سانتیمتری داریم.]

شاگرد: …..

استاد: مرز بین قدبلندی و قدکوتاهی.

شاگرد: ظاهراً نتیجه فرمایش شما این نمی‌شود. چه قدبلندها و چه آنهایی که قطعاً قدبلند نیستند، همه عضو فضا هستند. فقط بحث در این است که ما وقتی می‌خواهیم در فضا تعریف کنیم، فضا را اعمّ از آن چیزی می‌گیریم که الان مثلاً مجموعه‌‌ی ما باشد.

شاگرد1: ایشان فضای توپولوژیک را می‌گوید.

شاگرد: شما می‌خواهید بگویید مرز عضو فضاست و این به معنای این نیست که مرز عضو آن مجموعه‌‌ای است که مثلاً می‌خواهید تعریف کنید یا چیزی شبیه به این. یعنی مثلاً فرض کنید اینکه مرز جزء فضای نقشه است به این معنی نیست که یک فضایی داخل نقشه باشد، به این معنی نیست که حتماً این مرز باید عضو کشور ایران باشد. می‌خواهید مرز کشور ایران را مشخص کنید، مانعی ندارد بگویید این مرز ایران عضوی از فضای نقشه است، ولی این عضوی از فضای نقشه بودن مساوی نیست با عضو کشور ایران بودن.

استاد: درست است، امّا عضوی از خود فضاست، و وقتی مرز بین دو چیزی است که ما اسمش را می‌بریم از آن حیثی که مرز است، نه این است و نه آن است، ولو خودش عضوی از کلّ فضاست، از آن حیثی که مرز است نه این است و نه آن است. امّا دقّت این علم این است که وقتی عضوی از کلّ فضاست و ما هم فرض گرفتیم که مرز الان به عنوان شیء ثالث مطرح نیست، مرز است. و لذا نقاط همجواری مطرح می‌شود. یعنی در دل خود فرض، شما هر چه دقیق‌‌تر شوید، نقاط همجوار پیدا می‌کنید، تا برود و میل به صفر کند. و لذا قید مرز این است که میل به صفر کرده باشد. قید مرز این است که عضوی از این دو نباشد ولی همجواری را داریم.

شاگرد: فعلاً ما به دو تا کار نداریم، الان با یکی کار داریم. فرض کنیم اصلاً هیچ کشور دیگری وجود ندارد، ما می‌خواهیم مرز کشور ایران را مشخص کنیم. مرز کشور ایران هم مفهوم توپولوژیک دارد.

استاد: که موردحاشیه‌ای می‌شود.

شاگرد: ولی بخشی از فضای نقشه است، این را ما پذیرفتیم، امّا وقتی گفتیم بخشی از فضای نقشه است آیا به این معنی است که بخشی از کشور ایران است؟

استاد: نه.

شاگرد: شما می‌فرمایید این به این معناست که اینها همه‌ی قدبلند هستند.

استاد: نه، دو فضاست. دو تقریر را یادآوری کنیم. یکی این بود که فرض بگیریم خصوصیت مرزمغشوش با خصوصیت موردحاشیه‌ای جوهراً و واقعاً دو تا هستند. مرزمغشوش قطعاً قدبلند است امّا مقداری ضعیف است.

شاگرد: این را شما پیش‌‌فرض گرفتید.

استاد: این را من گرفتم ولی ایشان این را قبول ندارد، من در فضای ایشان عرض می‌کنم. در فضای ایشان موردحاشیه‌ای و مرزمغشوش یک شکل می‌شود. بنابراین به فرمایش شما درست است که موردحاشیه‌ای- مرز توپولوژیک- یک عضوی از کلّ فضاست امّا نه این است و نه آن است، ولی خودش یک چیزی است. بنابراین در این فضا چه مشکلی دارد که ما بگوییم این عضو الان انسان است و نه قدبلند است و نه غیرقدبلند. و روی فرض اینکه ما مرزمغشوش را به همین شکل معنا کردیم، مرزمغشوش یعنی نه آن است و نه آن است، پس سررسید.

شاگرد: درست است و اینجا مشکلی نداریم. در آن بیان حضرتعالی اشکال داشتیم که فرمودید چون عضوی از آن است، از فرمایشتان اینطور برداشت شد و ظاهراً برداشت ما غلط بود.

استاد: من چه گفتم؟

شاگرد1: که حتماً عضو قدبلند هست.

استاد: اگر آن باشد که اشتباه عرض کردم. یعنی من بگویم چون …

شاگرد: عضوی از فضاست مساوق با این است.

استاد: به این معناست که عضوی از قدبلندها هم هست.

شاگرد: ما اینطور برداشت کردیم.

استاد: بله، لازمه‌‌اش این نیست، اگر آنطور بوده درست می‌فرمایید.

شاگرد2: اگر دو ارزشی باشد مرز اینطوری می‌شود. اگر دو تا داشته باشیم و شیء ثالث نداشته باشیم.

شاگرد: اینجا دو تا هم نداریم، یکی داریم.

شاگرد2: نه، به این معنا که این هست و این نیست، دو طرفه باشد آن وقت فضای توپولوژیکش همان قسمت داخل قدبلند می‌شود.

استاد: ببینید کلمه‌‌ی «مرز» در این فضا یعنی نه این است و نه آن است، ولی خودش عضوی از کلّ فضاست، خودش ناحیه‌‌ای از آن است.

شاگرد2: اگر دو طرف باشد، یعنی شیء ثالث نداشته باشیم، یعنی موردحاشیه‌ای به عنوان چیز ثالث نداشته باشیم آن وقت حتماً جزء یکی از این دو طرف خواهد بود.

استاد: درست است. منظورتان این است که در فضای توپولوژیک به جایی برسیم که واقعاً بین دو نقطه، نقطه‌‌ی دیگری نباشد. اگر فضا را به شکلی در نظر بگیریم که به قول معروف فضای حقیقی باشد، در فضای حقیقی ممکن نیست دو نقطه فرض بگیریم که بینش نقطه‌‌ی دیگری نباشد. ما دو نقطه‌‌ی متصل به هم نداریم، از آن به اندازه‌‌ی کافی فشرده تعبیر می‌کنند. به اندازه کافی فشرده یعنی هر دو نقطه …

شاگرد: به اندازه‌‌ی کافی کثیف.

استاد: بله، یعنی تکاثف دارند. بین دو نقطه -به هر شکلی که دو نقطه را فرض بگیرید- بی‌نهایت نقطه وجود دارد.

شاگرد: در این فضا که نداریم، چون این در مرتبه‌ی پایین‌‌تر و بعدی می‌رود.

استاد: مقصود شما این است که در این فضا طرف الخطِ دو خط را به هم بچسبانیم، فرمایش شما اینجا درست است، امّا در چنین فضایی، در اصطلاح به این نقطه که حدّ فاصل بین این دو است، آیا اینجا ناحیه‌‌ای از آن فضا صدق می‌کند؟ در اصطلاح توپولوژیک چنین نقطه‌‌ای که شما فرض می‌گیرید را مرز می‌گویند یا خیر؟ ایشان دقّت کردند. می‌گویند ما یک نقطه‌‌ای که هیچ نقطه‌‌بودن فضایی ندارد، فقط فرض قطع است، طرف‌‌الخط است، به عنوان قطعِ یک خط در نظر بگیرید، دو خط را در این فضا به هم بچسبانید، این نقطه‌‌ای که فقط سر دو خط را به هم چسبانده که نقطه نیست، دو طرف است که به هم چسبیده است، آیا در اینطور جایی، این نقطه در اصطلاح توپولوژیک مرز است؛ به معنای اینکه خودش هم ناحیه‌‌ای از این فضاست؟ یا این نقطه ناحیه‌‌ای از این فضا نیست؟ اصطلاحشان را در اینجا نمی‌دانم. این نقطه‌‌ی محض نقطه [را نمی‌دانم.] در فضای خودشان نقطه می‌گیرند، نقطه‌‌ی توپولوژیک داریم، یعنی نقطه‌‌ای که خودش ولو یک حجم کوچک دارد.

شاگرد2: باید ناحیه باشد.

استاد: پس آن نقطه‌‌ای که شما می‌گیرید ناحیه نیست. همین سؤال را من مطرح کردم. آن نقطه‌‌ی دقیقی که شما فرض می‌گیرید ناحیه نیست. بالدقة الهندسی و العقلی حجم ندارد و هیچ [حجمی ندارد] اگر آنطور فرض بگیرید، امّا اگر بخواهید به صورت چیز کوچک بگیرید [حجم خواهد داشت.]

«و الحمد لله رب العالمین و صلّی الله علی محمّد و آله الطیبین الطاهرین»

نمایه: پارادوکس، پارادوکس خرمن، ابهام، مرزمغشوش، رواداری، سایه، نیم‌‌سایه، متغیر، ثابت‌‌های فردی، متغیرهای فردی، توپولوژیک، مکان‌‌شناسی، حجم، سطح، خط، مرز، مخروط، نظریه‌‌ی مجموعه‌‌ها، هندسه‌‌ی تحلیلی، مشتق، انتگرال، سمنتیک

اعلام: سینزبُری، نیوتن، کانتور، دکارت

[1] مقاله‌ی «ابهام و پارادوکس خرمن»، ص10-11