بسم الله الرحمن الرحیم

موضوع این جلسه : تفاوت شرطیه و مشروطه درمنطق جدید و توضیح نمادها و فرمول ها درصوری سازی

شاگرد: کتاب آقای موحد که حالت خودآموز دارد را بنده تدریس کردم. آن کتاب را قبلاً در دانشگاه خوانده‌‌ایم. از ابتدایی‌‌ترین و ساده‌‌ترین مطالب شروع کرده و از این جهت برای ما خیلی خوب بود.

استاد: ما که کار نکردیم. در علومی مثل منطق عمده این است که ترجمه و تمرین کند، اینها به تمرین وابسته است. ما هم که صفر هستیم، فقط مطالعه طلبگی کرده‌‌ایم، لذا ممکن بعضی جاها برای کسانی که کلاسیک فراگرفته‌‌اند مأنوس است و می‌دانند و ما برّانی باشیم.

شاگرد: کتاب دیگری که ترجمه‌‌ی آن سه جلد است و ظاهراً اسمش را «درآمدی نو به منطق» ترجمه کرده باشد. ظاهراً در سه مجلد ترجمه کرده: یکی منطق گزاره‌‌ها و دیگری منطق محمولات و جلد دیگر هم اسم دیگری دارد.

استاد: فایل‌‌های این کتاب موجود است؟

شاگرد: به صورت انگلیسی موجود است، امّا ترجمه فارسی چاپ‌‌ قدیم است. ظاهراً انتشارات دانشگاه امام صادق -علیه‌السلام- چاپ کرده است.

استاد: به دنبال بعضی مطالب جستجو می‌کردم، سایتی آمد، دیدم که یک وبلاگ و یک سایت به هم مرتبط هستند که کتاب‌‌های انگلیسی را ترجمه کرده است. کتاب‌‌هایی از این دست بود. می‌دانم که دو تا بود، یکی وبلاگ بود که فهرست کتب را آورده بود، و دیگری سایت، که تفصیل کتب آنجا بود و بعضی از مطالب را در آنجا ذکر کرده بود، امّا اینکه اسم آن کتب چه بود در ذهنم نیست.

شاگرد: نکته‌‌ای که شما در مورد پرانتز دیروز فرمودید، دیدم هر دو کتاب گفته‌‌اند و رعایت کرده‌‌اند ولی زمانی که به ما درس می‌گفتند خیلی تأکید نشده بود. تفاوت مشروطه و شرطیه جدی است و در هر دو کتاب این تفاوت را بیان کرده بود.

شاگرد1: جایی که سور می‌آید و مربوط به کلّ جمله است، در کتاب‌‌ها اینطور نبود، ما در یک مباحثه به این نتیجه رسیدیم که زمانی که کلّش جزء دامنه است، شاید نیازی به گذاشتن پرانتز نباشد.

شاگرد: اگر پرانتز نگذارید کلّش نمی‌شود.

شاگرد1: اگر نگذارید می‌تواند به این تعبیر شود، منتهی از آن طرف هم می‌توانید بگویید فقط به اوّلی می‌خورد.

بسم الله الرحمن الرحیم

تفاوت بین شرطیه و مشروطه

در تفاوت بین شرطیه و مشروطه -آن چیزی که در ذهنم بود- در منطق محمولات گفته‌‌اند که حتماً قضیه‌ی موجبه‌‌ی کلیه باید مشروطه باشد. آن مطلبی که به ذهن من آمد -همینطوری که شما می‌فرمایید- این است که: یک مدتی این فضا بوده که با موجبه‌‌ی کلیه به عنوان شرطیه برخورد کردند و می‌گفتند کلش هست، اینها مدتی ادامه داشته؛ بعد مواردی پیش آمده در تمرین‌‌ها و برخوردها به مشکل برخورد کردند، یعنی دیدند که نتیجه‌‌ی بد داد و غلط درآمد. این دفعه -به دنبال آن مسامحه‌‌ای که در ابتداء وجود داشت- مشروطه‌‌ی تدقیقی [درست شد.] این در ذهنم آمد، که تاریخ پیدایش کلمه‌‌ی مشروطه [چگونه است؟]  می‌خواستم جستجو کنم ولی اگر شما می‌توانید سریع‌‌تر پیدا کنید، الان در زبان‌‌های انگلیسی مقابل مشروطه چه می‌گویند؟ شرطیه را که شرط می‌گویند.

شاگرد: (conditional)

استاد: (conditional) شرطیه است، امّا موجبه کلیه را می‌گویند شرطیه نیست، مشروطه است. نمی‌دانم در اینجا معادلش را آورده‌‌اند یا خیر.

شاگرد: نیاورده‌‌اند.

استاد: می‌گویند موجبه‌‌ی کلیه شرطیه نیست، مشروطه است. یعنی مدخول سور باید حتماً پرانتز داشته باشد و لذا حتماً مشروطه می‌شود؛ اگر برای سور کلی پرانتز نگذاریم، در اینصورت شرطیه است و شرطیه بالدقه موجبه‌‌ی کلیه نیست.

شاگرد: اگر پرانتز نگذاریم …

استاد: شرطیه می‌شود و  سور فقط به شرط می‌خورد.

شاگرد: وقتی سور به شرط خورد، تالی چه می‌شود؟

استاد: تالی در دامنه‌‌ی سور نیست.

شاگرد: وقتی در دامنه‌‌ی سور نباشد و خودش هم  مسوّر نباشد ..

استاد: متغیر آزاد می‌شود.

شاگرد: به این معنی که اصلاً معنی‌دار نمی‌شود.

استاد: چرا معنی‌‌دار نشود؟ مگر شرطیه‌‌های اتفاقی ندارید؟ «اگر حمار ناهق است، زید قائم است» در استلزام مادی همین است. شما در استلزام مادی کافی است که بگویید «اگر این … اگر آن» اینکه هست، آن هست، استلزام مادی همین بود، و استلزام به معنای تأثیر شرط در آمدن جزاء نبود.

شاگرد: در منطق گزاره‌‌ها همینطور است.

استاد: آنها استلزام مادی می‌گیرند. شرط در منطق گزاره‌‌ها، از مشکلات کار است و موجب پارادوکس هم بوده و لذا عرض کردم همان ابتداء که اینها را دیدم- نمی‌دانستم دنباله دارد- هفت، هشت یا ده شکل شرطیه [به ذهنم آمد.] بعد گفتم چرا اینها را یادداشت نکردم. گاهی ذهن آدم باز می‌شود و جلو می‌رود. بعد من دیدم بعدی‌‌ها مفصل راجع به انواع شرطیه حرف زده‌‌اند و من رها کردم، گفتم خودشان متوجه بوده‌‌اند و راجع به اینها مفصل بحث کرده‌‌اند، دیگر[ادامه‌‌ی آن بحث] رها شد.

منظور شرطیه‌‌ای که در منطق گزاره‌‌ها می‌گویید یک معنای بسیار وسیعی است که معادل همان قضیه‌‌ی اتفاقیه در منطق خودمان است. ما می‌گفتیم قضایای شرطیه دو نوع است: شرطیه لزومیه و شرطیه اتفاقیه. شرطیه اتفاقیه همان استلزام مادی است، حالا تسمیه‌‌ی مادی استلزام مادی هر چه می‌خواهد باشد.

شاگرد: اگر مسوّر نباشد اتفاقیه می‌شود؟

استاد: یعنی با او سازگاری دارد، یعنی باید کاری کنیم که هر دو x ما، در محدوده‌‌ی آن مفروض سور کلی ما باشد.

شاگرد: درست است، ولی بحث سر این است که اگر یکی از آنها نباشد، آن وقت آیا با معنی هم هست یا نیست؟ ظاهراً بی‌‌معنی می‌شود.

شاگرد1: کاربرد استلزام همین جا معلوم می‌شود. مثلاً «اگر من از ساختمان پنجاه طبقه افتاده بودم زنده می‌ماندم» مثال‌‌هایش این است، مقدمش کاذب است پس همواره صادق است که می‌بینیم «اگر من از ساختمان پنجاه طبقه افتاده بودم زنده می‌ماندم» خلاف شهود است و بحث‌‌هایی که در مورد آن می‌کنند.

شاگرد: بحث در اینجاست که حاج‌آقا می‌فرمایند اگر تالی مسوّر نباشد.

شاگرد1: اینجا که من مثال زدم مسوّر است.

شاگرد: نه، اصلاً اینجا که فردی است و بحث سور مطرح نیست، در بحث شخص سور مطرح نیست.

استاد: این شخصیه بودن سور است. یعنی پارادوکس استلزام مادی مربوط به منطق گزاره‌‌هاست و حال آنکه سور مربوط به منطق محمولات است. ولی علی ایّ حال وقتی از قضیه‌ی شرطیه استفاده کردیم، شرطیه‌‌ی ما و نماد شرطیت ما، همان نماد گزاره‌‌هاست و فرقی ندارد.

شاگرد: درست است و فرقی ندارد ولی بحث در این است که مسوّر نبودن تالی، چه ارتباطی با استلزام مادی و امثال آن پیدا می‌کند، این قسمت را متوجه نشدم.

استاد: چیزی که فعلاً به ذهنم می‌آید این است که اگر گفتیم به ازاء هر x، اگر آن x انسان باشد، بعد می‌گوییم xـی کاتب است، این x باید همان زید باشد یا شخص دیگری هم باشد اشکال ندارد.

شاگرد: در اینجا که شما می‌گویید xـی کاتب است، این لزوماً آن x نیست، ولی بحث ما در اینجا این است که اینجا بالکل تالی شما بدون معنا می‌شود و قابل ارزش‌‌گذاری هم نیست.

استاد: چرا؟ xـی کاتب است معنادار نیست؟ مثلاً «اگر حیوانی بار می‌برد، انسانی کاتب است.» این بی‌‌معناست؟ این قضیه‌‌ی شرطیه منطقی است.

شاگرد: این مثالی که می‌فرمایید سور دارد، یعنی «انسانی کاتب است» مسوّر است و مشکلی ندارد.

استاد: من در شخصیه می‌آورم «اگر سقراط منطق‌‌دان است الخ»

شاگرد: در اینجا هم قضیه مربوط به سور نشد. اگر ما سور را فقط بر سر مقدم بیاوریم، به این معناست که همه‌ی اشیاء عالم آن خصوصیت را دارند، آنگاه یک چیز بی‌‌معناست که قابل ارزش‌‌گذاری هم نیست.

استاد: «اگر همه‌ی انسان‌‌ها کاتب هستند، سقراط منطق‌‌دان است.» این از نظر منطقی غلط است یا درست  است؟

شاگرد: درست است.

استاد: پس بی‌‌معنا نشد.

شاگرد: البته شما در تالی x ندارید، سقراط x نیست و با a یا b  و امثال آن، نشان می‌دهند که یعنی شخص است، متغیر x برسرش نمی‌آورند که نیازمند سور باشد.

استاد: ببینید a که می‌تواند جانشین متغیر x باشد.

شاگرد: بله می‌تواند جانشینش باشد امّا به جای a که نمی‌توانید x بگذارید.

استاد: در این بیان نه.

شاگرد: اگر x بگذارید و سور نداشته باشد ظاهراً قابل صدق و کذب نیست.

استاد: x هم ثابت فردی را می‌گیرد و هم فرد فرضی را می‌گیرد، لازم نیست که سور هم داشته باشد.

شاگرد: اینطور که در ذهن من است باید سور می‌داشت که بتوان گفت صادق یا کاذب است و امثال اینها.

استاد: یعنی اگر سور نباشد فقط باید ثابت فردی باشد.

شاگرد: حالا اگر صلاح می‌دانید بحثش را ادامه ندهیم، شاید ربطی هم به بحث نداشته باشد، ولی آن مطلبی که فرمودید باید پرانتز قطعاً باشد، چه برای شرطیه و چه برای موجبه‌‌ی کلیه، جایی که می‌خواهد دامنه‌‌ی سور مشخص شود و می‌خواهند همان فردی باشد که در تمامی مراحل می‌آید، قطعاً باید پرانتز گذاشته شود.

استاد: خلاصه‌‌ی فرمایش شما این می‌شود که اگر محمول ما، مدخول سور نباشد و در دامنه‌‌اش نباشد، این در واقع به تعبیر و اصطلاح رایج یک جمله‌‌نشانه است، نه یک چیزی که صادق یا کاذب باشد؛ و اگر سور آمد، آن وقت جمله‌‌نشانه نیست، چیزی است که صدق و کذب دارد؛ و ما در جمله‌‌ی شرطیه که فضا بخواهد موجبه‌‌ی کلیه باشد یا نباشد، باید حتماً جمله‌‌نشانه نداشته باشیم، باید حتماً در دامنه باشد و به صورت صدق باشد.

شاگرد: شرط دیگری هم که باید داشته باشد این است که همه باید مربوط به یک سور باشد، یعنی یک x باشد که در تمام اینها می‌آید، اگر جدایش کنیم و «هر» بر سر قسمت دوم قضیه بیاوریم، یک چیز دیگری می‌شود.

شاگرد1: امکان دارد که بدون سور باشد و حاج‌آقا هم چند تا مثال بدون سور آوردند. مثلاً fx آنگاه به ازاء برخیy، gx، الان fx سور ندارد.

شاگرد: اینجا قابل صدق و کذب نیست.

شاگرد1: چرا نیست؟ به عنوان تمرین آورده که شما انواع فرمول‌‌هایش را تعیین کنید که صدق و کذب باشد و کدام با کدام معادل هستند. آوردن جملات بدون سور ممکن است و استفاده می‌شود.

شاگرد: ممکن است ولی شما نه می‌دانید که موجبه‌‌ی جزئیه است یا موجبه‌‌ی کلیه است یا چه چیزی است؟

استاد: جمله‌‌نشانه‌‌ها جدول صدق دارد امّا خودش الان صدق معین ندارد. می‌خواهید جدول صدق را تعیین کنند؟

شاگرد1: نه، می‌خواهیم بگوییم این جمله با این هم ارز است.

شاگرد: معادل بودن و اینها را می‌توان داشت و مشکلی نداریم. ولی جمله‌‌ی بامعنا که بتوان صدق و کذب را روی آن پیاده کرد نمی‌شود، در واقع مهمل می‌شود.

شاگرد1: یعنی این جمله fx آنگاه به ازای برخی y آنگاه gy با fx یا gy این دو مهمل است؟ معلوم است که با هم فرق دارند.

استاد: ببینید وقتی نظام ما صوری است و هنوز به مرحله‌‌ی سمنتیک نرسیدیم، آنجا این بحث‌‌ها و معادل بودن مطرح است، با اینکه ما هنوز ارزش‌‌گذاری هم نکرده‌‌ایم، منافاتی ندارد. شما می‌گویید آنها می‌گویند اثبات کنید که این دو تا معادل هستند، در همان نظام صوری با همدیگر معادل هستند. ولی وقتی سور مطرح شد، در مرحله‌‌ی ارزش‌‌گذاری صدق و کذب وارد شده‌‌ایم، در این فضاست که حرف ایشان می‌آید که شما اگر در جوابتان یک جمله‌‌نشانه داشته باشید این اصلاً جمله نیست و چیزی نیست که به مرحله‌‌ی معناگذاری آمده باشد؛ مبهم به این معناست. حالا این هم از چیزهایی است که ببینید چرا آنجا [اینگونه گفته‌اند] علی ایّ حال من حدس قوی می‌زنم که یک جریان تاریخی در کلاس منطق ریاضی بوده که مجبور شدند‌‌ که بگویند مشروطه با شرطیه فرق دارد؛ [امّا دقیقاً] چه شده است؟ خوب است که تاریخ این را بدانیم. یعنی در ابتداء -همانطوری که می‌گویید- اینها یکی است، معلوم است این x باید آن باشد، اگر بخواهیم معنا داشته باشد. بعد عملاً در یک جاهایی به مشکل برخورد کردند، لذا دائم تأکید می‌کنند که [پرانتز] بگذارید و مشروطه با شرطیه تفاوت می‌کند. حالا نمی‌دانم به مشروطه چه می‌گویند ولی اصل پی‌‌جویی این مطلب خوب است که چه شده است.

سؤال شما هم که الان می‌فرمایید در این حد خوب است، جواب و حلقه‌‌ی مفقوده‌‌اش این است که ببینیم چرا و چه شده که بعداً می‌گویند اگر دقت کنیم مشروطه است و مشروطه و شرطیه فرق می‌کند. چه شده که این دقت را کرده‌‌ایم؟ و کجا به مشکل  برخورد کرده‌‌ایم. این نکته‌‌ی خوبی است که پی‌‌جویی آن برای کسانی که در وقت جوانی هستند و حوصله‌‌اش را دارند خوب است.

بسم الله الرحمن الرحیم

صفحه‌‌ی نُه بودیم. دیروز عبارتی را خواندیم و ایشان توضیح دادند.

بعد فرمودند:«اعتبار این استدلال تنها برگرفته از قاعدۀ حذف سور کلّی و وضع مقدم است.»

شاگرد: شما فرمودید من به دو کتاب مراجعه کردم، در روال تدریس عادی x و yو z  را از همدیگر جدا نمی‌کنند، اینکه شما فرمودید فرد مردد و فرد …. من اولین بار از شما شنیدم بعد در این دو کتاب نگاه کردم، اینکه fx آنگاه  gxاگر بگویند gy به خاطر این است که در واقع فرد عرض شد، یعنی x و yو z  یکبار متفاوت هستند و یکبار همان فرد تکرار می‌شود، و از این جهت در فرمول در حالت‌‌های عادی می‌گذارند، البته ممکن است در بحث‌‌های تخصصی فرد مردد و فرد …. به کار ببرند.

محصورات اربع در منطق جدید

استاد: ببینید اساساً وقتی اولین بار با قضایای محصورات اربع مواجه شدند، بر خلاف منطق ارسطو، تفسیری که از سور کلی داشتند با سور جزئیه، متفاوت شد، آنها سور وجودی گفتند و آنها سور کلی گفتند. در سور کلّی با آن مشکلات اتمی که عرض کردم، آنها می‌خواهند مناط صدق را با اتمی قرار بدهند، حالا آن را چطور حل می‌کنند بماند، ولی وقتی در سور کلی با تفاوت فرد فرضی با قضیه‌‌ی شخصیه‌‌ای که فرد خارجیه دارد، مواجه شدند، اتمی بودنش به این است که آبجکت (object) باشد نه یک چیزی که من فرض می‌گیرم ولو هیچ وقت نباشد، چطور می‌خواهید صدقش را بگویید؟! یک چیزی را که شما فقط فرض می‌گیرید، از کجا می‌گویید که باید اینطور باشد؟ اگر می‌گویید مثلاً «هر انسانی کاتب است» انسان‌‌هایی که هستند، اگر می‌بینید که تک تک و اتمی، کاتب هستند پس «کلّ انسان کاتب» امّا انسانی که شما فرض می‌گیرید «لو وجد» آن مفروض شما از کجا صدقش را تضمین می‌کنید که باید کاتب هم باشد؟ ملاحظه می‌کنید که صدقش در نمی‌آید. لذا -این از چیزهایی است که به ذهن من آمده و در کتاب‌‌ها هم دیده‌‌ام- بعدها لازم دیدند که در محدوده‌‌ی متغیرهای فردی، xـی بگذارند برای کلّ متغیر، متغیر فردی به تمام معنا، y باشد برای آن متغیر فردی به معنای فرد مفروض، z هم برای متغیر فرد مردّد باشد که برای سور جزئی خوب است. وقتی سور جزئی می‌خواهد جاگذاری شود با z جاگذاری می‌شود. y برای جاگذاری سورهای کلّی مفروضش، و x هم مطلق است و برای هر متغیری است.

نماد متغیرها و فرد فرضی و ثوابت

شاگرد: عرض ما این است که شاید در بحث‌‌های تخصصی این کار را بکنند ولی در کتب عادی که تدریس می‌کنند تفاوتی نمی‌گذارند، همانطور که بین a و b و c فرقی نمی‌گذارند، بین x و yو z  هم تفاوتی نمی‌گذارند. البته ممکن است در کتب تخصصی این تفاوت را بگذارند، امّا در کتاب‌‌هایی مثل کتاب آقای موحد x و yو z  یکسان است.

استاد: این مطلبی که من دیدم در یکی از کتاب‌‌ها بود که باید مراجعه کنم.

شاگرد: توضیح هم داده بود؟

استاد: بله، جدول آورده و توضیح داده بود.

شاگرد1: این که شما می‌فرمایید در کتاب تیدمن هم هست.

شاگرد: در کتاب تیدمن نیست، تیدمن همه را x می‌گذارد.

شاگرد1: در ترجمه جلد دو تیدمن آورده است: «fm، حروف میانی الفبا از m شروع می‌کند نام خاص است، بین a و b و cو d فرضیان، x و yو z  متغیران»

شاگرد: همین است بین x و yو z  تفاوتی نگذاشته است.

شاگرد1: حاج‌آقا می‌فرمایند در x و yو z خود نمادها متفاوت است.

شاگرد2: بحث تفاوت x و yو z  است در همین کتاب هم همینطور است، متغیرهای فردی x و yو z و  x` و  `yو `z؟

استاد: من در یکی از این فایلها دیدم و کاری از نویسنده که خوب بود و یادم مانده این بود که آخر کار هم نوشته بود «والحمد لله رب العالمین فلانی» چون خوشم آمد یادم مانده است.

شاگرد: فارسی بود؟

استاد: بله فارسی بود و نوشته بود «والحمد لله رب العالمین فلانی». یک فایل پی دی اف بود. می‌دانم من این را در آنجا دیده بودم، گاهی آدم چیزی را می‌بیند و در ذهنش می‌ماند چون حالت افتراق از همدیگر دارد، حالا ایشان از کجا گفته بود [نمی‌دانم.]

شاگرد: x و yو z  متغیر است، m برای نام خاص است مثلاً زید، بکر، عمرو. a و b و cو d فرضی‌‌هاست، یعنی اینکه شما می‌گویید x و yو z  برای خاص و فرد متغیر باشد ظاهراً نیست، امّا تفاوت قائل شدن برای نمادهای مختلف حتماً هست، امّا اینطور است که m و n  خاص زید بعد عمرو، a و b و cو d تا وسط حروف الفبا را فرضی می‌گیرند. مثلاً a انسانی که هست یا نیست یا شاعری که هست یا نیست.

استاد: مثال مفروض.

شاگرد: بله، مثلاً c فیزیک‌‌دان مفروض.

شاگرد1: اینها ثوابت فرضی‌‌اند.

استاد: اینها ثابت‌‌اند. a و b و c صاف است که از ثابت‌‌ها هستند.

شاگرد2: تیدمن را ببینید، آنجا تفاوتی نگذاشته ولی تا آخر نخوانده‌‌ام.

استاد: علی ایّ حال این حروف هر کدام به نحوی ..[قرار داده‌‌اند] مثلاً جمله‌‌نشانه‌‌ها را از همان اولِ جمله و قضیه با p شروع می‌کنند و تا آخر می‌روند، امّا برای محمولات از a شروع می‌کنند، چون آنجا قضیه بوده، برای محمولات از حروف بزرگ از A و از این طرف شروع می‌کنند و تا قبل ازp، یعنی o می‌آیند که این تقسیم‌‌بندی‌‌ها [قرارداد است.]

شاگرد: قراردادی.

استاد: بله، وقتی اینها را ندانیم خیلی ذهن به هم ریخته می‌شود.

شاگرد: معمولا اول کتاب توضیح می‌دهند که منظور چیست.

شاگرد1: همه را در یک صفحه گفته است.

استاد: بله، نماد فرضی، جمله‌‌نشانه، ثابت‌‌های منطقی، محمول‌‌نشانه. بعد هم شماره‌‌اش برای محمول چند موضعی بودنش. محمول‌‌نشانه‌‌ها را مثلاً φ گذاشته است، این را دیدم یادم آمد.

ببینید الان ایشان اینجا گفتند: «اعتبار این استدلال برگرفته از قاعده‌‌ی حذف سوری و وضع مقدم است.» در ادامه گفتند: «این فرم را فرم شرطی مرتبه‌‌ی اوّل می‌گویند.» سه چهار شکل دیگر هم در پایان‌‌نامه‌‌ی خود گفتند. مثلاً فرم عطفی مرتبه‌ی اوّل. یکی دیگر فرم شرطی گزاره‌‌ای که در منطق گزاره‌‌ها پیاده‌‌ کرده‌‌اند. آن وقت که در آنجا می‌دیدم این سؤال در ذهنم آمد. اینجا در صفحه‌‌ی هشت گفتند: «در پارامترهای مرتبط به یک محمول مشخص φ تفاوت قابل چشم‌‌پوشی داشته باشند.» φ از متغیرهای فرازبان است که در همین صفحه‌‌ای که شما آوردید هست، φ کوچک از متغیرهای فرازبان است برای محمول‌‌نشانه‌‌ها. ایشان در پایان‌‌نامه وقتی می‌خواهند محمول‌‌نشانه‌‌ها را بگویند، بنابر فرم شرطی مرتبه‌ی اول φ می‌آورند، وقتی هم فرم شرطی گزاره‌‌ای را می‌خواهند توضیح دهند، باز φ کوچک را می‌آورند، و حال آنکه آنجا باید برای محمول‌‌نشانه‌‌ها P و Q بزرگ بیاورند، نمی‌دانم چه شده است؟ حالا یک مطلبی است که من نمی‌دانم؟

شاگرد: محمول‌‌نشانه را گفته بودند؟

استاد: در فرم شرطی گزاره‌‌ای در پایان‌‌نامه …

شاگرد: گزاره که دیگر محمول‌‌نشانه نمی‌آورد، جمله‌‌نشانه می‌آورد.

استاد: جمله‌‌نشانه باید بیاورند، امّا φ کوچک می‌آورند.

شاگرد: برای جمله‌‌نشانه p و q کوچک می‌آورند.

استاد: برای جمله‌‌نشانه بزرگ بود یا کوچک؟ در ذهنم این است که بزرگ بود. p کوچک برای وقتی است که جانشین می‌کنند، محمول‌‌نشانه خودش تا مادامی که تابع است P بزرگ است، محمول‌‌نشانه تابع است. خلاصه این سؤال در ذهنتان باشد که چطور شده وقتی در فرم شرطی گزاره‌‌ای می‌خواستند اینجا را توضیح بدهند، به جای اینکه در صورتی که فرمول ارائه می‌دهند P بیاورند، φ کوچک آورده‌‌اند، φ کوچک مال محمول‌‌نشانه است نه گزاره.

شاگرد: ایشان هم ظاهراً φ کوچک را فقط برای محمول‌‌نشانه می‌آورند و در چیزهای دیگر نیاورده است، ولی برای خود فرمول‌‌ها تتا(θ) و φ  بزرگ هم در گزاره‌‌ها و هم در فرمول‌‌ها می‌آورند.

استاد: امّا φ کوچک برای محمول‌‌نشانه‌‌ها گذاشته‌‌اند. نمی‌دانم اینطور است که من نمی‌دانم مقصود چیست یا مثلاً مسامحه شده است.

شاگرد: ظاهراً مسامحه است، چون در هیچ قسمتی از منطق گزاره‌‌ از p و q استفاده نکرده است.

استاد: اگر فایل پایان‌‌نامه را ببینید ایشان صورت شرطی گزاره‌‌ای را می‌گویند باز φ کوچک استفاده می‌کنند در فرمول و صورتی که ارائه می‌دهند.

شاگرد: من در اینجا حدسی می‌زنم که Ψ(psi) به لحاظ نگارشی خیلی شبیه φ است و برای حروف بزرگ از این خیلی استفاده می‌کنند، احتمال دارد تایپیست اشتباه کرده باشد.  البته نمی‌دانم چطور خوانده می‌شود.

استاد: (phi) و (psi) گفته می‌شود.

شاگرد1:  تا جایی که یادم است، اس (psi) خوانده نمی‌شود، و سای خوانده می‌شود.

استاد: من در بعضی جاها دیدم که پی آن بود ولی شاید تلفظ  نمی‌شود.

شاگرد: در انگلیسی پی هست، وقتی می‌خواهند اسمش را به انگلیسی بگویند پی می‌نویسند ولی سای خوانده می‌شود.

استاد: من که در کلاس نبوده‌‌ام که بشنوم ولی حرف یونانی آن را پسا می‌گویند، آلفا، بتا، تتا، تا می‌آید به پسای (psi) و بعد فی، تلفظ اسمی اینطوری است.

شاگرد: شما تلفظ p آن را در (psi) شنیده‌‌اید؟ ظاهراً (psi) می‌نویسند اما (si) خوانده می‌شود.

استاد: نه، من به دنبال هیچ کدام از صوت‌‌های اینها نبوده‌‌ام.

شاگرد: احتمال می‌دهم چون (phi) φ و (psi) Ψ خیلی از لحاظ نگارشی شبیه به هم هستند، ممکن است اشتباهی رخ داده باشد، چون اگر مهارت نداشته باشد ممکن است اشتباه کند.

استاد: به نظرم در دایرة المعارف ویکی‌‌پدیا‌‌ دیدم که اسم حروف یونانی را به فارسی آورده است.

شاگرد: من منظورم در پایان‌‌نامه است، که ممکن است این اشتباه اتفاق افتاده باشد چون در منطق گزاره‌‌ها هیچ کجا از فی کوچک(φ) استفاده نکرده است امّا(phi) Φ و(psi) Ψ استفاده می‌شود، و احتمال می‌دهم که تایپیست در فرمول اشتباه کرده باشد.

استاد: به تعبیر شما یعنی یا فی بزرگ Φ یا سای Ψ آورده بوده ولی دیگری چون قبلش فی کوچکφ بوده، او خودش فی کوچکφ آورده و بعداً هم کنترل نشده است. اگر اینطور باشد که یک نحو سهو است؛ امّا اگر چیز دیگری هست سؤال کنید خوب است.

توضیح و تبیین فرمول و نمادها

امّا قاعده‌‌ی حذف سور کلی که یعنی سور کلی حذف شود و برداشته شود، یکی از قواعد اصلی استنتاج بود که در خود صورت و در سیستم صوری بود. در مورد وضع مقدم که در عبارت ایشان هم گفتند، عبارت بالای صفحه نُه را ببینید:

ϕ(1)

∀n ( ϕ(n) → ϕ(n+1))

ϕ(k)

فی ϕ با شماره یک(1)، بعد اینطور است به ازای هر n، که اینطور خواندیم: اگر یک دانه‌‌ی گندم خرمن نباشد پس مرتبه‌ی دوم، یک دانه‌‌ی گندم به اضافه‌‌ی یک دانه‌‌ی گندم دیگر هم خرمن نیست. نتیجه این شد که دو دانه‌‌ی گندم خرمن نیست، k یعنی این. یعنی آن عنصر دوم که دو دانه‌‌ی گندم است خرمن نیست. لذا دیروز صحبت کردیم که این 1ها شماره‌‌های اشیاء است، می‌توانیم پیمانه‌‌ی رواداری را عوض کنیم و مثلاً پنج تا پنج تا برویم. مثلاً در آن اولی می‌گوییم پنج دانه‌‌ی گندم خرمن نیست.

شاگرد:  هر کدام در این ردیف، خرمن نباشد بعدی هم نیست.

استاد: به ازاء هر کدام از این انباشت‌‌هایی که پنج تا پنج تا جلو می‌رود. آن n اول یعنی چه؟ اگر پنج دانه‌‌ی گندم خرمن نباشد، پس ده دانه‌ی گندم هم خرمن نیست که این +1 یعنی تبع دوم، یعنی یک انباشت دیگری که ده تا می‌شود. (k) بعدی چه می‌شود؟ یعنی پس ده دانه‌ی گندم خرمن نیست.

شاگرد: البته (k) آن نهایی مثلاً صدهزار دانه‌ی گندم است.

استاد: بله ولی من می‌خواهم روی یک فرض بایستم. حالا این را می‌خواستم عرض کنم که الان این (k) در هر مرحله‌‌ای جلو می‌روید، جایگزین همین (n+1) است و جایگزین خود n، (k-1) است، و لذا با توضیحی که عرض می‌کنم به ازاء هر n، اگر خرمن گندم نباشد (k-1)، پس خود k خرمن گندم نیست. این روالی بود که از وضع مقدم یادمان آمد، که وضع مقدم برای نتیجه‌‌گیری تالی می‌خواهیم بگوییم، یعنی دائماً می‌گوییم(k-1) خرمن گندم نیست، این را به عنوان صادق وضع می‌کنیم ، تالی را هم متفرع می‌کنیم که خود k است.

شاگرد: k لزوماً (n+1) نیست ظاهراً، آخرین (n+1) است که k خرمن شده است. پارادوکس در مورد همین است.

استاد: آخرین مورد دلخواه است و هر جا بخواهیم می‌ایستیم.

شاگرد: نکته در این است که هر k، (n+1) نیست، یعنی مثلاً یک دانه‌ی گندم یا دو دانه‌ی گندم k صدق نمی‌کند.

استاد: k آنجا هست.

شاگرد: k زمانی است که خرمن شده باشد، چون می‌خواهد پارادوکس درست کند. می‌خواهد بگوید (n+1) دو تا می‌شود، بعد سه تا می‌شود، هنوز خرمن نیست امّا می‌دانیم که اگر این سه ادامه پیدا کند به یک جایی می‌رسد که k است و k خرمن است.

استاد: درست است، آن یعنی مقصود از k که خرمن نباشد در ما نحن فیه.

شاگرد: k خرمن است.

استاد: بله قطعاً خرمن هست. در ما نحن فیه همینطور است.

شاگرد: اگر به لحاظ صوری بخواهیم پیاده کنیم شبیه k است.

استاد: منظورم توضیح وضع مقدم بود. چطور است که از وضع مقدم ϕ(k) را نتیجه گرفتیم؟ یعنی آن نتیجه را گرفتیم. می‌خواهم بگویم مقدم چیست که وضع کردیم. آن مقدمی را که فرض گرفتیم و وضع کردیم، (k-1) ϕاین را صادق وضع کردیم و همین نتیجه‌‌ای را که الان عرض کردم گرفتیم که ϕ(k) است. مقصودم را رساندم؟ درست نیست؟ یا اینکه هنوز نتوانستم مقصودم را برسانم؟

شاگرد: به نظرم(k-1) نیست، (k-1) زمانی است که از آن طرف شروع کنیم. به نظرم می‌آید که (n+1) غیر از (k-1) است، اصلاً پارادوکس هم همین جا پیدا می‌شود. علی القاعده (n+1) باید مساوی با (k-1) باشد.

استاد: وضع مقدم را توضیح بدهید.

شاگرد: حیث وضع مقدم را عرض می‌کنیم که حیثش این است.

استاد: آن مقدمی که مفروض می‌گیرید و بعد نتیجه ϕ(k) از دل آن درمی‌آید چیست؟ مقصود من این است.

شاگرد1: به جای n گذاشتید (k-1)، حالا فرض کنید که k صدهزار باشد.

استاد: من می‌خواستم با k برابر باشد.

شاگرد1: شما k را صدهزار بگذارید، یعنی ما به جای n گذاشتیم صدهزار به منهای یک، یعنی نود و نه هزار و نهصد و نود و نه، نتیجه گرفتیم که ϕ صدهزار.

استاد: من می‌خواهم بگویم نتیجه‌‌ای که گرفتیم، اندیسش روی حساب صوری‌‌اش، k است. آن مقدمی که شما وضع کردید که، نتیجه باید در دل مقدمات باشد یا نه؟ شما یک مقدمی را وضع کنید و بگویید شرط را نتیجه گرفتم. آن مقدمی را که وضع کردید و شرط و نتیجه گرفتید، اگر مقدم ربطی به k ندارد، چطور می‌خواهید k نتیجه بگیرید و k بیرون بیاید؟ من می‌خواهم بگویم هست. آن مقدمی که شما وضع می‌کنید تا نتیجه بگیرید پس ϕ(k)، آن (k-1) است.

شاگرد: منظور از k جمله‌‌ی آخر هست یا خیر؟

استاد: در هر جایی بایستیم. برای مقصود پارادوکس آخرین جمله‌‌ای است که قطعاً خرمن شد، ولی در این فرمول صوری، کاری نداریم که خرمن بشود یا نشود، ما می‌خواهیم مرحله مرحله نتیجه گیری را بگوییم.

شاگرد: مثلاً زنجیره‌‌اش را ده انتخاب کنیم و k ده می‌شود، ولی این به پارادوکس نمی‌رسد.

استاد: آن اصلاً مقصود من نیست و [اگر] نرسد [مهم نیست.] من می‌خواهم توضیح دهم که در استقراء چطور وضع مقدم صورت می‌گیرد. ایشان می‌گفت از قاعده این و این، نتیجه گرفته می‌شود. چطور است که از وضع مقدم اینجا k بیرون آمد؟ می‌گوییم چون مقدمی را که وضع می‌کنیم و مفروض می‌گیریم (k-1) است و (k-1) چه چیزی را نتیجه می‌دهد؟

شاگرد: ایشان اینطور جلو نرفته است. ایشان مقدمی که گرفته همان ϕ(1) است. پس ϕ(1) مقدم بود.

شاگرد1: مقدم در قضیه‌ی شرطیه است.

شاگرد: می‌دانم، مقصودم مقدمی است که می‌خواهد وضع شود. ببینید وقتی استدلال اینطوری نوشته می‌شود، مثلاً شما می‌نویسید

f(a)

∀x ( f(x) →gx)

 fa، بعد می‌نویسید به ازاء هرx، fx آنگاه gx،  الان مقدمی که وضع شد  fa است، الان ایشان هم به همین ساختار نوشته است:

ϕ(1)

∀n ( ϕ(n) → ϕ(n+1))

نوشته است ϕ(1) بعد به ازاء هر n، ϕ(n) آنگاه ϕ(n+1)، در واقع آن مقدم خودش را (1)ϕ گرفته، در حالی که شما مقدمتان را از بیرون می‌گذارید، یعنی (k-1) می‌گذارید که جمله‌‌اش درست شود.

استاد: (k-1) همان (2-1) می‌شود و 1 می‌شود و برمی‌گردیم به پارادوکس.

شاگرد: بله این را متوجه هستم ولی آن چیزی که الان وضع کرد که نتیجه را بگیریم، آن چیزی را که وضع کرد (1)ϕ بود

نه  (k-1)ϕ

شاگرد1: از دل آن درمی‌آید.

شاگرد: بله، از دل آن درمی‌آید ولی آن چیزی که عملاً وضع کرد که استدلال را پیش ببرد این نیست.

استاد: اگر n را یک فرض بگیریم، وقتی در پایین می‌گویید (n+1) یعنی دو، حالا وقتی می‌گویید 2-1 یعنی همان 1 بالاست.

شاگرد: بله، این همان است.

استاد: من همین را می‌خواهم توضیح بدهم که چطور k در نتیجه آمد، از کجا این k بیرون آمد؟

شاگرد1: ما حذف سور داریم می‌کنیم، تا آخر قضیه می‌رویم، آن آخری را در نظر می‌گیریم و حرف سور را برمی‌داریم و n که به جای آن می‌گذاریم k-1 است.

استاد: و این k از کجا درآمد؟ به دلیل این است که آن قبلی(k-1) است. مقصود من این است.

شاگرد1: به خاطر این است که سلسله‌‌ی ما تا k بیشتر نیست، پس باید آن قبلی را در این فرمول بگذاریم که نتیجه را بگیریم و کارمان هم تمام شود، صور را هم حذف می‌کنیم.

استاد: علی ایّ حال مقصود من این بود، وضع مقدم این است که ما می‌گوییم که شرط صادق است که یعنی همان ϕ(n) در شرط، پس آن ϕ(k) هم ثابت است.

شاگرد: برداشت من این بود که ایشان با این بیان نمی‌خواست [این را] بگوید. بلکه می‌خواست بگوید که ما ϕ(1) داریم، بعد (ϕ(n)→ϕ(n+1)) داریم که این دو می‌شود. بعد حالا دوباره ϕ(2) داریم که همین را پیاده می‌کنیم و 3 و بعد 4 و بعد 5 می‌شود، این خطی که کشیده می‌خواهد بگوید که این سیر ادامه پیدا می‌کند، تا جایی ادامه پیدا می‌کند که در نهایت به k می‌رسد، نه اینکه اول کار و وضع اولی مقدم ما (k-1) باشد، مقدمی که وضع کردیم (k-1) نبود.

شاگرد1: آن چیزی که (ϕ(k از آن بیرون می‌آید(k-1) بوده که این نتیجه داده است، باید بگوید (k-1) از (k-2) بیرون آمده است.

شاگرد2: ما وقتی می‌خواهیم در استقراء نتیجه را بیان کنیم به همین شکل عمل می‌کنیم. سور کلی را حذف می‌کنیم، آن چیزی را که می‌خواهیم جایگزین می‌کنیم.

شاگرد: حیث استقرائش مد نظرم است نه صرفاً وضع مقدم آن.

شاگرد2: وضع مقدم هم به این معناست که مقدم را صادق می‌دانیم، نتیجه را می‌نویسیم.

شاگرد: این را می‌دانم ولی اینجا حیث اصلی کارش وضع مقدم نیست، حیث اصلی کار وضع مقدم به اضافه‌‌ی استقراء است، امّا توضیحی که حاج‌آقا می‌دهد گویی فقط با وضع مقدم جلو می‌رود.

شاگرد2: در استقراء وضع مقدم و حذف سور می‌کنیم. نتیجه که می‌خواهیم بگیریم حذف سور و وضع مقدم انجام می‌دهیم.

استاد: درست است، من فرمایش شما را نفی نمی‌کنم. من می‌خواستم توضیح دهم که چطور و به چه میزانی منطقی در این نظام صوری محض، این k پیدا شد؟

شاگرد: یعنی ما مثلاً بی‌‌نهایت وضع مقدم انجام دادیم تا k پیدا شده است، حرف من این است.

استاد: ما هر کجا بخواهیم بایستیم  -به خرمن کاری نداریم- در استقراء ریاضی هر جا بخواهیم بایستیم k نقد را داریم. این k از کجا می‌آید؟ از  (k-1) که در قبلش است. می‌خواهم بگویم که k را  توانستیم از یک چیزی که داریم نتیجه بگیریم، نه از چیزی که نداریم. این مقصود من بود حالا اینکه درست است یا نیست [باید تأمل شود.]

پس من یک سؤال مطرح می‌کنم برای مطالبی که می‌خواستم بین مباحثه بگویم که شما روی آن تأمل کنید و در جلسه بعد بحث می‌کنیم.

در فقره بعدی -ذیل صفحه‌‌ی نُه- ایشان می‌گویند برای محمول F، سؤال این است که چرا F گفته شده است؟ محمول‌‌نشانه‌‌ی بخش قبلی را در مواردحاشیه‌ای φکوچک آوردند، همان فرامتغیر اصطلاحی.

شاگرد: همان فرامتغیر و تابع خاص است.

استاد: چرا F؟

شاگرد: مثلاً خرمن.

استاد: اول خرمن F نیست.

شاگرد: اینها حروفی است که اینها معمولاً استفاده می‌کنند.

استاد: نه معمولاً از A شروع می‌کنند. همین بود که برای من سؤال پیش آمد. در محمول‌‌نشانه‌‌ها از A شروع می‌شود. مگر اینکه F اول یک کلمه باشد. من گفتم شاید منظور ایشان لاغر است.

شاگرد1: منظور از F شاید Fat  به معنای چاق است.

شاگرد: رسماً فرمایش شما درست است، وقتی می‌خواهند مثال بزنند مثلاً می‌گویند ∀x ( F(x) →gx)

استاد: آن f، اول حرف (function) است. وقتی می‌خواهند به صورت تابع بیاورند، می‌گویند تابعِ فلان، امّا اینجا که تابع نیست، محمول‌‌نشانه‌‌ای است که اصلاً به معنای تابع نیست.

شاگرد1: پس محمول خاص نیست.

شاگرد: تعبیر به F، عرف شده است. وقتی محمول‌‌نشانه را می‌خواهد بگوید، می‌گوید از A تا O با حروف بزرگ، امّا وقتی می‌خواهد مثال بزند می‌گوید برخی از فرمول‌‌های اتمی مانند  F(x)، نمی‌گوید  A(x)

استاد: بله، اگر به عنوان تابع می‌گویند درست است و F بزرگ هم می‌آورند نه کوچک، تابع کلی، آن مانعی ندارد، امّا ما در اینجا که تابع نداریم.

شاگرد: اینجا به عنوان فرمول گفته است.

استاد: درست است ممکن است F به معنای فرمول باشد.

شاگرد: G و H هم می‌گویند.

استاد: نه G مال بعد از F است. از F که حرف اول فرمول است شروع می‌کنند، G را دنباله‌‌اش می‌گویند به عنوان اینکه دنبال او می‌آید گفته می‌شود. خلاصه اینکه اینجا F گفته شده به ذهن من آمد که باید وجهی داشته باشد، آیا فرمول منظور است؟ اینجا که جای فرمول نیست. این هم در ذهنتان باشد.

«و الحمد لله رب العالمین و صلّی الله علی محمّد و آله الطیبین الطاهرین»

نمایه‌‌ها: پارادوکس، پارادوکس خرمن، ابهام، شرطیه، مشروطه، موجبه‌‌ی کلیه، منطق گزاره‌‌ها، منطق محمولات، سور وجودی، سور کلی، نماد فرضی، جمله‌‌نشانه، ثابت‌‌های منطقی، محمول‌‌نشانه، موجبه‌‌ی کلیه، شرطیه، مشروطه، قضیه‌‌ی اتفاقیه، قضیه‌‌ی لزومیه، قضیه‌‌ی شخصیه، ارزش‌‌گذاری، ثابت فردی، فرد فرضی، محصورات اربع، سور وجودی، متغیر فردی، متغیر مفروض، فرم عطفی،