بسم الله الرحمن الرحیم

موضوع این جلسه : صوری سازی پارادوکس خرمن و توضیح اصطلاحات خاص دراین حوزه(زنجیره،شیء،پارامترهای مرتبط،قواعد اولیه، فرم، اعتبار و …)

بسم الله الرحمن الرحیم

ساخت پارادوکس و توضیح مفردات آن

ساخت‌ این نوع پارادوکس بسیار ساده است: زنجیره‌‌ای از اشیاء را در نظر بگیرید که در پارامترهای مرتبط به یک محمول مشخّصφ تفاوت قابل چشم‌‌پوشی داشته باشند، شیء اول محمولφ را ارضا کند و شیء آخر نه. مثلاً زنجیره‌‌ای از انباشت‌‌های گندم به طوری که: انباشت اول تنها یک گندم دارد، انباشت دوم دو گندم دارد، …. و انباشت صدهزارم صدهزار دانه‌‌ی گندم دارد. در این مثال، انباشت اول خرمن نیست، ولی انباشت آخر، خرمن است. حال اگر اشیاء دنباله را 1، 2، …، k بنامیم، استدلال‌‌های زیر به نظر صحیح می‌آید که همان صورت کلی پارادوکس خرمن است.»[1]

صفحه نُه بودیم. در این صفحه کلماتی به کار رفته که تماماً حالت اصطلاح منطق جدید است، لذا باید زیر کلمات خط بکشیم که اگر می‌دانیم دقّت بیشتری کنیم و اگر نمی‌دانیم معنای این کلمات را در کتب منبع و… توضیحی دقیق‌‌تر یاد بگیریم.

در ذیل صفحه‌‌ی هشت مطالبی را گفتند. پنج شش سطر مانده به آخر گفتند «ساخت این نوع پارادوکس بسیار ساده است.»  بعد اینطور توضیح دادند: «زنجیره‌‌ای از اشیاء» اشیاء آن چیزهایی هستند که استقراءِ استدلالی روی آنها انجام می‌شود، زنجیره‌‌اش آن اعدادی است که به ازای هر شیء می‌گذاریم. زنجیره را با آن عددها می‌گذاریم. شیء یک، شیء دو، و به تعبیری اندیس. پس زنجیره یک عددی است، عددی است که تعیین می‌کند چندم زنجیره است. آن شیءای که در زنجیره است با این شماره‌‌ی ترتیبی خودش قرار می‌گیرد، آن هم یک چیز دیگری است، «زنجیره‌‌ای از اشیاء را در نظر بگیرید که در پارامترهای مرتبط به یک محمول مشخّص» آن چیزی که مثل خرمن گندم بودن یا نبودن را [مشخص می‌کند.]

پس اگر الان بخواهیم جاگذاری کنیم «زنجیره» می‌شود تعداد اشیاء، یعنی یک، دو، سه و همه؛ «اشیاء» هم خرمن گندم می‌شود، خرمن‌‌های متعدد؛ «پارامترهای مرتبط» می‌شود یک دانه، دو دانه، سه دانه، و هر کدام از تعداد‌‌های گندم، تعداد گندم غیر از آن ردیفی است که این زنجیره تشکیل می‌دهد، ولو در ما نحن فیه الان چون از یک شروع کردیم، خرمن را یک یک بالا می‌بریم، آن عدد زنجیره با آن پارامتر در فضای بحث ما برابر است. یعنی هر کجا آن اندیس پنج است در بحث ما پنج تا دانه‌‌ی گندم است، در بحث ما یکی شده است و الا لزوماً در این صورتی که می‌گوییم [ممکن است منطبق نشود.]

شاگرد: ممکن است دوتا دوتا یا ده تا ده تا بالا رود.

استاد: بله.

شاگرد: یا از بالا به پایین بیاییم.

استاد: از بالا به پایین بیاییم، منفی یک و … رواداری ما می‌تواند پنج گندم باشد، ده تا گندم باشد، مثلاً بگوییم با فاصله‌‌ی دو تا گندم فرقی [نمی‌کند]. منظور این عبارت معلوم باشد، زنجیره‌‌ یک عدد به خودش نسبت می‌دهد، که عدد طبیعی است، به نحو نظم خاصّ خودش. «اشیاء» آن خرمن‌‌هایی است که موجودند. «پارامترها» آن مقدار رواداری است که در ما نحن فیه یک دانه گندم گرفتیم و الا می‌تواند در هر موردی چیزهای دیگر هم باشد. «مرتبط به یک محمول مشخص» محمول مشخص خواه نفی و خواه اثباتی، یعنی خرمن بودن یا خرمن نبودن و امثال اینها که فرمودند: «که در پارامترهای مرتبط به یک محمول مشخّصφ تفاوت قابل چشم‌‌پوشی داشته باشند» پارامترها روادارند. «شیء اول محمولφ را ارضا می‌کند» یعنی یک دانه‌‌ی گندم خرمن نیست. «شیء اول» یک دانه گندم است که خرمن نیست، دانه هم که یک دانه است. شما ببینید در یک دانه‌‌ی گندم چند چیز داریم. یک دانه‌‌ی خودش را داریم، یکی شیءای که گندم است داریم، دیگر اولین اندیسی است که شروع کار است، همه‌ی اینها در عبارت ایشان که می‌گوید «یک دانه گندم» جمع شده است.

پس اینها را ملاحظه داشته باشید. بعد می‌فرمایند: «مثلاً زنجیره‌‌ای از انباشت‌‌های گندم به‌طوری که: انباشت اول تنها یک گندم دارد، انباشت دوم دو گندم دارد، ….  و انباشت صدهزارم صدهزار دانه‌‌ی گندم دارد. در این مثال، انباشت اول خرمن نیست، ولی انباشت آخر، خرمن است. حال اگر اشیاء دنباله را 1، 2، …، k بنامیم» که معمولاً در حساب و هم در اینجا برای شماره‌‌ی خاص، k می‌گذارند، نمی‌دانم از کجا گرفته‌‌اند. از همان کلمه‌‌ی kay است که در بانک اطلاعات برای تنظیم جدول می‌گویند، شماره‌‌ی kay یعنی یک شماره‌‌ی خاصی که …

شاگرد: منظورتان key است.

شاگرد: کی می‌نویسند و کی می‌خوانند.

استاد: من چون اینها را از معلم نشنیدم هر چه به نظرم درست آمد می‌خوانم. مثلاً kayboard گفته نمی‌شود،
keyboard می‌گویند. امّا اینکه دقیق از چیست نمی‌دانم.

اگر می‌دانید بفرمایید اگر هم نمی‌دانید خوب است که پیگیری کنید. چون در خیلی جاها آدم بداند چرا این حرف را به کار می‌برند مهم است، ولو غالب به کارهای معلم‌‌ها برمی‌گردد، یک استادی در جایی به یک مناسبتی این را به کار برده است.

شاگرد: ذوقی بوده است.

استاد: گاهی ذوقی است و گاهی مناسبتی است، این را به کار برده و بعد ادامه پیدا کرده است. دانستنش خوب است. خلاصه می‌گویند: «استدلال‌‌های زیر به نظر صحیح می‌آید که همان صورت کلی پارادوکس خرمن است.»

تعریف استدلال صحیح و استدلال معتبر در فضای صورت محض

در صفحه‌‌ی هشت هم فرمودند: «پارادوکس استدلالی است به وضوح معتبر» استدلال در فضای صورت محض، صحیح دارد، یعنی استدلال صحیح، یعنی استدلالی که طبق قواعد استنتاج سیستم صوری است. استدلال معتبر یعنی استدلالی که صحیح باشد و در تعبیرگذاری و در فضای سمنتیک و معناگذاری صادق هم باشد، یعنی منتج به صدق شود. این استدلال معتبر می‌شود. لذا ایشان که می‌گویند: «استدلالی است به وضوح معتبر»  یعنی استدلالی که علاوه بر اینکه صحیح است، روی ضوابط معناگذاری هم باید نتیجه صادق بدهد، پارادوکس بودنش از کجاست؟ از اینکه نتیجه به وضوح کاذب داده است. پس «معتبر» یعنی استدلالی که علاوه بر اینکه صحیح است، نتیجه صادق هم می‌دهد.

«پارادوکس استدلالی است به وضوح معتبر» یعنی هم صحیح است هم باید نتیجه صادق بدهد «با مقدمات به وضوح صادق» هم صحیح است و مقدمات هم صادق است امّا «نتیجه به وضوح کاذب.» چگونه این پارادوکس اتفاق می‌افتد؟ باید این را حل کنیم.

شاگرد: ضوابط معناگذاری که می‌فرمایید، این ضوابط چیست و کجا بررسی می‌شود.

استاد: همانطوری که دیروز گفتم باید در مورد کاربرد اینها دقت کنیم و معلوم باشد. زبان صوری، نظام صوری، معنادهی سیستم صوری، سه بخش کار است و الان اینها از همدیگر جدا هستند. الان عبارتی که امروز می‌خوانیم، توضیح اینها در عبارت ایشان می‌آید.

صورت‌‌بندی پارادوکس خرمن

 صفحه نُه را نگاه کنید:

ϕ(1)

∀n ( ϕ(n) → ϕ(n+1)

ϕ(k)

علی ایّ حال ϕ(1) استدلال ما چون استدلال استقراء ریاضی است، (1) اینجا همان زنجیره است، (1) اینجا به معنا یک دانه‌‌ی گندم نیست، مقدار رواداری نیست، (1) اینجا همان اندیس است، یعنی شیء اول که اگر در ذهنتان باشد ایشان گفتند «مقدمه‌‌ی ‌‌نخست» یا «مقدمه‌‌ی پایه». شیء اول را «مقدمه‌‌ی پایه» می‌گوییم. آن اولین فرضی که به وضوحِ صدق خودش برگزار می‌شود فرض گرفتیم. مقدمه‌‌ی دوم که ایشان گفتند مقدمه استقرائی. ϕ هم که عرض کردم فرامتغیر است. هر کدام از عبارت‌‌های زبان را می‌تواند در خودش جای بدهد، ϕ به این معناست، چون از زبان یونانی است ولی آن متغیرهایی که داخل زبان است از حرف یونانی استفاده نشده است. حالا اینها لوازم کار است که با آن مسائلی که انس نداریم، انس می‌گیریم و دوستانی هم که می‌دانند خوشا به حالشان.

پس ϕ شیء اول. مقدمه استقرائی چیست؟ این∀ علامت سور کلی است و n هم مصداق خارجی است که بنابر منطق محمولات، مدخول سور کلی را آن قضیه شخصیه‌‌ای می‌گیریم که گزاره‌‌ی اتمی است. قرار شد گزاره‌‌ی اتمی چه باشد؟ دقیقاً به ازائش یک مصداق خارجی موجود است. مدخول سور در اینجا برخلاف منطق ارسطو است که مدخول سور موضوع  مثل «کلّ انسان» بود، این تفاوت حسابی است وقتی می‌خواهید تدقیق کنید ما می‌گوییم «کلّ انسان کاتب» امّا در منطق اینها «کلّ انسان» نمی‌گویند، مدخول «کل» انسان نیست، خود انسان یکی از محمول‌‌هاست. می‌گویند به ازای هر فردی که انسان است و کاتب است، اینطور که بعداً توضیحش را عرض می‌کنم، اگر کلیه باشد شرطیه یا مشروطه می‌شود و اگر جزئیه باشد ترکیب عطفی می‌شود. سورش وجودی می‌شود و ترکیب عطفی می‌شود، تفاوت ترکیب در قضایای کلیه، سور کلی که دارد شرطیه است، همان که قبلاً هم عرض کردم و اگر در خاطرتان باشد اشکالی هم به آن طرح کردم که مبنای منطق جدید قضیه کلیه شرطیه نمی‌توانند بسازند. فرد فرضی که با y بیانش می‌کنند، فرد فرضی را که می‌خواهند کلّی بگویند، متغیر برای فرد فرضی را با y می‌گویند، متغیر برای فرد مردد را  z گذاشتند و متغیر کلی هم x، متغیرهای ثابت برای اشخاص a و b کوچک، اینها را بعداً اگر مناسبتی شد عرض می‌کنم. الان اینجا ببینید این نماد، نماد سور کلی است، مدخولش n است.

توضیح n موضوع قضیه شخصیه

 n یعنی فردی که موضوع قضیه‌‌ی شخصیه است و میزان صدق است و جدول را تشکیل می‌دهد و گزاره‌‌ی اتمی است. به ازای هر فرد -که بعد می‌گوییم «کلّ انسان»- به ازای هر فرد که اگر آن فرد انسان است کاتب است. کلیه این شرطیه می‌شود، و ترجمه‌‌اش این است، به ازای هر فردی اگر آن فرد انسان است، یعنی «کلّ انسان»  آن وقت کاتب است، این کلّی شد. امّا اگر باشد «بعض الانسان کاتب» می‌گوییم لااقل یک فردی وجود دارد که انسان است و کاتب است، که این درواقع  دو گزاره با ترکیب عطفی است، آن دیگری با ترکیب شرطی بود. اینها تفاوت‌‌هایی است که در اینجا گذاشته‌‌اند.

قبلاً هم عرض کردم وقتی می‌خواستند اینها را سر و سامان بدهند دیدند یا باید کلاً قضایای کلیه را کنار بگذارند، مجبور شدند که بین قضیه کلیه و جزئیه که روالش یکی است، اینطور تفاوت بگذارند، تازه این تفاوت هم فایده ندارد، که من در جای خودش عرض کردم و دوباره هم درباره‌‌ی آن صحبت می‌کنیم.

شاگرد: سور کلی‌‌شان، کلی‌‌ای است که محدود به یک زمینه‌‌ی سخن، جهان سخن یا اصطلاحات دیگری که به کار می‌برند.

استاد: زمینه‌‌ی سخن، فضای نام یا هر چیزی بگوییم.

شاگرد: یعنی n شما فقط منظور انباشت‌‌هاست نه قالی و بالش و چیزهای دیگر. وقتی سور عمومی گفته می‌شود، اگر واقعاً منظور عمومی باشد هر چیزی می‌تواند بیاید.

شاگرد1: ظاهراً تعداد مد نظر است، به ازای هر تعداد ….

شاگرد: تعداد نیست، اندیس در دنباله است، اندیس در آن زنجیره‌‌ی اشیاء است که خود اشیاء آن انباشت‌‌هایی که به تسامح بر یکی هم صدق می‌کند، ولی به هر صورت n محدود به همان انباشت‌‌هاست.

استاد: یعنی همانطوری که می‌دانیم، حتماً آن چیزی که بعد از n می‌آید مهم است، بعد از n با سورش را عرض می‌کنم. به ازای هر n چی؟ این را می‌خواهید بگویید؟ یعنی کلّ پرانتز باید در دامنه باشد؟

شاگرد: نه، کل n که در اینجا گفته می‌شود، این «هر» که اینجا آمده که به ازای «هر n» در واقع خود n مطلق نیست که بتواند هر چیزی جای آن قرار بگیرد. ما در فضای ریاضیات وقتی سور عمومی به کار می‌بریم، می‌شود تمام اشیاء، هر چیزی که در عالم هست، در صورتی که اینجا هر چیزی که در عالم وجود دارد نیست.

شاگرد1: هر چیز از حیث تعدادش هست. شما می‌توانید مثلاً در فرش هم پیاده کنید و خرمن فرش بشود، 5 فرش هم داشته باشید، 5+1 با 5 تفاوتی نمی‌کند.

شاگرد: اینجا این نیست. اینجا دقیقاً منظور این است که شما یک دنباله و زنجیره‌‌ی مشخصی را تعیین کرده‌‌اید و این جهان سخن شما شده است، این عالم شما شده است.

استاد: شما در شخص بحث ما دارید می‌فرمایید. فکر کردم در منطق ریاضیات می‌فرمایید. مقصود شما را می‌دانم و می‌خواستم این را توضیح دهم که ما یک عبارتی داریم [با عنوانِ] سور کلی که برای قضایایی در منطق محمولات است. متغیری که بعد از سور کلی می‌آید یک x است.

شاگرد: مراد همه چیز در عالم است.

استاد: نه، وقتی همه چیز در عالم را بخواهیم بگوییم x می‌گذاریم، می‌گوییم به ازای هر x و x متغیر عمومی است. اینجا چرا x نگذاشتند؟  این را می‌خواهید بگویید؟ این خوب است. این هم نکته‌‌ی خوبی است، اینجا می‌توانستند بگذارند به ازای هر x، امّا چرا n گذاشته‌‌اند؟ چون بحث ما بر سر استقراء ریاضی است. همین منظور شما بود؟ این درست است.

شاگرد: و جهان سخن این هم فقط محدود به همان زنجیره است.

شاگرد1: اشکال ما همین است که اصلاً جهان سخن محل بحث نیست. اعداد طبیعی محل بحث است. یعنی با چیزهایی کار داریم که فقط تعدادشان برای ما مهم است. از این زوایه n می‌گذاریم. نه اینکه موضوع سخن ما این باشد یا آن باشد، هر چیزی که از حیث تعداد به سراغش برویم، این را n می‌گذاریم.

استاد: این سؤالی است که حالا من مطرح می‌کنم.

شاگرد: هر چیزی نیست، هر چیزی که مستعدّ پارادوکس خرمن است.

استاد: من این مطلب را گفتم که این سؤال را مطرح کنم و منظور شما این است: الان که می‌گوییم به ازای هر n، این n یعنی دانه‌‌ی گندم؟ یا n یعنی خرمن گندم؟

شاگرد: یعنی خرمن…

استاد: به ازای هر n، این n یعنی ردیف آن زنجیره یا n یعنی دانه‌ی گندم؟

شاگرد1: تفاوتش را نفهمیدم. دانه‌‌های گندم، هر انباشتی از این گندم.

استاد: ببینید مشکلی که ما داریم، ایشان در صفحه‌‌ی هشت گفت که به ازای هر n دانه‌ی گندم، یعنی n را به دانه‌ی گندم زد. اینها مطالبی است که در ذهن من هست و می‌خواستم مطرح کنم و خوب شد شما فرمودید.

شاگرد: به ازای هر n، اگر n دانه‌ی گندم تشکیل خرمن ندهد.

استاد: n دانه‌ی گندم یعنی چه؟ یعنی تعداد دانه‌‌ها.

شاگرد: تعداد دانه‌‌ها که انباشت را رقم می‌زند.

استاد: بله، ولی نه آن ردیف زنجیره، ولو در ما نحن فیه برابرند.

شاگرد: در مورد قدبلند اینطور نیست. در مورد قدبلند ابتداء باید تمام افرادی را که می‌خواهید در زمینه‌‌ی جهان سخنتان در نظر بگیرید، همه را ردیف کنید و به ترتیب یک زنجیره کنید بعد به هر کدام یک اندیس بدهید، به هر کدام یک عدد ترتیبی نسبت دهید و بعد شروع کنید از پایین‌‌ترین رده، یعنی قدکوتاه‌‌ترین شخص در …

استاد: ولی رواداری در آنجا را باید یک میلیمتر در نظر بگیریم.

شاگرد1: لازم نیست افراد را ردیف کنید، شما انواع قدها را ردیف می‌کنید، مثلاً قد یک متر، قد یک متر؛ قد یک متر و یک سانتیمتر؛ قد یک متر و دو سانتیمتر و به همین ترتیب.

شاگرد: نه اینجا ما با شخص خارجی کار داریم.

استاد: ممکن است شخص خارجی ما [در این محدوده نباشد] مثلاً صد و هشتاد سانتیمتر داریم ولی صد و هشتاد سانت و یک میلیمتر در خارج نداشته باشیم.

شاگرد: یک متر و صد و هشتاد و دو باشد.

استاد: چه لزومی دارد. وقتی می‌خواهیم پارادوکس ما در قدبلند سر برسد حتماً باید باشند؟

شاگرد: فضای صوری‌‌سازی در منطق ریاضی این است.

استاد: طبایع اینهاست.

شاگرد: اصلاً کاری به طبیعت نداریم، اصلاً فضایشان این نیست، کاری به طبایع نداریم، ما می‌گوییم شخص خارجی.

استاد: شخص خارجی اشکال است، در مورد آن حرفی نیست.

شاگرد: اول باید در فضای آنها نگاه کنیم بعد ببینیم اشکالی بر آن مترتب می‌شود یا خیر، نه اینکه ما در فضای خودمان، n را خودمان تعبیری کنیم و بعد بگوییم اینطور بهتر است.

استاد: ببینید آنها فرد فرضی که با متغیر y  بیان می‌کنند دارند یا خیر؟ آنها می‌گویند ما سه نوع فرد داریم، فرد ثابت مثل آقای زید، فرد مردد مثل کسی که مثلاً کذا؛ و  فرد فرضی «هر»ـی که اصلاً به وجود نمی‌آید، امّا لو وُجد

شاگرد: شما می‌فرمایید فردهای اینجا همه فرضی است.

نامگذاری متغیرها

استاد: الان هم برای نامگذاری متغیرها … وقتی می‌گویند به ازای هر فرد فرضی y می‌گذارند، توجه کنید متغیر محمولی منظور من نیست، متغیر اسمی برای مصداق، امّا y کوچک است، اینطور که در حافظه دارم z برای متغیّر فرض مردّد است «کسی»؛ و x برای متغیّر عامّ است «هر چیزی»؛ و متغیّر ثابت از a وb وc می‌آید تا به x برسد. a  مثلاً یعنی شخص زید یا شخص سقراط. پس اگر می‌گویید «سقراط منطق‌‌دان است» باید a بگویید، اگر می‌گویید «کسی خانه‌‌ی ما آمد» باید به صورت فرد مردد یعنی z بگویید، و اگر مثلاً می‌گویید «هر مثلثی» ولو مفروض و «لو وجد» باشد یعنی وجود هم پیدا نکرده، اگر بخواهیم آنطور بگوییم y می‌شود.

امّا ایشان گفتند n دانه‌‌ی گندم، در ما نحن فیه  nها یکی است چون یک یک بالا رفتیم، ولی تفاوت می‌کند، در اینجا الان که می‌گوییم به ازاء هر n، این n یعنی آن شیء و ردیف و اندیسش؟ یا n یعنی دانه‌‌های گندم؟

شاگرد: آنجا هم دانه‌‌ها را بما أنّه اندیس می‌گفت نه بما انّه خود دانه.

استاد: نه، اندیس خیلی فرق می‌کند، زنجیره‌‌ی اشیاء با دانه خیلی تفاوت می‌کند. دانه‌ی گندم پارامتر بود، زنجیره‌‌ی آن اندیس بود.

شاگرد: n یعنی انباشت خاصّ، یعنی اگر من دوتا دوتا  جلو می‌روم به ازای هر n می‌شود دو تای اول، دو تای دوم و دو تای سوم الی آخر، اگر پنج تا پنج تا جلو می‌روم، می‌شود پنج تای اول، پنج تای دوم و پنج تای سوم.

استاد: ولی آن دوتایی که می‌روید، n چهارتا می‌شود، اندیسش دو است امّا شمارش چهار دانه‌ی گندم است.

شاگرد: عرض ما همین است، ایشان که گفت یک، از حیث انباشت‌‌ها می‌گفت، نه از حیث دانه، چون این دو با هم منطبق شد ساده کرد و گفت به ازای هر دانه‌ی گندم.

استاد: حالا n یعنی به ازای هر خرمن؟

شاگرد: به ازای هر انباشت.

استاد: به ازای هر انباشت یا به ازای هر دانه‌ی گندم؟

شاگرد: هر انباشتی که مشتمل بر یک تعداد دانه‌‌ی گندم است که الان تعدادش مساوی با n است.

استاد: بنابراین n یعنی آن زنجیره. همین هم هست و در ما نحن فیه باید زنجیره باشد.

شاگرد: ترتیب در آن زنجیره.

استاد: پس n دانه‌ی گندم که ایشان گفتند تشابه، این n با آن فرق می‌کند بالدقه.

شاگرد: در واقع به تسامح گفته‌‌اند. منظورش همین است.

استاد: بله. یعنی در ما نحن فیه دو n، شبیه به هم هستند، ولی الان که داریم صوری‌‌سازی می‌کنیم، به ازاء هر n، این n یعنی آن انباشت، یعنی آن اندیس، یعنی آن شیءای که ردیف زنجیره را بیان می‌کند. این n اگر شماره‌‌ای هم دارد، شماره‌‌اش همان شماره ردیف آن زنجیره است.

جایگاه پرانتز در فرمول

اگر اینطوری است، nهایی که در پرانتز است یعنی چه؟ به ازای هر انباشت چه چیزی داریم؟ البته مدخول سور کلّی هم کّل پرانتز است، اینها را در جای خودش متعدّد گفته‌‌اند. پرانتز حتماً باید در اینجا بیاید.

یعنی اگر پرانتز را نیاوردیم و بگوییم به ازای هر n، مثلاً ( ϕ(n) → ϕ(n+1))، این قضیه از آن بیرون می‌آید.

شاگرد: یعنی به ازای هر x،fx آنگاه gx می‌نویسند، لزوماً پرانتز نمی‌گذارند. به ازای هر n خیلی واضح‌‌تر است.

استاد: در منطق محمولات، دقیقاً وقتی می‌رسند به قضیه کلیه، می‌گویند در منطق محمولات سور کلی که اینطوری می‌آید، حتماً پرانتز می‌خواهد چون قضیه شرطیه نشود، مشروطه شود. این را مخصوصاً تأکید می‌کنند. می‌گویند اگر نگذارید اصلاً منطق محمولات قضیه‌ی کلی نشد، چیز دیگری شد.

شاگرد: یک بحث دیگری دارند که می‌گویند در این عطف و شرط و فصل و پرانتز، کدام بر دیگری مقدم است؟

استاد: آن مطلب صحیح است. آن اولویت مربوط به مباحث محاسبه و ریاضیات درست است و مربوط به جای خود است و غیر از این است که من الان عرض می‌کنم.  شاید یکی از صغراهای آن محسوب شود ولی این در اینجا نیاز است. یعنی حتماً وقتی می‌خواهیم در منطق محمولات قضیه‌ی کلیه بسازیم، حتماً باید پرانتز بگذاریم.

شاگرد: این در فضای تخصصی است، امّا در فضای آموزشی و اولیه خیلی [تأکید نمی‌کنند.]

استاد: الان شما به کتب مراجعه کنید، در منطق محمولات، در جایی که می‌خواهند قضیه‌‌ی کلی را بگویند، می‌گویند اگر نگذاری اصلاً قضیه‌ی کلیه تشکیل نمی‌شود.

شاگرد: کدام پرانتز؟

استاد: پرانتزی که بعد از سور کلی، در قضیه منطق محمولات می‌آید.

شاگرد: اینطوری که ما نگاه کردیم چیزی نمی‌گفتند.

شاگرد1: ما هم یادمان نمی‌آید این مطلب را گفته باشند، منتهی اشکال شما وارد است.

شاگرد: در یکی از کتابها که جستجو کردیم نبود. ….

استاد: مراجعه کنید. در جایی که می‌خواهند بالدقه تفاوت شرطیه و مشروطه را در اصطلاح خودشان بگویند، می‌گویند اگر مشروطه باشد، سور برسر پرانتز دربیاید می‌شود قضیه‌‌ی موجبه‌‌ی کلیه مثلاً، امّا اگر بعد از سور کلّی پرانتز نیاید، می‌شود شرطیه و اصلاً مفاد منطق محمولات به عنوان یک قضیه‌‌ی کلیه نخواهد بود. به عبارت دیگر اگر بخواهیم توضیحش را عرض کنیم، شما می‌گویید «کلّ انسان کاتب» یعنی چه؟ یعنی بُرد هر n، هم انسان باشد و هم کاتب، و الا اگر پرانتز را نگذاریم بُردش انسان می‌شود. به ازاء هر x که آن x انسان است، آنگاه کاتب است، چگونه؟ [درحالیکه] این یک قضیه برای خودش است، شما در ذهنتان به او وصلش می‌کنید چون می‌خواهید موجبه درست کنید، و الا از نظر نظام سوری وصل نمی‌شود. شما فقط می‌گویید به ازاء هر n که او انسان است، می‌دهد که کاتبی هست.

شاگرد: حالا این کاتب ربطی به این دارد یا نه ؟

استاد: و لذا اگر می‌خواهید قضیه در منطق محمولات …

شاگرد1: این اشکالی که شما گفتید وارد است امّا در آموزشی نمی‌گفتند، حالا باید در کتاب آقای موحد و نبوی جستجو کنم که ببینیم چنین چیزی می‌گذارند یا خیر. در حالت عادی و آموزش اولیه‌‌شان [مقید به این مطلب نیستند.]

استاد: جایگاهش در منطق محمولات آن جایی است که در منطق محمولات سور کلّی را توضیح می‌دهند؛ و اینکه اگر بخواهد در منطق محمولات قضیه‌ی موجبه‌‌ی کلیه داشته باشیم، الزاماً باید پرانتر را بگذاریم و الا قضیه‌ی شرطیه می‌شود. و لذا می‌گویند موجبه‌‌ی کلیه مشروطه است نه شرطیه. حالا باید مراجعه کنیم. این از آن دست مطالبی است که می‌خواستم عرض کنم زیرش خط بکشیم. خیلی از اینها مراجعه‌‌ای است.

توضیح اجزاء فرمول

حالا اگر اینطوری است سؤال دوم این است: این n که آمد -پرانتز که برای لزوم باز شد- بعد n که الان می‌خواهیم بگوییم، در ϕ(n) این n یعنی دانه‌ی‌‌های گندم؟ یا  آن اندیس انباشت؟

شاگرد: کدام n را می‌فرمایید؟

استاد: n دوم، به ازاء هر n، ϕ(n) این n یعنی دانه‌‌های گندم یا انباشت؟

شاگرد: انباشت هم باشد درست است.

استاد: ولی به اضافه‌‌ی یک داریم.

شاگرد: یک انباشت دیگر هم به آن اضافه می‌شود.

شاگرد1: انباشت بعدی در ترتیب زنجیره‌‌ای یک دانه اضافه داریم.

شاگرد: واحدتان مثلاً دوتایی شد، وقتی واحد دو تایی شد باید دوتایی اضافه کنید نمی‌توانید یکی اضافه کنید، یک اضافه یعنی دوتایی اضافه کنید.

استاد: (n+1) رواداری بود و الا اگر دو گندم بود که باید می‌گفتیم (n+2)

شاگرد: وقتی می‌گویید (n+1) اگر رواداری شما روی دو بود و شما در زنجیره‌‌ای هم که ایجاد می‌کردید، دو تا دوتا جلو می‌رفتید باز هم می‌شد (n+1).

شاگرد1: بله (n+1) می‌شود. یعنی شما باید در زنجیره بعدی دو تا اضافه کنید، (n+1) دو تا اضافه شدن است که همان زنجیره می‌شود.

استاد:  به این معنا که  وقتی می‌گوییم (n+1) این حلقه -که به آن لوپ می‌گفتند- وقتی می‌خواهد دور بزند، شماره‌‌ی حلقه غیر از آن شماره‌‌ای است که به عنوان یک پارامتر وارد آن حلقه می‌شود.

شاگرد: در واقع گام است.

استاد: تعداد گام‌‌ها یک چیز است، و تعداد آن چیزی که می‌خواهد وارد آن گام شود که چقدر ورودی‌‌اش باشد فرق می‌کند.

شاگرد: می‌توان اینطور گفت که تعدادی که در هر گام جلو می‌رود، با شمارنده‌‌ی گام تفاوت دارد. ممکن است قدمم را به اندازه‌‌ی یک ذراع بردارم یا دو ذراع، امّا در هر صورت تعداد قدم‌‌هایی که برمی‌دارم خودش یک …

استاد: بنابراین اگر ما گفتیم خرمن را با رواداری پنج دانه‌‌ی گندم جلو می‌بریم،اگر یک دانه گندم، خرمن نیست. پنج دانه هم نیست. ده تا هم نیست.  [تا آخر]

شاگرد: ازپنج شروع کنیم

استاد: اینجا وقتی می‌رسیم خرمن دهم، اینجا پنجاه دانه است، اینجا پنج نیست، بلکه خرمن پنجم است، اینجا هم که می‌گوییم به اضافه‌‌ی یک، یعنی به اضافه‌‌ی آن یک خرمن بعدی. این مربوط به توضیح این مطلب.

آخر کار هم دو تا پرانتز دارد. این دو پرانتز آخر کار حتماً نیاز بوده و مال پرانتز اولی است. پرانتز آخری مال پرانتز اولی است که عرض کردم طبق چیزی است که در کلماتشان خواندم و دیدم، و حتماً نیاز است.

آخر کار هم نتیجه می‌گیرد: ϕ(k) که k آن آخر کاری است که قطعاً کاذب است، یعنی می‌دانیم که اینطور نیست.

حالا کلماتی را می‌گویم که زیرش خط بکشیم تا اگر وقت شد توضیحش را عرض کنم.

«اعتبار این استدلال» ببینید همه‌ی اینها اصطلاحاتی است که باید در منطق بدانیم. «اعتبار» یک وصفی است که در بخش سمنتیک یک سیستم صوری معنا پیدا می‌کند نه ابتدای کارش. «استدلال» در کجا معنا پیدا می‌کند؟ استدلال فقط در همان سیستم صوری معنا پیدا می‌کند. «استدلال» یک عنصری در سیستم صوری است -که دیروز اینها را عرض کردم- که اول یک زبان نیاز داریم که زبان صوری است؛ دوم یک سیستم صوری نیاز داریم؛ سوم باردهی، معنادهی، مدلسازی در آن سیستم صوری که تعبیر است، این سه مرحله در منطق امروزی خیلی مهم است. اعتبار مربوط به آن مرحله‌‌ی سوم است، استدلال مربوط به مرحله‌‌ی سیستم است، تا سیستم نداشته باشیم استدلال نداریم، یعنی صرف زبان برای استدلال کافی نیست، باید سیستم درست کرده باشیم تا استدلال معنا پیدا کند. «اعتبار این استدلال تنها برگرفته از قاعده‌‌ی حذف سور کلی و وضع مقدم است» قاعده چیست؟ مربوط به سیستم است و ربطی به معنادهی ندارد بلکه برای گام دوم است. در زبان قاعده دارید که قاعده‌‌ی ساخت است، -اینها را دیروز عرض کردم- امّا قاعده‌‌ی استنتاج مربوط به سیستم و مربوط به نظام است «قاعده‌‌ی حذف» یکی از قواعد استنتاج است، یعنی قاعده‌‌ای است که در سیستم صوری مطرح است.

«اعتبار این استدلال تنها برگرفته از قاعده‌‌ی حذف سور کلی و وضع مقدم است» که بعداً توضیح می‌دهند. «که از قواعد اولیه منطق کلاسیک و بسیاری از منطق‌‌های جایگزین است.» این «قواعد» یعنی قواعد سیستم، منطق کلاسیک، منطق مال استدلال است، پس خود کلمه‌‌ی «منطق کلاسیک» یعنی یک نظام صوری، سیستم صوری که لازمه‌‌اش هم زبان است، ولی زبان بازتر از منطق است.

«قواعد اولیه» یعنی قواعد استنتاج. ما یک دسته قواعد اولیه و یک دسته قواعد ثانویه داریم، قواعد اصلی و فرعی، حذف سور و تعریف سور اینها قواعد اولیه هستند، و چیزهایی به عنوان قواعد ثانویه داریم که جدول‌‌ها و حرفهایش در این کتاب‌‌ها هست.

توضیح اصطلاح «فرم»

بعد می‌گویند «این فرم پارادوکس را»، زیر کلمه «فرم» خط بکشید، «فرم» هم یک اصطلاح است، فرم مربوط به زبان است، «فرم» یک عنصری مربوط به زبان صور است؛ یعنی یک سیستمِ صوری نیاز دارد به زبان صوری، در زبان حتماً به «فرم» نیاز داریم. در زبان نیازی به قاعده‌‌ی استنتاج و استدلال نداشتیم، لازم نیست که در زبان قاعده‌‌ی استنتاج داشته باشیم، امّا در زبان حتماً نیاز داریم که قاعده‌‌ی ساخت داشته باشیم، «نحو» نیاز است. از قاعده‌‌ی ساخت «فرم» تشکیل می‌شود. پس فرم یک عنصری است که در زبان مطرح است که از این «فرم» در سیستم هم استفاده می‌کنیم. از عناصر زبانی در سیستم استفاده می‌کنیم. «این فرم پارادوکس» که از یک قاعده‌‌ی ساخت در زبان پیدا شده است «فرم شرطی مرتبه‌ی اول می‌گویند.» شرطی مرتبه‌ی اول از حیث فرمش صرفاً مربوط می‌شود به نحو زبانی، که این نحو زبانی، از این زبان در سیستم استنتاج استفاده کرده‌‌ایم. «شرطی به سبب اینکه مقدمه‌‌ی استقرایی شرطی است و مرتبه‌ی اول به خاطر اینکه در زبان منطق مرتبه‌ی اول صورت‌‌بندی شده است. این گونه پارادوکس صورت‌‌های مشابهی نیز دارد که برای رعایت اختصار از بیان آنها خودداری می‌شود.» که در پایان‌‌نامه مفصلشان دو یا سه شکل دیگر هم صورت‌‌بندی کرده‌‌اند. اگر نگاه کنید حتّی از راه منطق گزاره‌‌ها جلو آمده‌‌اند. یکی فرم شرطی مرتبه‌ی اول است، یکی فرم عطفی مرتبه‌ی اول است؛ یکی هم فرم منطق گزاره‌‌ها که در منطق محمولات نیست که مرتبه‌ی اول باشد، چون مرتبه‌ی اول مربوط به منطق محمولات است.

«این‌‌گونه پارادوکس صورت‌‌های مشابهی نیز دارد که برای رعایت اختصار از بیان آنها خودداری می‌شود.» در پایان‌‌نامه‌‌شان اینها را گفته‌‌اند.

فقط قاعده‌‌ی حذف سور و وضع مقدم ماند که وقت گذشته و فردا عرض می‌کنیم. البته مراجعه کنید و اینها از قواعد معروف است. حذف سور، خود حذفش، قاعده است و سورش مضاف‌‌إلیه است. «قاعده‌‌ی حذف» حذف و تعریف خیلی در منطق نقش دارد. ثابت‌‌های منطقی چیزهایی بود که عاطف و فاصل بود، وقتی می‌خواهیم یک ثابت منطقی را به کار بیندازیم می‌گوییم تعریف آن؛ منظورم به کارانداختن است نه از کارانداختن، وقتی می‌خواهیم یکی از این ثابت‌‌های منطقی عملگرا را از کار بیندازیم، حذف می‌شود، یعنی حذف سور کلی. وضع مقدم هم خودش یکی از قواعد است، وضع و رفع مقابل هم هستند. وضع مقدم و رفع مقدم، مثلاً وضع تالی و رفع تالی، این بحث‌‌هایی است که در اینجا بود و از قواعدی است که به کار رفته و حالا چطور این قاعده در آن پیاده شده إن شاء الله زنده بودیم در جلسات بعد صحبت می‌کنیم. خودتان هم توجه کنید معلوم است.

شاگرد: در مورد پرانتز حرف شما درست است.

استاد: الان کجا دیدید؟

شاگرد: در کتاب منطق محمولات.

استاد: اینطور در ذهنم بود که روی این مطالب تأکید می‌کردند.

شاگرد: برای اینکه دامنه‌‌ مشخص شود.

استاد: برای اینکه قضیه موجبه‌‌ی کلیه حملیه شود که این‌‌همانی ….

«و الحمد لله رب العالمین و صلّی الله علی محمّد و آله الطیبین الطاهرین»  

نمایه: پارادوکس، پارادوکس خرمن، ابهام، منطق جدید، استدلال صحیح، استدلال معتبر، منطق ریاضی، زبان صوری، نظام صوری، معنادهی سیستم صوری، منطق محمولات، گزاره‌‌ی اتمی، فرد ثابت، فرد مردد، فرد فرضی، مقدمه‌‌ی پایه، مقدمه‌‌ی نخست، مقدمه‌‌ استقرائی، فرامتغیّر، متغیر، سور، سورکلی، ترکیب عطفی، شرطیه، مشروطه، زمینه‌‌ی سخن، صوری‌‌سازی، سمنتیک ، باردهی، معنادهی، مدلسازی، قاعده‌‌ی ساخت، قاعده‌‌ استنتاج، فرم، فرم شرطی مرتبه‌ی اول، حذف سور، وضع مقدم

[1] مقاله‌ی «ابهام و پارادوکس خرمن»، ص9