بسم الله الرحمن الرحیم

موضوع این جلسه : بررسی معنای توابع جزءا تعریف شده

شاگرد: کسانی که قائلند ثقه مثل بیّنه است، بین ثقه و عدل تفاوت مفهومی نمی‌گذارند؟ ثقه همان عدل است؟

استاد: در مسائل فرعی فقهی که شبهات موضوعیه است و می‌خواهیم چیزی ثابت شود، آنجا که می‌گوییم بیّنه، عدالت جزئش است، و وثوق و عدالت یکی است، با همان تعریفی که مثلاً برای نماز جماعت دارند که تارک گناه کبیره باشد و اصرار بر صغیره نداشته باشد.

بسم الله الرحمن الرحیم

بحث موردحاشیه‌‌ای و مرزمغشوش بود امّا دیروز ایشان یک کلمه‌‌ای اشاره کردند درباره‌‌ی توابع جزئاً تعریف شده که تعریف را محدودکننده‌‌ی دامنه گرفتیم. مجموع چیزهایی که من فکر کردم، مطالب چقدر لطیف و ظریف است و به اندک لفظی می‌تواند تغییر کند. لذا چند دقیقه آنچه به ذهنم آمده و در این بحث دسته‌‌بندی کردم سریع می‌گویم و اگر مطلبی در ردّ یا تأییدش در ذهن شریف شما هست بگویید.

توضیحی در مورد توابع جزئاً تعریف شده

ایشان گفتند ما مواردی داریم که مورد حاشیه‌‌ای دارد امّا مرزمغشوش قطعاً ندارد؛ مثلاً در توابع جزئاً تعریف شده که در صفحه شش، پاورقی یک آمده است. آنجا گفتند که موردحاشیه‌‌ای دارد امّا مرزمغشوش ندارد. ببینید در تابع جزء، در ما نحن فیه اینکه جزء به چه چیزی متعلق شود خیلی مهم است. وقتی با خود تابع مواجه می‌شویم هر تابع -فعلاً در این زمینه‌‌ای که بحث ما نیاز دارد- پنج چیز دارد. در خلاصةالحساب شیخ بهایی که بحث می‌کردیم -نظر شریفتان باشد- یک حاشیه‌‌ای فاضل جواد بر خلاصة‌‌الحساب داشتند که آن حاشیه دقیقاً بیانگر مفهوم تابع بود. مفهوم تابع در ریاضیات نبود، متأخر پیدا شده است، الان هم که پیدا شده به قله مباحث مورد نیاز و سنگین رفته، و هر چه جلوتر می‌روند تجرید می­کنند و فهم بالایی از تابع پیدا می‌کنند و مطالب خاصّ خودش را دارد.

پنج جزء تابع

لذا در فضای امروزی ما با هر تابعی مواجه می‌شویم پنج چیز دارد: یکی مجموعه‌‌ی ورودی‌‌ها؛ یعنی یک مجموعه‌‌ای هست که اینها را به تابع می‌دهیم. یکی هم مجموعه‌‌ی خروجی‌‌هاست، از هر تابعی مجموعه‌‌ای خارج می‌شود. مجموعه‌‌ی ورودی‌‌ها را دامنه می‌گویند و مجموعه‌‌ی خروجی‌‌ها را بُرد و رِنج تابع می‌گویند. این دو بحث. دیگر اینکه هر تابعی یک شخص ورودی دارد -نه مجموعه‌‌ی ورودی‌‌ها- یک شخص ورودی که به آن می‌دهید و شخص خروجی که از آن خارج می‌شود، و اساساً تابع بودن تابع، دقیقاً آن جایی که عملاً کاربرد خودش را نشان می‌دهد به همین دوتا یعنی زوج‌‌های مرتّب است؛ یعنی هر تابعی به ما یک زوج مرتب می‌دهد، یکی ورودی (x) و یکی خروجی (y)؛ یکی متبوع و یکی تابع، این هم مطلب مهمی است. پس تا الان چهار چیز پیدا شد؛ مجموعه‌‌ی ورودی‌‌ها، مجموعه‌‌ی خروجی‌‌ها، شخص ورودی، شخص خروجی و [آخری] هم عمل، قوام هر تابع به یک عمل است. خود آنها تابع نمی‌گویند ما در فارسی تابع می‌گوییم، آنها که می‌گویند (function) یعنی عمل، قوام هر تابعی به فرمولش و به کاری است که انجام می‌دهد که ورودی را می‌گیرد و یک کاری روی آن ورودی انجام می‌دهد و خروجی به ما می‌دهد. این کلی تابع می‌شود. این پنج تا را داریم.

احتمالات مختلف معنای تابع جزء

معنای اول تابع جزئاً تعریف شده

حالا وقتی می‌گوییم تابع جزئاً تعریف شده، کلمه‌‌ی «جزء» می‌تواند به هر یک از این پنج مورد متعلق شود. به ذهنم آمد که می‌توان سه شکل، تابع جزء داشته باشیم، یکی تابعِ جزء همان چیزی که صحبت شد که مجموعه‌‌ی خروجی‌‌ها، خودش زیر مجموعه‌‌ای از مجموعه‌‌ی ورودی‌‌هاست. ما در مورد این صحبت کردیم. جزء به معنای زیرمجموعه است. می‌گویند این جزء آن است یعنی زیرمجموعه آن است. پس این یک معنا، تابع جزء یعنی مجموعه‌‌ی خروجی‌‌ها زیرمجموعه و جزئی است از مجموعه‌‌ی ورودی‌‌ها، مثل همین چیزهایی که گفتیم. مثلاً تابع اعدادِ کوچک‌‌تر از پنج، ورودی‌‌های تابع ما همه‌ی اعداد هستند، خروجی ما یک و دو و سه و چهار است و اگر هم اعداد منفی هم داشته باشیم از صفر تا بی‌‌نهایت عدد منفی بروید. پس ورودی‌‌ها این است، مجموعه‌‌ی خروجی‌‌ها هم خودش زیرمجموعه‌‌ی از کل اعداد است، این تابع جزء.

شاگرد: ما داریم افراز می‌کنیم

استاد: دارد افراز می‌کند، تابعِ جزء؛ یعنی تابعی که یک جزئی از او، در خود دامنه  به عنوان زیرمجموعه‌‌ خروجی‌‌اش است. این را در آن روز عرض کردم. این یک تابع جزء است.

معنای دوم تابع جزئاً تعریف شده

معنای دیگر تابع جزء، [این است که] جزء به معنای بخش‌‌ و پاره‌‌ای از کل باشد، نه به معنای زیرمجموعه. در اصطلاحات رایج که به دنبالش بودم دیدم تابعِ جزء صحیح، تابعِ جزء اعشاری، تابع سقف، سه تابع به کار می‌برند و اصلاً این کلمه‌‌ی «جزء» در اینجا با آن که گفته شد تفاوت دارد. اینجا با شخص ورودی و شخص خروجی کار داریم. تابع جزء صحیح یعنی چه؟ یعنی شخص ورودی ما یک کلّ است، خروجی تابع ما جزئی و عضوی و بخشی از این کلّ است. مثلاً می‌گویید «زبانِ انسان»، زبانِ انسان یک اضافه‌‌ای است که خودش یک نحو تابع است. دامنه‌‌ی این تابع ما «انسان‌‌ها»ست، عملی که اینجا انجام می‌دهد بخش بخش می‌کند، تجزیه می‌کند انسان را …

شاگرد: می‌توانیم بگوییم شخص ورودی به عنوان یک کلّ در نظر گرفته می‌شود که این افراز می‌شود.

استاد: بله، خود شخص ورودی افراز می‌شود و خروجی تابع بخشی از اوست. این همین مطالبی است که الان عرض کردم. تابع جزء صحیح چیست؟ شما هر عددی داشته باشید، بزرگترین بخش صحیحش را خارج کنید، مثلاً در مورد 5/3 یا 4/3 می‌گویید تابع جزء صحیح 4/3 چیست؟ 3 است. یعنی بخش صحیح عدد 3 را شما افراض می‌کنید. این 3 زیرمجموعه از یک مجموعه نیست، جزء خود همین شخص ورودی است. این هم یک نوع تابع جزء. تابع جزء صحیح، تابع جزء اعشاری و تابع سقف. تابع سقف از بالا گِرد می‌کند، مثلاً می‌گویند تابع سقف 6/3 یا 4/3، 4 است. یعنی بالا می‌رود که اصطلاحاً تابع سقف می‌گویند. اینجا کلمه‌‌ی جزء و سقف و همه‌ی اینها مربوط به شخص ورودی [که] کل بود و خروجی تابع بخشی از این کل و از این شخص بود. عرض کردم مثل «زبانِ انسان»، ترکیب «زبانِ انسان» به اصطلاح امروز تابع است. «انسان» دامنه‌‌ی تابع می‌شود، «زبانِ انسان» تابع می‌شود با این ترکیب اضافی که دارد کار انجام می‌دهد و خروجی آن «زبان» می‌شود که بخشی از خود انسان است. این یک نحو تابع جزء به این معناست. البته اینها نوشته‌‌های ماست و فکرهای طلبگی است.

خدا رحمت کند یکی از بستگان وقتی بچه‌‌ها کاری انجام می‌دادند که بد می‌شد، می‌گفت «نکرده کار چندش مزد کار» کسی که کار نکرده نمی‌شود مزدی به او بدهند. مزد به کسی می‌دهد که این کار را زیاد انجام داده باشد و مهارت داشته باشد، «نکرده کار چندش مزد کار؟» هیچی. حالا نکرده کار هیچ چیزی مزد ندارد. حالا به اندازه‌‌ی مباحثه خوب است.

منظورم این بود که می‌گویم «زبانِ انسان» یک تابع است، ممکن است روی حساب فنی ایراد بگیرند و مسامحه کنند، آن درکی که من از معنای تجرید تابع دارم «زبانِ انسان» یک تابع است. امّا اینکه درست است یا نیست در جای خودش [باید بحث شود.] اندازه‌‌ی نکرده‌‌ی کار خودم مثال زدم. این هم دوم.

معنای سوم تابع جزئاً تعریف شده

سوم از توابع جزئاً تعریف شده یک نوع دیگر است. می‌آییم از مجموعه‌‌ی ورودی‌‌های تابع، یک زیرمجموعه درست می‌کنیم، تفاوتش با اولی خیلی واضح است. هر تابعی یک مجموعه‌‌ی ورودی‌‌ها دارد، مجموعه‌‌ی ورودی‌‌ها یک تعریف به آن ارائه کرده و جزئش می‌کنیم -جزء به معنای زیرمجموعه- یعنی ما یک تعریفی ارائه می‌دهیم که دامنه‌‌ی تابع ما، مجموعه‌‌ی ورودی‌‌های تابع ما فقط بخشی از آن ورودی باشد، همه‌ی دامنه مجاز نیست وارد شود و شخص ورودی باشد.

شاگرد: البته این یک اصطلاح از دامنه است. اصطلاحی که قبلاً برای دامنه به کار می‌رفت در یک فضایی دقیقاً به همان محدوده‌‌ای که جزئش … بود دامنه می‌گفتیم، حالا اینجا نگاه عام‌‌تری می‌کند و می‌گوید مثلاً کل اعداد حقیقی می‌تواند دامنه‌‌ی این باشد، می‌توانست به صورت کلی یک سری از توابع را در نظر بگیرند و بگویند دامنه‌‌ی این توابع، مجموعه‌‌ی اعداد حقیقی است. حالا می‌گویند بعضی از اینها روی بخشی از این قابل تعریف است.

استاد: یعنی روی حسابی که تا حالا می‌گفتیم دامنه‌‌ی یک تابع، هر (x)  …

شاگرد: می‌توانست درون آن به عنوان یک ورودی داده شود.

استاد: و به عنوان ورودی داده می‌شد. یعنی وقتی می‌گفتیم دامنه‌‌ی تابع ما مجموعه‌‌ی (x)هاست، هر (x) یک تابع داشت، و نمی‌شد بگوییم یکی از آنها نه، اصلاً معنای تابع این بود، و لذا زوج‌‌های مرتب بود. امّا از این طرف فعلاً می‌گوییم دامنه به معنای وسیع‌‌تر، یعنی یک محدوده‌‌ای را در نظر می‌گیریم، شخص ورودی‌‌هایی که تابع ما می‌تواند آنها را به عنوان ورودی بپذیرد، زیر­مجموعه‌‌ای از آن مجموعه است. این یک شکل دیگری است که شما دیروز فرمودید، اگر اینطور معنا کنیم به فرمایش ایشان باید دامنه را به معنای وسیع‌‌تری بگیریم و معلوم هم هست. این را من از کجا عرض می‌کنم؟

شاگرد: این فرمایش آخر شما را نفهمیدم [تفاوت اولی و سومی چیست؟]

استاد: در اولی مجموعه‌‌ی خروجی‌‌ها زیرمجموعه‌‌ای بود از ورودی‌‌ها. سومی از خود مجموعه‌‌ی ورودی‌‌ها یک زیرمجموعه می‌گیریم که تازه ورودی می‌شود.

شاگرد: یک مثال می‌زنید؟

استاد: بله، همین مثالی که ایشان زده‌‌اند. وقتی بچه‌‌ستاره گفتیم، فکر من مشغول شد و رفتم آن کتاب اصلی مفصل ایشان صفحه صد و سی و هفت را مطالعه کردم. آنجا دیدم که ویژگی «عدد خوبِ منفیِ یک» یا «بچّه‌‌ستاره» و امثال اینها،[این بود که] ما دامنه­ی آن  را «بچّه» می‌گرفتیم، این همین مطلبی بود که من در عبارت ایشان دقت نکرده بودم، ایشان دامنه را «انسان» می‌گیرد، و به همین یک ذره تفاوت می‌کند. دامنه یعنی مجموعه‌‌ی ورودی‌‌ها «انسان» می‌شود، در دامنه‌‌ی «کلِ انسان» حالا می‌خواهد بگوییم هر انسان اجازه ورود به این تابع را ندارد، ولو به این معنا دامنه است، امّا هر انسان اجازه ورود به تابع را ندارد، نه خروج.

شاگرد: در بقیه‌‌ی دامنه تابع تعریف ناشده است.

استاد: ابتداء که ما وارد تعریف می‌شویم اصلاً خود دامنه یعنی تعریف، ولی تعریف جدید نیاز ندارد.

شاگرد: تذکر داده‌‌اند، در ویکی پدیا جایی که فانکشن را توضیح می‌دهد، می‌گوید از تعبیر دامنه، دو نحو معنا در استفاده کنونی ریاضی متداول است و ایشان می‌گوید کَتِگوری تئوریست‌‌ها، یعنی تئوریسین‌‌های مربوط به بحث انواع و تنویع‌‌ و امثال اینها، اصطلاحشان فرق می‌کند و به این هم دامنه می‌گویند، چون آنها می‌خواهند بحث افراز و تقسیم‌‌بندی را مطرح کنند. می‌توان گفت ابتداءً یک شکل دامنه‌‌ی بالقوه مانند یا فرضی در نظر می‌گیرند که حالا بعد هر تابعی می‌خواهد روی هر کدام از بخش‌‌های این بیاید و یک کاری را انجام دهد.

استاد: مثل ساختار درختی که از درخت شروع می‌کنیم ولی فعلاً نمی‌خواهیم کل ریشه‌‌ی درخت به عنوان دامنه باشد، به عنوان شأنیت دامنه هست تا بعداً معیّن کنیم.  روی این حساب خود دامنه‌‌ی ما نقش تعریف ایفاء نمی‌کند، تقریباً نقشی مثل فضای نام دارد که بعداً ایشان تعبیر به «وابستگی به زمینه سخن» می­کنند. تقریباً نقش آن را دارد.

شاگرد: جمله شما ناقص ماند، فرمودید در این دامنه هر انسانی اجازه‌‌ی ورود ندارد …..

مثال برای تابع جزئاً تعریف شده

استاد: «انسان» دامنه است، امّا برای اینکه وارد تابع شود نه، ما به هر فردی از انسان اجازه ورود نمی‌دهیم مگر تعریف ما شامل او شود. در این فضا می‌توانیم تعریف مرکب از نفی و اثبات داشته باشیم. چون ایشان مثال بچه و نشانه یا عدد طبیعی را آورده بود، [و این مثال­ها] سبب اشتباه می‌شد و رشته‌‌ی ما هم نبود و سریع ذهن به سراغ جزء می‌رفت، من مثال را عوض کردم. یعنی اگر ایشان از اول اینطور که من مثال را عوض کردم، مثال می‌زدند کاملاً روشن می‌شد. چون می‌دانید، خروجی‌‌های تابع گاهی خودش می‌تواند زیرمجموعه یا همراه با ورودی‌‌ها باشد امّا در تابع این لازم نیست، می‌تواند خروجی‌‌های تابع کاملاً از ورودی‌‌ها مباین باشد، من در مجموعه‌‌ی مباین مثال می‌زنم، روشن‌‌تر حالا عرض می‌کنم.

ما می‌گوییم مجموعه‌‌ی «انسان» دامنه است، امّا نمی‌‌خواهیم هر انسانی وارد این تابع شود، انسانی که می‌تواند وارد شود، کوچکتر از چهار سال می‌تواند وارد شود و بالاتر از هفت سال نمی‌تواند وارد شود.

شاگرد: می‌تواند یا نمی‌تواند؟

استاد: نمی‌تواند وارد شود. نکته همین است که می‌خواهم نفی و اثبات بگویم.

شاگرد: تصورم این شد که ایشان می‌خواهد به شکلی بُرد را صفر و یک بگذارد، مثلاً زیر چهار سال یک می‌شود، نتیجه تابع هر زیرچهار سالی که وارد شد نتیجه یک می‌شود، بالای هفت سال نتیجه‌‌اش صفر می‌شود.

استاد: یعنی خروجی باشد اما نیست؟

شاگرد: یعنی خروجی نیست.

استاد: صفر به معنای نیست، نه به معنای عضوی از [دامنه]

شاگرد: عضوی از دامنه می‌شود، وارد هم می‌شود امّا خروجی ما صفر است، یعنی با این به عنوان تابع صفر و یک برخورد می‌کنیم.

استاد: یعنی غلط، اگر بخواهیم بگوییم صفر یعنی غلط.

شاگرد: بله.

استاد: نه صفر به معنای عدد صفر که معلوم است.

شاگرد: یا می‌توانیم جای آنها درست و غلط بگذاریم. هر زیر چهار سالی که وارد شد می‌شود درست، و دیگری غلط.

استاد: الان در این فضا، ایشان گفتند بچه‌‌ستاره، بچه‌‌ستاره چه کسی است؟ انسان است که می‌تواند زیر چهار سال باشد که هست، و نمی‌تواند بالای هفت سال باشد.

شاگرد: ….. یا ورودی آن است؟

استاد: ورودی‌‌اش انسان است، امّا انسانی که یا زیر چهار سال است یا بالای هفت سال نیست. بالای هفت سال نباید باشد، نکته این است.

شاگرد: مطمئن هستید؟

استاد: بله، در کتاب هم هست.

شاگرد: مشکل پیدا می‌کند.

استاد: نه مشکلی پیدا نمی‌شود.

شاگرد: تابع جزئاً تعریف شده اگر بخواهیم بگوییم تعریف ناشده که همه یک کاسه می‌شود.

شاگرد1: اجازه بدهید استاد یکبار توضیح بدهد.

استاد: من با مثال خروجی می‌گویم و با بچه‌‌ستاره نیاز نیست. با این مثالی که خروجی‌‌ها مجموعه‌‌ی مباین باشد با مجموعه‌‌ی ورودی‌‌ها روشن‌‌تر مقصود ایشان را می‌گوید. ما می‌گوییم افرادی به عنوان انسان هستند، مثلاً به ازاء بچه‌‌هایی که زیر چهارسال هستند و بالای هفت سال نیستند یک صندلی به نام خودش در سالن تهیه شده، ببینید صندلی شد مجموعه‌‌ی خروجی‌‌ها و مجموعه‌‌ی ورودی‌‌ها انسان شد. الان این را در نظر بگیرید، بچه‌‌هایی که زیر چهار سال هستند و آن بچه‌‌هایی که بالای هفت سال نیستند، به ازاء هر کدام یک صندلی هست.

شاگرد: بچه یا انسان؟

استاد: بله، مثل خود ایشان می‌گوییم انسان، انسان‌‌هایی که اینطوری هستند که می‌توانند زیرچهار سال باشند و نمی‌توانند بالای هفت سال باشند، برای این انسان‌‌ها یک صندلی در سالن هست.

شاگرد: دومی قید لغو نمی‌شود؟

استاد: نه، انسان‌‌های بالای هفت سال نمی‌توانند صندلی داشته باشند. زیر چهار سال می‌توانند داشته باشند. بین این دو فرد واسطه است، در مورد آنها ساکت هستیم.

شاگرد: پس عطفی که کردید، عطف شرط نبود.

استاد: بله، تعریفی با دو قید است.

شاگرد: اینطور است که زیر چهار سال صندلی دارند و بالای هفت سال صندلی ندارند.

استاد: در سالن به عده‌‌ای از انسان‌‌ها صندلی داده‌‌اند، می‌خواهیم ضابط ارائه دهیم که چه کسانی هستند که می‌توانند صندلی داشته باشند. زیر چهار سال می‌توانند صندلی داشته باشند، بالای هفت سال نمی‌توانند صندلی داشته باشند، پنج ساله‌‌ها چطور؟ ساکت هستیم. در مورد این می‌گوییم ما از ورودی‌‌ها زیرمجموعه ساختیم. صندلی که مثال زدم به خاطر این است که ذهن با وصف خود انسان‌‌ها مخلوط نمی‌کند که خروجی و ورودی یکی باشد، چون صندلی تابع است، مجموعه‌‌ی صندلی‌‌ها هم با مجموعه‌‌ی انسان‌‌ها مباین است که ورودی تابع است. روی این حساب این را تابع جزئاً تعریف شده می‌گوییم. تابع جزئاً تعریف شده با این مبنا مفهومش روشن است. می‌گوییم صندلی‌‌هایی داریم، می‌تواند زیرچهار سال صندلی داشته باشد، و نمی‌تواند بالای هفت سال صندلی داشته باشد. این تابعی است که جزئاً تعریف شده است. یعنی ورودی‌‌های ما زیرمجموعه‌‌ای است از کلّ انسان‌‌ها، آنهایی که زیرچهار سال‌‌اند و بالای هفت سال نیستند که خود این قید عدمی و وجودی است و یک بخشی هم فرد حاشیه‌‌ای هستند که تابع نسبت به آنها تعریف نشده است که آیا [صندلی] دارند یا ندارند. من دیدم رمز اینکه در آنجا ذهن من در تابعِ جزء رفت به سراغ جزء و سه صورت بود به خاطر این بود که ما می‌گوییم زیر چهار سال می‌تواند باشد، بالای هفت سال نمی‌تواند باشد، این می‌شود بچه‌‌ستاره، «بچه»‌‌ خودش انسان است، این بود که ذهن جزء را با این مخلوط می‌کند، لذا بهترین مثال و برای اینکه مثال آنها فهمیده شود [این است که] شما خروجی تابع را صندلی فرض بگیرید که به ازاء هر انسانی که می‌تواند زیر چهار سال باشد ولی نمی‌تواند بالای هفت سال باشد، یک صندلی به ازائش در سالن می‌گذارید، اینطور تابعی جزئاً تعریف شده است یعنی فرد حاشیه‌‌ای دارد. یعنی قطعاً می‌دانیم بالای هفت سال‌‌‌‌ها صندلی ندارد، قطعاً می‌دانیم زیرچهار سال‌‌ها صندلی دارند، امّا پنج ساله‌‌ها را نمی‌دانیم صندلی دارند یا ندارند، نسبت به پنج ساله‌‌ها تابع هیچ حرفی ندارد و ساکت است. این حاصل چیزی که به ذهن من بوده با دسته‌‌بندی این حرفها. ولی اصل مثال را تازه نگاه کردم که عرض کردم در صفحه‌‌ی صد و سی و هفت است.

شاگرد: می‌گوییم برای زیر چهار سال صندلی بگذاریم، خود همین بالاتر از خودش را نفی نمی‌کند؟

استاد: نه. من مثال مباین بزنم تا روشن‌‌تر شود. می‌گویم در سالن صندلی‌‌هایی گذاشتند برای انسان‌‌هایی که زیر چهارسال هستند یا شاعر هستند. شما می‌بینید ما وقتی می‌گوییم زیر چهار سال، بالای چهار سال را نفی نکردیم، می‌توانیم اضافه کنیم و این به دست ماست، چون مجموعه‌‌ی ورودی‌‌هاست، چه کسانی صندلی دارند؟ کسانی که زیر چهارسال‌‌اند یا شاعرند یا فلان‌‌اند. شما با تعریف کاری کردید که مجموعه‌‌ی ورودی‌‌ها زیر چهارسال‌‌ها باشند. حالا می‌گویید چه کسانی می‌توانند صندلی داشته باشند؟ کسانی که زیر چهارسال‌‌اند یا شاعر نیستند. زیر چهارساله‌‌ها صندلی دارند چه شاعر باشند یا نباشند، «یا شاعر نیستند» یعنی کسانی که شاعر نیستند می‌توانند [صندلی داشته باشند]، پس اگر شاعر بود صندلی ندارد ولو زیر چهارسال باشد.

شاگرد: اگر زیر چهار سال باشد که مشکلی ندارد. اگر شاعر بود و بالای چهار سال بود آن وقت [مصداق اینجا می‌شود.]

شاگرد1: این مثال برای بحث دیروز ماست که گفتیم مرزمغشوش هر دو با هم پیاده می‌شود. الان کسی که شاعر است و زیرچهارسال دارد، این دو با هم آمده‌‌اند و مغشوش می‌شود، الان باید بگوییم صندلی دارد یا ندارد؟

استاد: آنها مثال را در سن زده بودند، من به شاعر و اینها بردم.

شاگرد1: در همین مثالی که شما الان زدید، ما می‌گفتیم مورد حاشیه‌‌ای ندارد امّا مرز مغشوش است.

مرزمغشوش در مصادیق

استاد: نه اساساً من  در همین توابع جزئاً تعریف شده [داشتم مثال می­زدم]. شما می‌گویید زیر چهارسال بله، بالای هفت‌سال نبایست باشد. حالا باید ببینیم خود چهارساله‌‌ها مرز مغشوش دارد یا ندارد. چهارسال چگونه تعیین می‌کنید؟ ساعت دوازده یا لحظه‌‌ تولد شخص؟ اینجا هم خیلی افراد هستند. شما می‌گویید اول سال باید بچه هفت ساله باشد که در مدرسه نام‌‌نویسی شود. شما فقط شناسنامه را می‌بینید، امّا وقتی بخواهید واقع‌‌گرا باشید و سن واقعی را بگویید [به مشکل برمی‌خورید] در فقه می‌گوییم در دوقلوها، آن نوزادی که اول به دنیا آمده بزرگتر است، پسر بزرگ اوست چون اول به دنیا آمده است ولی در مدرسه دوقلویی که با هم به دنیا آمده‌‌اند فرق نمی‌گذارند، در اینجا ساعت تعیین می‌کنید؟ این خودش یک جور مرز مغشوش است. یعنی واقعاً ابهام دارد که زیر چهارسال چقدر است؟ چه میزانی برای زیرچهار قرار می‌دهید؟ ساعت دوازده شب یا لحظه‌‌ی تولّد یا لحظه‌‌ای که سرش از شکم مادر بیرون آمده یا کلّ بدنش از بدن بیرون آمده است؟ همه‌ی اینها با هم تفاوت می‌کند و انسان‌‌هایی هم در این فاصله هستند، یعنی در فاصله‌‌ای که سر این بچه پیدا شده، در همان لحظه بعضی بچه‌‌ها پاهایشان از شکم مادر بیرون آمده است، پای ده بچه از شکم مادر بیرون آمده [و در همان لحظه سر این بچه بیرون آمده است.] من داشتم فکر می‌کردم که در همین هم مرزمغشوش دارد، نمی‌توان گفت مرزمغشوش ندارد. درست عرض می‌کنم؟

شاگرد: ایشان از این جهت نمی‌گوید، ایشان موردی می‌گوید که موردحاشیه‌ای است و مرزمغشوش نیست، همین برای بحثشان کافی بود.

شاگرد1: نه ایشان می‌گوید مرزمغشوش نیست، حاج‌آقا مرزمغشوش درست می‌کنند.

استاد: من الان برای این [مرزمغشوش] درست کردم.

شاگرد: در آن موردحاشیه‌‌ای مرز مغشوش نیست. مثلاً در مورد پنج ساله می‌دانیم که حاشیه‌‌ای هست و می‌دانیم که مرزمغشوش نیست.

استاد: مگر شما نگفتید بالای چهارسال حاشیه‌‌ای است؟ بالای چهار سال به چه میزانی؟ وقتی مرز خود چهار مغشوش است، زیرچهارسال و بالای چهارسال هم مغشوش می‌شود.

شاگرد: عرض من این است که دو مفهوم مورد حاشیه‌‌ای و مرزمغشوش با این مثال از هم جدا شد.

استاد: نه، بحثشان مفهومی نبود. بحثشان مصداقی بود و من تأکید کردم. معادلی که در اینجا به کار می‌برند تساوی مصداقی و عام و خاص مطلق و من وجه است نه مفهومی. در مورد مفهوم اشکالی بود که ما داشتیم که چه بسا این دو فرد حاشیه‌‌ای با مرزمغشوش مفهوماً با هم معادل‌‌اند.

شاگرد: بحث در اینجا بود که مفاهیم اینها معادل نیستند نه مصادیقشان. وقتی صحبت از ویژگی‌‌هاست بحث مفهومی است و مشکل ما در بحث مفهومی بود، می‌گفتیم می‌توانیم به لحاظ مفهومی حالتی تصور کنیم که مرزمغشوش باشد و حاشیه‌‌ای نباشد؟ ما در مفهوم مرتّب اشکال داشتیم که می‌گفتیم یک جایی می‌گوید نمی‌تواند و یک جایی همین نمی‌تواند را آورده است.

استاد: یعنی دو چیز نمی‌تواند از نظر مفهومی دو تا باشد امّا مساوی باشد؟

شاگرد: می‌شود امّا اشکال ما در این بود که مفهوماً اینها تغایر دارد یا نه؟ برداشت من از اشکال این بود. اشکال از اینجا شروع شد بعد در مصادیق جستجو کردیم که نشان دهیم. حالا با این مصداقی که شما نشان دادید، می‌خواهیم بگوییم اگر اینها سه ویژگی ابهام است باید درموارد ابهام، هر سه حضور داشته باشد. به نظرم اتفاقاً حرف شما مؤید این فضاست، ما اگر می‌گوییم ویژگی‌‌های ابهام هم رواداری است و هم مرزمغشوش و هم موردحاشیه‌‌ای، این مثال شما خوب حلّ می‌کند. در این مثال ما هم موردحاشیه‌‌ای داریم که مرزمغشوش نیست، هم مرزمغشوش داریم که لزوماً موردحاشیه‌‌ای نیست و هم رواداری داریم، برای همین است که سه ویژگی پیاده شد.

استاد: آنطور که تلقّی ما از مقصود ایشان بود، این سه ویژگی اصلی مفهوماً سه چیز هستند.

شاگرد: امّا اشکال آن داور که به ذهن ما هم خطور کرد این است که دومی و سومی مفهوماً فرق نکرد. هر چه برای دومی گفته شامل سومی هم می‌شود. که بعد ایشان خواستند یک مثالی پیدا کنند که در فضای مفهومی [اختلاف را] نشان بدهد که البته با مصداق نشان می‌دهد. برداشت من اینطور است.

استاد: اگر با مصداق نشان دهد که دو مفهوم بودنش قطعی است.

شاگرد: بله، کار را قطعی می‌کرد.

استاد: ولی لازمه‌‌اش این نیست که وقتی دو مفهوم هستند در مصداق هم جدا باشند.

شاگرد: بله، این مطلب را می‌دانیم ولی اشکالی که در ذهن ما از توضیحات ایشان خطور کرده بود، این بود که شما به لحاظ مفهومی هم نتوانستید این دو را از هم جدا کنید.

استاد: نزد ایشان جدا بود. ایشان که صحبت می‌کند، نزد ایشان و روی مبنایی که می‌ریزد این است که مرز مغشوش علی ایّ حال ایده‌‌ و خصوصیت و ویژگی‌‌ای است که جدای از ویژگی موردحاشیه‌‌ای است. دو تعریف دارد.

شاگرد: تعریفش چه بود که دو تا بود؟

استاد: یکی را با استعاره توضیح دادند که گفتند بدون این نمی‌توانم، یکی را با تعریف توضیح دادند که گفتند نه آن است و نه آن است.

شاگرد1: معادل بودن را مطرح می‌کنند، می‌گوید آیا موردحاشیه‌‌ای با مرزمغشوش معادل است یا نیست؟

استاد: معادل از نظر مصداقی.

شاگرد: ایشان می‌گوید ویژگی‌‌ها نه مصداق‌‌ها.

استاد: ایشان که می‌گوید ویژگی‌‌ها معادل هستند به دلیل این است که یک ویژگی است نه سه ویژگی اصلی. اصلاً معنا ندارد که گفته شود مفهوماً یکی هستند، یعنی شما بگویید سه ویژگی دارد که البته دو مورد از آنها یکی هستند!

شاگرد: اشکال این داور این بود. ما باید پاسخ این داور را بدهیم.

استاد: نه، مصداق را می‌گوید. می‌گوید شما سه ویژگی می‌گویید، مفهوماً سه تا هستند،بدانید که دو مورد از نظر مصداقی عام و خاص مطلق هستند، هر چیزی مرزمغشوش دارد، مورد حاشیه‌‌ای دارد، ولی لازم نیست هر چیزی موردحاشیه‌‌ای دارد مرزمغشوش داشته باشد. ایشان عام و خاص مطلق درست کردند، کاری با مفهوم نداشت، سه ویژگی را مطرح کرد.

شاگرد: ایشان سه ویژگی در نظر داشته امّا داور اشکال گرفته است.

استاد: اشکال نگرفته، گفته معادل نیستند، تذکر داده نه اینکه اشکال بگیرد. تذکر داده که این دو ویژگی از نظر مصداق عام و خاص مطلق هستند. اینطور نیست که هر چه موردحاشیه‌‌ای دارد، مرزمغشوش داشته باشد و هر چه مرزمغشوش دارد، موردحاشیه‌‌ای داشته باشد، سه ویژگی‌‌اند که یکی اخص مطلق از دیگری است، ولی در ما نحن فیه، ابهام باید هر سه مورد را داشته باشد. عبارت تذکر چه بود؟ «ویژگی‌‌های مرزمغشوش و مواردحاشیه‌‌ای معادل نیستند» یعنی معادل مصداقی نیستند و الا اگر معادل مفهومی بود که از اول [باید می‌گفتند.]

شاگرد: نمی‌گوید ویژگی‌‌ها معادل نیستند، وقتی می‌گویند ویژگی‌‌ها یعنی مفهوم، برداشت من این بود که داور گفته مفهوم سوم شما با مفهوم دو هیچ فرقی نکرد، این دو ویژگی، یک ویژگی هستند، ایشان می‌گوید این دو ویژگی واقعاً دو ویژگی هستند، بعد می‌خواهد اثبات کند که دو ویژگی‌‌اند با مثال اثبات می‌کند که خیلی خیالش راحت شود. برداشت من از مطلب این بود البته شاید اشتباه برداشت کردم. توانستم منظورم را برسانم؟

استاد: بله، پس اینطور که شما می‌فرمایید، آن داور اشکال را تأیید کرده است، ایشان که سه ویژگی گفته است، داور هم برای اثبات حرف او که واقعاً یک و دو، دو ویژگی هستند این حرف را زده است.

شاگرد: این حرف داور و  پاسخ ایشان است.

استاد: پاسخ نیست، حرف داور است.

شاگرد: ایشان می‌گوید از «داور تشکر می‌کنم» چون تذکر دادند موجب شد که من پاسخ‌‌شان را بدهم. لااقل در این موارد اینطور استعمال می‌شود. یک شخصی اشکال می‌گیرد و می‌گوید این حرف شما اشکال دارد، ایشان یک جمله می‌نویسد و می‌گوید این که می‌بینید من این را نوشتم به خاطر تذکر داور است. برداشت من اینطور بود.

استاد: اصلاً این احتمال به ذهنم نیامد. من این عبارت را خواندم [این به ذهنم آمد] که داور تذکر دادند که این دو ویژگی معادل مصداقی نیستند، یعنی عام و خاص مطلق‌‌اند.

شاگرد: من اینطور برداشت نکردم.

استاد: تذکر نیست اشکال است. یعنی شما می‌گویید داور گفته این دو ویژگی دو تا نیستند.

شاگرد: بله، غالباً در اینطور موارد اینگونه است، داور اشکال می‌گیرد که ویژگی سه شما با ویژگی دو فرق نکرد، بعد ایشان یک پاسخی می‌نویسد و در پاسخ می‌گوید آقای داور این پاسخ شما و از شما ممنونم که تذکر دادید که حرف من در متن وارد نبود. متن را اینطور فهمیدم. قبلی هم همین است، می‌گوید «ممکن است کسی بگوید … امّا پاسخش این است.» اینجا ممکن است را نگفته است.

استاد: خوب است که نویسنده حضور دارند و می‌توان پرسید. اگر فرمایش شما باشد که بیشتر تجربه دارید که حرفی نیست، ولی این اصلاً به ذهن من نیامده بود.

شاگرد1: ظهور اولیه فرمایش ایشان بود.

استاد: می‌دانید چرا؟ به خاطر اینکه وقتی می‌گوییم سه ویژگی، این «سه» از نظر فضای منطق و مطالبی که در جاهای دیگر جا گرفته، اینها را سه مورد می‌دانند.

شاگرد: مؤلف سه مورد می‌داند نه داور، داور خواننده است و متن را می‌خواند و می‌گوید تو گفتی سه تا در حالی که دوتاست، سومی شما با دومی فرق نمی‌کند.

شاگرد1: ایشان در همین مقاله هم می‌گوید که بعضی گفته‌‌اند همه‌ی این ویژگی‌‌ها را در همین موردحاشیه‌‌ای می‌توان خلاصه کرد، یعنی فقط یک ویژگی را مطرح می‌کنند.

استاد: مطرح کنند یا بگویند این سه تا واقعاً یکی است؟

شاگرد1: «نظریه‌‌های غالب که سعی دارند همه‌ی ابهام را در داشتن موارد حاشیه‌‌ای خلاصه کنند.»

استاد: بله، آن حرف دیگری است، ایشان می‌گوید نظریه‌‌های غالب، محور ابهام را به موردحاشیه‌‌ای می‌دهند، نه اینکه بگویند این دو ویژگی یکی هستند.

شاگرد: نکته‌‌ی دیگر اینکه برداشت من این است که با توجه بحث‌‌هایی که ما در منطق می‌کنیم، در این فضای ماست که این دقت خیلی جدی است که ما اول توجه می‌کنیم به تغایر مفهومی و بعد تغایر مصداقی، امّا اینها دغدغه‌‌شان کاربردی است و ویژگی‌‌هایی را می‌گوید که بتواند موارد ابهام را شناسایی کند، به دلیل همین، همین که نتواند مصداقی را نتواند جدا کند، تغایر مفهومی صرف برای او فایده‌‌ای ندارد، برای همین در ذهن نویسنده و داور لزوماً این بحثی که ما می‌کنیم جایی ندارد. البته می‌توان از آنها سؤال کرد. یعنی او می‌گوید اگر من نتوانم به لحاظ مصداقی یک ویژگی جدید مطرح کنم، گفتن ویژگی و نگفتن آن فایده‌‌ای ندارد، من می‌خواهم ویژگی‌‌ای بدهم که کارم راه بیفتد، و کار راه افتادن من در گرو این است که مصادیق آن تفاوت کند، اگر این ویژگی دوم من تمام مصادیق ویژگی اول من را داشته باشد فایده ندارد. این بحثی که الان بین ما درگرفت -فکر می‌کنم- اگر از آنها بپرسید می‌گویند برای ما فرقی نمی‌کند، مهم این بود که ما بتوانیم از نظر مصداقی اینها را از هم جدا کنیم، منتهی برای بحث ما مفید بود از این جهت که فهمیدیم که ما می‌توانیم حالتی تصویر کنیم که همان حالتی که ظاهرش این بود فقط مصادیقش حاشیه‌‌ای است، همان حالت هم از جهت دیگری مرزمغشوش دارد، به دلیل همین مفهوم مرزمغشوش واقعاً غیر از مواردحاشیه‌‌ای است.

استاد: مثل اجتماع شاعر و زیرفلان سن. البته ایشان در پایان کتاب مفصلشان هم فصل‌‌هایی دارند که همه‌ی اینها را از همدیگر جدا کنند، نسبتاً مفصل بحث کرده‌‌اند ولی من حوصله نداشتم که همه را نگاه کنم. ولی اصل اینکه این نکته را تذکر داده‌‌اند، اصلاً فرمایش شما به ذهنم نیامده بود. هنوز هم برای من صاف نیست و به ذهن من مرجوح می‌آید، حالا باید از نویسنده سؤال شود که برای ما واضح شود که این استاد در مفهوم این دو [اشکال داشته یا در مصداق؟] من وقتی خواندم گفتم خود این داور توابع جزئاً تعریف شده را مثال زده است، نه اینکه آن داور فقط اشکال کرده، توابع جزئاً تعریف شده را صاحب مقاله در جواب او گفته است.

شاگرد: در رساله اصلی بحث توابع جزئاً تعریف شده دارد یا ندارد؟ اگر داشته باشد معلوم می‌شود که نوشته مؤلف است.

شاگرد1: به مثال آورده است.

شاگرد: اگر به مثال آورده باشد معلوم می‌شود علی القاعده نوشته مؤلف است.

استاد: ولی تذکر مربوط به اینجا نیست که استاد چنین تذکری داده است.

شاگرد: نه، در رساله انجام داده و حل کرده‌‌اند، برای همین در پاسخگویی از همین مطلبی که حل کرده استفاده می‌کند. عرض من این است که اینها رساله می‌نویسند و بعد از آن مقاله درمی‌آورند. اگر در رساله توابع جزئاً تعریف شده استفاده کرده …

استاد: اینکه به تذکر نیاز نداشته، باید بگوید ما مفصل در آنجا گفته‌‌ایم.

شاگرد: بله، ایشان هم می‌گوید «بحث دقیق‌‌تر در این باره از حیطه‌‌ی این نوشتار خارج است.» یعنی من در رساله‌‌ام این را گفته‌‌ام، یعنی بدانید من بحث را می‌دانم و یک جای دیگر هم گفته‌‌ام ولی در اینجا نمی‌توانم بیشتر از این توضیح بدهم.

استاد: بله، ولی آیا اشکال او را جواب دادیم یا ایشان نکته را تذکر داده است؟

شاگرد: البته می‌توان از خود ایشان سؤال کرد.

شاگرد1: ایشان در پاورقی قبلی می‌گوید: «از داور ناشناسی که سبب شد این نکته را به صراحت بازگو کنم تشکر می‌کنم.»[1]

شاگرد: اینها تفنن در عبارت است. می‌توان از خود نویسنده سؤال کرد.

شاگرد2: خیلی اوقات این دقت‌‌ها را ندارند ولی ظاهرش همین است که شما می‌فرمایید. اختلاف در تعبیر وجود دارد و ظاهرش این است که یکی تذکر است و دیگری اشکال است.

استاد: اصلاً به ذهن من اینطور آمد که آن داور توابع جزئاً تعریف شده را گفته و ایشان پایان‌‌نامه را با آن تکمیل کرده‌‌اند. در فایل پایان‌‌نامه نگاه کنید، تاریخ نشر این مقاله جلوتر است یا تاریخ پایان‌‌نامه؟

شاگرد: تاریخ‌‌های اینها ملاک نیست. غالباً رساله‌‌ را می‌نویسند، رساله که به سامان رسید بعد مقاله از آن درمی‌آورند.

استاد: مقاله خلاصه‌‌ای از آن است، ظاهرش هم همینطور است.

اصل اینکه تفاوت‌‌هایی که در ذهن من و ذهن شما بود الحمدلله روشن شد. اصلاً آدم باور نمی‌کند که در ذهن من این واضح است و در ذهن شما طرف مقابلش واضح است.

«و الحمد لله رب العالمین و صلّی الله علی محمّد و آله الطیبین الطاهرین»

نمایه: پارادوکس خرمن، مرزمغشوش، موردحاشیه‌‌ای، رواداری، تابع، تابع جزء، مفهوم تابع، خلاصة الحساب، تابع جزء اعشاری، تابع جزء صحیح، تابع سقف

اعلام: شیخ بهایی، فاضل جواد

[1] مقاله‌‌ی «ابهام و پارادوکس خرمن»، ص4،تعلیقه2