بسم الله الرحمن الرحیم

موضوع این جلسه : بررسی ابهام و تشکیک درریاضیات با تطبیق برخط مستقیم و منحنی و عدد پی

معنای «وَ آمَنُ‏ سَخَطَهُ‏ عِنْدَ كُلِ‏ شَر»

شاگرد: هر چه فکر می‌کنیم برای «وَ آمَنُ‏ سَخَطَهُ‏ عِنْدَ كُلِ‏ شَرّ»[1] یک معنای واضح پیدا نمی‌‌کنیم.

استاد: «اومِنُ» و «آمَنُ» [دو کلمه است] بعضی وقت‌‌ها باب افعال و [گاهی ثلاثی] مجرد [می‌آید] یعنی ایمان دارم سخط او را نزد هر شرّ. به عبارت دیگر -چون قبلش [صحبت رجاء است] قلب من بین خوف و رجاء جمع کرده است. یعنی آنطور رجایی است که وقتی شرّ پیش آمد امید دارم و می‌گویم سخط خدا نیست؛ ولو کار من شرّ است ولی خدا می‌بخشد «وَ آمَنُ‏ سَخَطَهُ‏»، قبلش می‌‌فرماید: «يا مَنْ أَرْجُوهُ لِكُلِّ خَيْر» وقتی صحبت خیر است «أَرْجُوهُ»، وقتی صحبت شرّ است «آمَنُ‏ سَخَطَهُ‏»، نه اینکه از سخطش در امن هستم و شرّ را انجام می‌دهم.

شاگرد: یعنی به دنبال امن هستم و طلب امن می‌کنم؟

شاگرد1: ایمان دارم.

استاد: به یک معنا یعنی ایمان دارم. کلمه‌ی «أمن» هم معنای دیگرش است. این یک معنا بود که کانّه أرجوه و آمن یعنی رجاء و خوف و این «آمَنُ‏ سَخَطَهُ‏» و «يا مَنْ أَرْجُوهُ» یعنی «أرجو و أخاف».

شاگرد: یعنی خیر و شرّ، خیر و شرّ مستند به شخص است و خیر و شرّ خارجی …

استاد: خیر و شرّ خارجی که پیش می‌آید مربوط به کارهای خودم است. «أَرْجُوهُ لِكُلِّ خَيْر»ـی که برای من مقدر کند که انجام بدهم. «وَ آمَنُ‏ سَخَطَهُ‏ عِنْدَ كُلِ‏ شَرّ»ـی که خودم با سوء اختیارم این شرّ را انجام می‌دهم. این یک معنا برای عبارت.

شاگرد: پس خیر و شرّ مستند به شخص دعاکننده است.

استاد: بله. امّا خیر و شرّی که خارجی است و می‌تواند از غضب خدا باشد سخطش است، و [می‌تواند] از لطف و فضل خدا باشد نعمتش است که خیلی خوب است. اینجا می‌گوید هر خیر و شرّی که پیش می‌آید دو کار انجام می‌دهم: «أَرْجُوهُ لِكُلِّ خَيْر» امید دارم در معرض خیراتی که می‌آید درآیم؛ نه اینکه خودم انجام بدهم. «وَ آمَنُ‏ سَخَطَهُ‏ عِنْدَ كُلِ‏ شَرّ» و جایی که شرّها از سخط خداست، می‌خواهم خودم را از آن شرّها و سخط‌‌ها بیمه کنم. [به عبارت دیگر] از هر شرّی که سببش سخط خداست بیمه شوم و در امن قرار بگیرم از اینکه در شرّ وارد بشوم. هر دو معنا خوب است. ولی کدام اولویت دارد؟ شاید دومی به سیاق عبارت اظهر باشد.

شاگرد: دومی کدام بود؟

استاد: دومی یعنی خیرات را خدا برای من پیش بیاورد، نه [وجه اول یعنی] امید دارم کارهای خیر را انجام بدهم و موفق بشوم، و ایمان دارم که شرّی که انجام ‌بدهم سخط او می‌آید، [این وجه منظور نباشد؛ بلکه یعنی] من در معرض خیرهایی که پیش می‌آید باشم، و من از غضب‌‌ها و سخط‌‌ها و شرّهایی که پیش می‌آید در امن باشم.

شاگرد: «وَ آمَنُ‏ سَخَطَهُ‏» به این معنا استعمال می‌شود؟ لفظ «آمَنُ» به معنای من از سخط او می‌ترسم می‌‌آید؟

استاد: «آمِنْ» [بر وزن] أفعِل به معنای ایمان بیاور، غیر از «آمَنُ» است که ثلاثی مجرد است. آیه‌‌ی شریفه دارد: «وَيْلَكَ آمِنْ إِنَّ وَعْدَ اللَّهِ حَقّ‏»[2]

شاگرد: مربوط به پدر و مادرهاست که فرزندشان می‌گوید: «أُفٍّ لَكُما أَ تَعِدانِني‏ أَنْ أُخْرَجَ وَ قَدْ خَلَتِ الْقُرُونُ مِنْ قَبْلي‏» در پاسخ می‌گویند:«وَيْلَكَ آمِنْ إِنَّ وَعْدَ اللَّهِ حَقٌّ»

استاد: نصیحتش می‌کنند که «آمِنْ» این آمِن باب «إفعال» است. «آمَنُ» ثلاثی مجرد نیست. ایمان باب «إفعال» می‌شود. برای ثلاثی مجرد «آمَنُ» یعنی در امن قرار می‌دهند.

شاگرد: در مورد حضرت یوسف -علیه‌السلام- دارد:«قالَ هَلْ آمَنُكُمْ عَلَيْهِ إِلاَّ كَما أَمِنْتُكُمْ عَلى‏ أَخيهِ مِنْ قَبْل»[3]‏

استاد: برای صلاة خوف هم دارد: «فَإِنْ خِفْتُمْ فَرِجالاً أَوْ رُكْباناً فَإِذا أَمِنْتُمْ فَاذْكُرُوا اللَّهَ كَما عَلَّمَكُمْ ما لَمْ تَكُونُوا تَعْلَمُون‏»[4] «أَمِنْتُمْ» یعنی در امن قرار گرفتید.

در آیه شریفه دارد:«وَ إِذا ضَرَبْتُمْ فِي الْأَرْضِ فَلَيْسَ عَلَيْكُمْ جُناحٌ أَنْ تَقْصُرُوا مِنَ الصَّلاةِ إِنْ خِفْتُمْ أَنْ يَفْتِنَكُمُ الَّذينَ كَفَرُوا»[5] [در جای دیگر در مورد] نماز خوف می‌فرماید: «فَإِنْ خِفْتُمْ فَرِجالاً أَوْ رُكْباناً فَإِذا أَمِنْتُمْ فَاذْكُرُوا اللَّهَ كَما عَلَّمَكُمْ ما لَمْ تَكُونُوا تَعْلَمُون‏»[6] «فَإِذا أَمِنْتُمْ» یعنی وقتی از خوف درآمدید. «إِنْ خِفْتُمْ» [در مقابل] «إِذا أَمِنْتُمْ» است یعنی «دَخلتُم فی الأمن».

شاگرد: اشکال در این است که «وَ آمَنُ‏ سَخَطَهُ‏» یعنی من از سخط او در امان هستم.

استاد: دعاست.

شاگرد: در عبارت ابتدایی می‌فرماید: «يا مَنْ أَرْجُوهُ» یعنی امید دارم.

شاگرد2: اینجا در واقع وصف خدای متعال است «يا مَنْ أَرْجُوهُ لِكُلِّ خَيْر،وَ آمَنُ‏ سَخَطَهُ‏ عِنْدَ كُلِ‏ شَر» و در ظاهر تقاضایی نیست.

استاد: توصیف است. یعنی نمی‌خواهد بگوید که خدایا این کار را بکن؟ «أَرْجُوهُ» انشاء است یا إخبار از رجاء است؟

شاگرد: إخبار از حال درونی است.

استاد: بله، إخبار از حال است. البته انشاء رجاء هم می‌تواند باشد. یعنی مثل فعل مدح و ذمّ است. مدح و ذم و تعجب، خود تعجب از انشائیات بود. تعجب می‌توانست إخبار [یا انشاء] باشد؛ مثلاً «أتعجّبُ» اگر به معنای خبر می‌دهم از اینکه تعجب می‌کنم باشد خبر می‌شود، امّا «أتعجّب» یعنی «عجباً» یعنی انشاء تعجب می‌کند، ابراز آن حالت روحی می‌کند، نه اینکه اخبار باشد.

شاگرد: چون مضارع اینطور است ولی اگر ماضی بود اینطور نمی‌شد.

استاد: [در ماضی مثل] «تعجّبتُ من قولک» هم مانعی ندارد. عرف می‌تواند به کار ببرد مثل «بعتُ» یعنی ما به الانشائش مشکلی ندارد. لذا «آمن» هم شاید به این معنا باشد: امید دارم او را نزد هر خیری، و مأمون هستم یا آمِن هستم -خاص و مخصوص- مأمون هستم سخط او را نزد هر شرّی، توصیف می‌کند که مأمون هستم یعنی چنین امید دارم او را و امید امن دارم. حالا اگر به جای «آمَنُ» را به جای «أَمْن» بخوانیم چطور می‌شود؟ «يا مَنْ أَرْجُوهُ لِكُلِّ خَيْر و أَمْنَ سَخَطِهِ» یعنی «أَرْجُوهُ أمْنَ سَخَطِهِ» «أرجوه» سر هر دو درمی‌آید؛ «أَرْجُوهُ لِكُلِّ خَيْر» و «أَرْجُوهُ أمْنَ سَخَطِهِ» اینکه در امن از سخط او باشم. این مقابل آن معنایی است که فرمودند سیاق «آمَنُ» فرق می‌کند. اینطور می‌شود «أَرْجُوهُ أمْنَ سَخَطِهِ» امید دارم که از سخط او در امان باشم.

پی‌جویی مسائلی که بین بزرگان اختلاف است

بسم الله الرحمن الرحیم

در آخر مباحثه‌‌ی دیروز از عبارات دو کتاب گفتم. فقط تذکر من این است که شما بعداً هرجا به مصداقی برخورد کردید -جایی که بین بزرگان اهل فکر و و تفکر و ذهن‌‌های قوی و اهل علم اختلاف شده است، اختلافات عجیب که منجر به مسائلی مثل صحیح و اعم ‌شود، که ایشان می‌گوید این نمی‌شود و آن آقا می‌گوید آن نمی‌شود- این مصادیق را ذکر کرده و در جایی یادداشت کنید خیلی خوب است. در همین مسأله‌‌ی صحیح و اعم -اگر یادتان باشد- طرفین که نمی‌خواستند بازی در بیاورند، نمی‌خواستند صرفاً طرف مقابل خود را مغلوب کنند. واقعاً بزرگان فکر و ذهنیتِ عقلانی با دید تحقیق و پی‌‌جوییِ واقع، هر دو ادعای تبادر می‌کردند. این خیلی معنی دارد. آنها می‌گفتند تبادر اعم از صحیح و فاسد می‌شود و آنها هم می‌گفتند [لفظ فقط در مورد صحیح] تبادر دارد، اگر یادتان باشد….

شاگرد: تحلیل کردید.

استاد: بله، دو ادعای تبادر بی‌‌علت نبود. خیلی در مورد این زحمت کشیده و همدیگر را رد می‌کردند، [یکی می‌گفت این تبادر در غایت اشکال است و امکان ندارد و در مقابلش دیگری می‌گفت این که تو می‌گویی آسان است] امّا اینکه این دو ادعا واقعیتی است که [که هرکدام بخشی ازآن را بیان می‌کنند].

در جایی از این رساله دیدم که ایشان هم یکی از شرط‌‌های مهم که برای کار قرار می‌دهد این است که علی أی حال یک تحلیل برای حالات شهودی ذهن عرف هم ارائه شود که قانع‌‌کننده باشد، و این مطلب مهمی است. یعنی تحلیل دقیق برایندها؛ یعنی تحلیل برایندهای شهودی برای ذهن عرف عام، که چه شده که چنین شهودی برای عرف هست. ایشان در چند جا به این مطلب تذکر می‌دهند و نکته‌‌ی خوبی است. پس در ذهن شما باشد و هر کجا به چنین مسائلی برخورد کردید إن شاء الله به ما بگویید و یادداشت کنید. این یک نکته.

ابهام در خط مستقیم و خط منحنی

نکته‌‌ی دیگر راجع در ریاضیات است. نمی‌‌دانم آیا ابهام در ریاضیات هست یا نیست؟ ایشان می‌گفتند قطعاً نیست؛ ولی آیا این قطع خیلی مسلم است و تا آخر سر می‌رسد یا نه؟ در هندسه و جاهای دیگر شاید نتوان گفت که هیچ کجا ابهام نیست و کلّاً تواطی است.  مثلاً در خط، -رفقایی که مباحثه‌‌ی اصول اقلیدس تشریف داشتید- راجع به خط مستقیم یک تعریف ارائه می‌دهیم و می‌گوییم کوتاه‌‌ترین فاصله بین دو نقطه، خط مستقیم است، حرف خوبی هم هست. دو نقطه را در نظر بگیرید، کوتاه‌‌ترین فاصله بین این دو، خط مستقیم است، انحناء ندارد. حالا دو نقطه را، روی کجا فرض می‌گیرید؟ روی صفحه در نظر می‌گیرید مثل هندسه‌‌ی اقلیدسی یا روی سطح منحنی؟ هر کجا فرق می‌کند. و اتفاقاً روی هر سطحی یک خط مستقیم برای خودش دارد. روی توپ یک سطح دو بُعدی منحنی خمیده است. دو نقطه را می‌توانید روی توپ فرض بگیرید، روی همین سطح کوتاه‌‌ترین فاصله‌‌ خط مستقیم است. یعنی مطلقاً خط مستقیم روی سطح منحنی دایره‌‌ی عظیمه برای کره تشکیل می‌دهد، و همیشه کره را نصف می‌کند. ممکن نیست [دایره‌‌ی عظیمه نشود] اگر دو نقطه را روی توپ در نظر بگیرید و بخواهید مقداری راه را دور بروید این دایره صغیر شده  و توپ را نصف نمی‌کند. امّا اگر هر دو نقطه را روی توپ در نظر بگیرید، کوتاه‌‌ترین فاصله را بین آن دو بروید این خط مستقیم روی توپ است و جالب این است که توپ را نصف می‌کند؛ یعنی دایره‌‌ی عظیمه است. درست [مثل] کمربند برای توپ می‌شود. اینها در مباحثه هیئت مفصل صحبت شد. امروزی‌‌ها هم وقتی «خط مستقیم» می‌گویند اصلاً منظورشان خطِ در صفحه نیست. خطِ مستقیمِ در صفحه یکی از «خطوط مستقیم» است. خطی هم که روی کره‌‌ی زمین در نظر می‌گیریم مستقیم می‌دانند که به نظرم[7] خط ژئودزیک می‌گویند. یعنی مستقیمی که روی کره‌‌ی زمین مستقیم است. شاید اینطوری بود. اصطلاح هندسی بود. یعنی خطی که شما بین دو نقطه فرض می‌گیرید، کوتاه‌‌ترین فاصله است امّا روی سطحی که بسترش است، تا بسترش چه سطحی باشد.

شاگرد: ژئودزیک ظاهراً به اقصرین فاصله بین دو نقطه‌‌ی واقع بر هر چیز مسطح گفته می‌شود.

استاد: ژئودزیک همین خط مستقیم است. حالا کوتاه‌‌ترین فاصله بین دو نقطه‌‌ی بر یک سطح، یک چیز متواطی است یا مشکک؟ واقعاً چطوری است؟ الان خود این مفهوم، متواطی یا مشکک است؟ الان در بحث ابهام ما وارد می‌شود یا نمی‌شود؟ مستقیم: کوتاه‌‌ترین فاصله بین دو نقطه‌‌ی بر سطح. امّا شما «سطح» می‌گویید ولی سطح منفی، سطح مثبت و سطح صفر، همه‌ی اینها سطح هستند. سطح مثبت در هندسه‌‌های بیضوی؛ سطح صفر در هندسه‌‌ی اقلیدسی؛ سطح منفی در هندسه‌‌های هذلولی؛ همه‌ی اینها سطح هستند. شما می‌گویید کوتاه‌‌ترین فاصله‌‌ی دو نقطه در سطح باشد، حالا آیا خود مفهوم «سطح» مبهم است دربحث ما یا نه؟ یعنی مصادیق مختلف و شؤونات عرضی یا طولی داشته باشد؟ -که در مورد شئونات عرضی و طولی بعداً بحث می‌کنیم و خودشان هم در این کتاب مفصل صحبت کرده‌‌اند-

شاگرد: همین ابهامی که الان در اینجا مطرح است می‌آید؟

شاگرد2: ابهام در اینجا در واقع همان تشکیک است؟ در فرمایش شما ظاهراً ابهام با مشکک شدن یکی شد در حالی که بین این دو فرق است. مشکک بودن لزوماً مبهم بودن است؟ در همین مثالی که زدید مشکک هست ولی مبهم نیست. یعنی رواداری و مرز مغشوش دارد؟

استاد: الان «انحناء» یا «سطح منحنی» یک مفهوم متواطی است یا مشکک است؟ «قوس بیضی» و «قوس دایره» هر دو منحنی است ولی آیا انحنائش مثل هم است؟

شاگرد: یک بحث در این است که مثل هم است یا نه. بحث دیگر در این است که …

استاد: انحناء هست یا نیست؟

شاگرد: انحناء هست.

استاد: خطِ منحنی است. خطِ منحنی رواداری دارد یا ندارد؟ انحناء خط منحنی را مقداری باز می‌کنیم.

شاگرد: به خصوص -بنا به فرمایش شما- که خط مستقیم و خط منحنی دو نوع باشد.

استاد: دو نوع باشد. در تضاد هم شما همین را می‌گویید. در رنگ‌‌ها می‌گویید هر رنگی برای خودش نوعی از اعراض است. خود خط عرض است، [انحناء] عرض العرض [است]، استقامت و انحناء یعنی کیفیتی که بر کمّ متصل قارّ عارض می‌شود. خود «استقامت »مفهومی است که فقط باید در صفحه باشد؟ الان گفتیم نه اینطور نیست. حتماً لازم نیست که «استقامت» در صفحه باشد. مستقیم یعنی کوتاه‌‌ترین فاصله بین دو نقطه در هر بستری، تا بستر چطور باشد.

در خود «بستر» رواداری می‌آید، چون بستر می‌تواند صفحه باشد، می‌توان یک مقداری کم کرد و باز خط ما مستقیم است ولی انحناء مختصری دارد. حالا ما از خط مستقیم هم شروع نمی‌‌کنیم. از یک انحناء -مثل یک دانه‌‌ی گندم برای خرمن- شروع می‌کنیم.

شاگرد: بحث در مورد خط مستقیم و منحنی است یا صفحه‌‌ای که می‌خواهد خط روی آن قرار بگیرد؟

استاد: فرق نمی‌کند. ما با هر دو جلو می‌رویم. آیا خط مستقیم با خط منحنی دو نوع است یا دو نوع نیست؟ [در مرحله‌‌ی] بعد هر یک از خط‌‌ها منحنی‌‌ که انحناءهایشان کم و زیاد است، دو نوع است یا یک نوع است؟ آیا جامع اینها که شما می‌گویید خطی داریم که یک عرض و طرَف است -در تعریف‌‌های کلاسیک- و بر این عرض، عرض دیگری عارض می‌شود که کیف الکمّ است که استقامت و انحناء است، خود اینها روادار هستند یا نیستند؟ بله روادار هستند.

شاگرد: بله، در مورد انحناء اینطور است و در مثال شما فهمیدیم، ولی در مورد مستقیم هم می‌توان این را گفت؟

استاد: ببینید در خرمن هم ایشان از صفر شروع نکرد که بگوید صفر دانه گندم. خط مستقیم در سطح اقلیدسی صفر است.

شاگرد: حالا در سطح غیر اقلیدسی، خط مستقیم یعنی کوتاه‌‌ترین فاصله.

استاد: بسیار خوب. شما یک خط منحنی با انحناء مثلاً یک [در نظر بگیرید،] همین انحناء را می‌توانید زیادتر کنید.

شاگرد: بله، ما در مورد انحناء قبول داریم که ابهام در آن پیاده می‌شود امّا ظاهراً در مستقیم ابهام پیاده نمی‌شود.

استاد: الان عرض کردم. شما مستقیم را در صفحه دارید، مستقیم صفحه‌‌ای است.

شاگرد: ابهام ندارد. به نظر ما رسید همین بحث مستقیم مصداقی از مشککی است که مبهم نیست. مشکک است یعنی واقعاً مصادیق متنوعی دارد؛ مثل اینکه روی سطح یا روی کره یا روی سطح صاف باشد، امّا مبهم نیست چون در همه‌ی این موارد کوتاه‌‌ترین نقطه است. روادار را روی کوتاه‌‌ترین پیاده کنید ببینید می‌شود یا نمی‌شود.

شاگرد1: مفاهیمی که «ترین» دارد بحث ابهام می‌آید یا خیر؟

شاگرد: در مورد اصلش می‌آید. حاج‌آقا می‌فرمایند حتماً می‌آید، من می‌خواهم در مورد «حتماً» مناقشه کنم. مثل همان منحنی که انحنائش را که کم کم، کم می‌کنید و در آخر نمی‌فهمید که دقیقاً در چه نقطه‌‌ای مستقیم شد.

استاد: شما می‌گویید خط مستقیم کوتاه‌‌ترین فاصله بین دو نقطه است، آیا این کوتاه‌‌ترین، منحصر به فرد هم هست یا نه؟ این از اصل موضوع شما از تعریف خط مستقیم [فهمیده می‌شود؟] نمی‌گوید کوتاه‌‌ترین یعنی تنها یکی باشد. و لذا سطوحی متصور است که دو نقطه روی آن است و دو کوتاه‌‌ترین فاصله دارد.

شاگرد: هر دو باشد. ابهامش در کجاست؟ در منحنی که گفتید من قبول کردم، چون در منحنی به یک وضعیت می‌رسیم که تفاوت منحنی و مستقیم را نمی‌توانیم بفهمیم. امّا در طرف مستقیم چگونه است؟

استاد: در مستقیم آیا شما می‌توانید سطوح مختلف را برای این بستر قرار بدهید یا نه؟

شاگرد: بله.

استاد: وقتی در استقامت خود سطوح تشکیک هست، وقتی در انحناء[سطوح] تشکیک هست، -انحناء و استقامت[مقابل هم هستند،]- قهراً در کوتاه‌‌ترین فاصله‌‌ی بین دو نقطه [یعنی استقامت] هم تشکیک می‌آید.

شاگرد: من تشکیک را قبول کردم، ولی می‌خواهم بین تشکیک و ابهام فرق بگذاریم. هر تشکیکی لزوماً ابهام است؟

استاد: ابهام به چه معنا؟

شاگرد: ابهام به همین معنای محل بحث؛ یعنی رواداری داشته باشد که به جایی برسد که شما نتوانید حرف قبلی را بزنید. در خرمن اینطور بود که به یک جایی می‌رسیم که نمی‌دانستیم که خرمن هست یا خرمن نیست، به یک جایی می‌رسیدیم که آن چیزی را که خرمن نمی‌دانستیم خرمن می‌شد. روادار این بود.

استاد: ما در انحناء کاری می‌کنیم که از یک نقطه‌‌ای بیاید، دو طرف انحناء آنقدر تنگ شود که به همدیگر منطبق شود. قوس راست و قوس چپ به هم بچسبد.

شاگرد: انحناء در کجا؟

استاد: انحنائی که در خمیدگی میل به صفر بکند. مثلاً سر یک بیضی را در نظر بگیرید.

شاگرد: ما در انحناء را قبول کردم ولی در مستقیم شک دارم.

استاد: مستقیم هم روی همین سطح پیاده می‌شود. شما تخم مرغ را در نظر بگیرید، سرِ تخم‌‌مرغ بیضی است. شما دو نقطه در این سرِ تخم‌‌مرغ در نظر بگیرید و به هم وصل کنید، یک انحناء دارد. حالا این انحناء را دائم خمیده‌‌تر کنید تا بیضویّت سرِتخم‌‌مرغ تیزتر شود و تا جایی برود که میل به صفر کند؛ یعنی دو طرف قوس به همدیگر چسبیده باشد. [در اینصورت] ما عملاً انحناء نداریم و خط مستقیم هم نداریم. مثل خرمن که وقتی دانه‌‌های گندم را کم می‌کردیم می‌رسیدیم به یک دانه که قطع داشتیم خرمن نیست. در اینجا هم انحناء خمیدگی را تا جایی می‌بریم که آنقدر خمیده می‌شود که میل به صفر می‌کند که یعنی خمیدگی نیست، خط مستقیم نیست. دو نقطه‌‌‌‌‌‌ای دیگر معنا ندارد.

شاگرد: یعنی دو نقطه را به جایی که دیگر هیچ چیزی نیست برسانیم، یعنی دیگر خطی تصور نمی‌شود.

شاگرد1: یعنی موضوع رفع شده است. دو نقطه یک نقطه می‌شود. وقتی میل به صفر می‌کند دو نقطه، یک نقطه می‌شود. الان اینها به هم می‌رسیدند و اینطوری خط مستقیم می‌شد، وقتی به هم رسید خودشان یکی هستند.

استاد: نمی‌خواهم قوس را کوتاه کنم. اینکه شما می‌گویید کوتاه‌‌کردن می‌خواهد. ما می‌خواهیم خمیدگی را زیاد کنیم.

شاگرد: مسأله در اینجاست که اگر خمیدگی زیاد شود به نقطه میل می‌کند. شما در واقع یک خمیدگی را با دو خط فرض می‌کنید.

استاد: ببینید اگر خط‌‌ها را کوتاه کنم درست است، به یک نقطه‌‌ای میل می‌کند که در وسط رأس آن بیضی بود.

شاگرد: این دو نقطه دو سر دست ما باشد، شما می‌خواهید این را به گونه‌ای دربیاورید که این دو نقطه به هم برسد.

استاد: احسنت. حالا خط تشکیل می‌دهد.

شاگرد: خطی تشکیل نمی‌دهد.

استاد: خط تشکیل می‌دهد امّا خطی که به صفر میل کرده نه خط هندسی.

شاگرد: قرار بود قوس باشد.

استاد: بله، امّا قوسی که قابل خمیدگی بیشتر است.

شاگرد: بله، قوسی که قابل خمیدگی بیشتر است، یعنی ما هر چه شعاع خمیدگی را کم کنیم خمیدگی بیشتر است.

استاد: بیاید و بیاید تا میل به صفر کند، نه اینکه صفر بشود؛ یعنی عملاً مثل این است که یک دانه گندم بماند. قوسی که فاصله‌‌ی بین دو خط میل به صفر کرده، خط است.

شاگرد: حاج‌آقا خط نیست. مسأله سر این است که در خمیدگی …

استاد: چرا؟ ما به رأس نزدیک نکردیم، بلکه قوس‌‌ها را به هم نزدیک کردیم، نه اینکه قوس‌‌ها را کوتاه کنیم و به نقطه نزدیک شویم.

شاگرد: هنوز برای من تصویر درست نمی‌شود. شما الان چند قوس دارید؟ یک قوس دارید یا سه قوس دارید؟

استاد: یک قوس داریم که دارد از رأس بیضی …

شاگرد: رأس یک قوس است، و دو طرف را دارید دو قوس در نظر می‌گیرید یا دو خط در نظر می‌گیرید؟

استاد: دو قوس است امّا قوسی که دائماً می‌خواهیم این قوس را خمیده کنیم.

شاگرد: یعنی ما الان سه قوس داریم؟ که هر کدام یک شعاع انحناء دارد؟

استاد: بی‌‌نهایت قوس داریم و فاصله بین دو قوس یک حدی است. ببینید اگر سرِ تخم‌‌مرغ را در نظر بگیرید، فاصله دو تا از کمربندهای قوس اگر یک سانتی متر باشد، یک قوس [که فاصله‌‌ی دو نقطه آن یک سانتی‌‌متر است.]

شاگرد: یک قوس در سر در نظر گرفتید.

استاد: بله، که فاصله دو نقطه آن یک سانتی‌‌متر است. حالا ما همین را با خمیدگی جدید و قوس جدید -نه همان قوس قبلی- فرض می‌گیریم، اگر خمیده می‌کنیم منظورمان این است که قوس جدید فرض می‌کنیم- به خصوص اگر بگوییم اگر انحناء تغییر کرد نوع تغییر کرده است- به عبارت دیگر مقصود ما این است که نشان دهیم علی ایّ حال ما یک قوس خمیده‌‌تر داریم که زیر همان است، در نقطه‌‌ی رأس با هم شریک هستند، ولی [به صورت] خمیده‌‌‌تر.

شاگرد: در آن نقطه دیگر که با هم شریک نیستند.

استاد: در نقطه رأس با هم شریک هستند.

استاد: شما اگر یک مرکز داشته باشید، [در ابتداء یک] دایره با شعاع ده سانتی‌‌متر بزنید، [بعد] با همان مرکز یک دایره با شعاع پنج سانتی‌‌متر بزنید، انحناء قوس کدام یک از اینها بیشتر است؟

شاگرد: دایره‌‌ای که شعاع پنج سانتی متر دارد.

استاد: نه، هیچکدام. انحناء‌‌ها برابر است چون مرکزها یکی است. انحناء دوائر متحدالمرکز برابر است و درجاتش هم یکی است. امّا حالا اگر عوض کنید…

شاگرد: ما معمولاً انحناء را یک به روی شعاع در نظر می‌گیریم. در آن تعریفی که قدیم خوانده‌‌ایم می‌گفتیم انحناء مساوی یک به روی شعاع است. چون بحث انحناء ربطی به مرکز ندارد، ربط به شعاع دارد. هم‌‌مرکز بودن یا نبودن دخلی به ما نحن فیه ندارد که بگوییم انحنائش بیشتر یا کمتر است. گویا آن چیزی که مؤثر است شعاع است و بنابراین هر چه شعاع کمتر شد انحناء بیشتر می‌شود.

استاد: انحناء از حیث درجات هیچ فرقی نمی‌کند.

شاگرد: منظورتان از «درجه» چیست؟

استاد: یعنی اگر مثلاً یک فاصله‌‌ای پنج درجه بود، با آن درجه‌‌ی متحد المرکز …

شاگرد: منظور درجه نسبت به چیست؟

استاد: نسبت به مرکز. شما چطور می‌توانید این انحناء را نشان بدهید؟ اگر در مرکز بروید انحناء بیشتر را نمی‌توانید نشان بدهید. -اینطور که فعلاً من تصورش می‌کنم- امّا اگر همین دایره کوچک را از مرکز بردارید و در یک نقطه‌‌ای با محیط دایره‌‌ی بزرگتر مشترکشان کنید، یعنی قوس دایره‌‌ی کوچک با قوس دایره‌‌ی بالا در یک نقطه مماس شود.

شاگرد: دو قوس داریم، این دو را روی هم می‌گذاریم و در یک نقطه با هم مماس شوند.

استاد: در یک نقطه با هم مماس شده‌‌اند. یکی دایره‌‌ی کوچک است و دیگری دایره‌‌ی بزرگ است. اینجا کاملاً نشان می‌دهد که انحاء یکی بیشتر و دیگری کمتر است. امّا اگر همین دایره‌‌ی کوچک را با مرکز آن دایره‌‌ی بزرگ هم‌‌مرکز کنیم [انحناءها مساوی است.]

شاگرد: مشهود نیست ولی فرقی نکرد. یعنی همان همان است. به عبارت دیگر اگر یک تکه از را ببُرید و بالا بیاورید چه اتفاقی می‌افتد؟ می‌بینید که خمیدگی این بیشتر است. فرض کنید چهل و پنج درجه از دایره‌‌ی کوچکی که داخل است، هم‌‌مرکز با دایره‌‌ی بزرگ است، برداشتیم و بردیم روی یک نقطه گذاشتیم و روی دایره‌‌ی بزرگ مماس کردیم.

استاد: وقتی بردید دیگر هم درجه با آن نیست. وقتی وسط بود با بالایی هم درجه بود؛ یعنی اگر آن قوس بالا دو درجه بود، آنجا دو درجه را نمی‌توانید بالا ببرید.

شاگرد: اشکالی پیش نمی‌آید. چهل و پنج درجه‌‌ی این را برمی‌داریم و می‌بریم  …

شاگرد1: چون مرکزش وسط دایره است، آنجا نیست. شما دارید مرکزش را عوض می‌کنید.

شاگرد: اصلاً بحث مرکز نیست. شما کاری به مرکز ندارید. شما می‌خواهید خمیدگی را بسنجید.

شاگرد1: همین قوس را که بالا می‌برید یعنی مرکزش را تغییر می‌دهید.

شاگرد: روش شما برای سنجش خمیدگی این شد که یک قوسی را روی دیگری بگذارید و در یک نقطه روی دیگری مماس شود. عرض ما این بود چهل پنج درجه یا سی درجه این را ببرید روی آن دیگری بگذارید، مشخص می‌شود که خمیدگی بیشتری دارد.

استاد: مقصود من هم همین است. مقصود من این است که شدت و ضعف خمیدگی را نشان بدهیم. حالا دائم می‌خواهیم خمیدگی را کوچک کنیم تا جایی که میل به صفر بکند از این‌‌طرف، کما اینکه از طرف باز شدن خمیدگی شعاع هر چه به بی‌‌نهایت میل کند، آن هم به خط مستقیم میل می‌کند. مقصود من هم همین است که اگر وسط ببریم ذهن به هم می‌ریزد، امّا وقتی قوس را بچسبانیم و با یک قوس دیگر در یک نقطه مماس کنیم، خمیدگی‌‌ها خودش را نشان می‌دهد که کاملاً متفاوت است.

حالا برگردیم به مثال خودمان؛ در سر تخم‌‌مرغ، یک نقطه‌‌ی تماس در نظر می‌گیریم، قوسی با خمیدگی کوچکتر زیر او فرض می‌گیریم، همینطور قوسی کوچکتر و کوچکتر ولی به نقطه نزدیک نمی‌شویم، خمیدگی‌‌ها بیشتر می‌شود تا جایی که خمیدگی میل به صفر کند، چه چیزی به دست می‌آید؟ یک خط.

شاگرد: خط به دست نمی‌آید.

استاد: وقتی میل به صفر کرد [خط به دست می‌آید.]

شاگرد: آخرش [خط] نمی‌شود.

استاد: بنا شد فاصله‌‌ی بین دو قوس میل به صفر کند.

شاگرد: درست است و میل به صفر کرده امّا در واقع اندازه‌‌اش هم میل به صفر کرده است. اینجا نمی‌توانید بگویید خط است، بیشتر شبیه طرف‌النقطه‌‌ است -البته اگر بتوانیم نقطه‌‌ای فرض کنیم- یعنی چیزی که به نقطه میل کرده است.

استاد: [به عبارت دیگر] فرمایش شما این است که قوس‌‌ها وقتی خمیده می‌شوند لازمه‌‌اش این است که شعاع آنقدر کوچک می‌شود که وقتی فاصله‌‌ی دو قوس میل به صفر کرد شعاع هم میل به صفر می‌کند.

الان یادم آمد در همان مقاله‌‌ی «نکته‌‌ای در نقطه» مطلبی بود راجع به اینکه آیا وقتی می‌خواهد میل به صفر کند آیا باید قطر میل به صفر کند یا شعاع؟ من آنجا دو احتمال مطرح کرده بودم. یعنی الان لازمه‌‌اش این است که وقتی قوس‌‌ها خمیده شود ….. این حرف شما در قوس دایره خوب است. [ اینکه] من بیضی فرض گرفتم برای همین نکته بود. در دایره مانعی ندارد؛ هر چه کوچک شد و هر چه خمیدگی قوس بیشتر می‌شود شعاع هم کوتاه‌‌تر می‌شود، امّا در بیضی دربَند این نیستیم.

شاگرد: بیضی هم همینطور است.

استاد: نه.

شاگرد: می‌گویند شما در هر نقطه‌‌ای ما یک خمیدگی داریم. یعنی مثل این است که یک دایره‌‌ای با یک شعاع دارید.

استاد: ما الان می‌خواهیم بگوییم در رأس آن بیضی کوچک یک نقطه است، وقتی شروع می‌کند و بعدش می‌آید فاصله‌‌ی این از همان جا میل به صفر کرده، ولی هنوز دوئیتش محفوظ است.

شاگرد: در واقع الان در یک نقطه خمیدگی را افزایش می‌دهید بدون دست زدن خمیدگی نقاط مجاورش. -می‌خواستم برای من این قضیه روشن شود تا بتوانم تصویر کنم.-

استاد: خمیدگی بسیار کم، که همان‌‌ها هم زیر میل به صفر است. می‌خواهم دوئیت دو قوس بیضی محفوظ بماند و فاصله‌‌هایش میل به صفر کرده باشد.

شاگرد: حالا بیضی نفرمایید.

استاد: الان این کپسول‌‌های خوراکی را در نظر بگیرید که از همان رأس نقطه‌‌اش آنقدر باریک است که میل به صفر است، کانّه یک خط است ولی در واقع یک خط نیست و در واقع میل به صفر است.

شاگرد: می‌توان فرض کرد که ما یک قوسی داریم که ادامه‌‌ی دو طرف در واقع خط مستقیم شود. من همین را در ابتداء عرض کردم، یعنی شما دو خط مستقیم دارید و یک قوس.

استاد: ما وقتی در فضای میل به صفر باشیم کالمستقیم می‌شود. دقیقاً سراغ مستقیم نمی‌رویم که اشکال پیش بیاید.

شاگرد: یا بفرمایید در واقع در این نقطه خمیدگی را افزایش می‌دهیم، در نقاط مجاور کاهش می‌دهیم.

استاد: خمیدگی نمی‌دهیم یا کاهش می‌دهیم چون در بیضی این ممکن است. من از اول که مثال تخم‌‌مرغ زدم برای همین بود.

شاگرد: بیضی هم نگوییم چون در بیضی باید رابطه‌‌ای بینشان باشد، ممکن است نتواند برای بیضی این اتفاق بیفتد و در معادله ممکن است صدق نکند.

استاد: بله، یک چیزی شبه بیضی به همین نحو. علی أی حال معقول و متصور است که آخر کار وقتی این قوس‌‌ها به هم نزدیک می‌شود، یک خط تشکیل می‌دهد.

شاگرد: نزدیک به خط تشکیل می‌دهد.

استاد: بله، نزدیک به خط تشکیل می‌دهد، ولی چون میل به صفر کرده در شهود عرفی می‌گوییم خط است. می‌خواهم مثل خرمن بگویم و ابهام را در آن پیاده کنم.

شاگرد: مشکل در همین است.

شاگرد1: ما در منحنی قبول کردیم. می‌خواهیم بگوییم آیا واقعاً منحنی و مستقیم یک سنخ هستند. شما از طرف منحنی راحت می‌توانید این بحث را پیاده کنید. امّا در مستقیم اشکال داریم.

استاد: نه تنها در مباحثه اقلیدس مدتی روی همین بحث شد، کأنّه واضح ‌شد که دو نوع هستند. مثل خود اعداد که می‌گویند «کلّ عدد نوعٌ برأس»، این قوس‌‌ها و خط‌‌ مستقیم هم هر کدام «نوعٌ برأسه» و مانعی هم ندارد. یعنی واقعاً از نظر محاسبه هم می‌بینیم که احکام اینها متفاوت می‌شود.

امّا می‌خواهم تشکیک را به ابهام برگردانم؛ یعنی مثل خرمن، رواداری [و بقیه ویژگی‌‌ها] در آن پیاده شود، که چیزی که قوس بود، کوتاه‌‌ترین فاصله بین دو نقطه بود، بعد تبدیل به خطی شد که خودش از بین رفت، یعنی فاصله بین دو نقطه از بین رفت.

شاگرد: یعنی صفر شد؟

استاد: میل به صفر پیدا کرد.

شاگرد: پس از بین نرفت.

استاد: بله، ولی شهوداً از بین رفته است. میل به صفر این است؛ یعنی میل به صفر جایی است که روی محاسبه‌‌ی خاص، زیر آن واحدی که شما در نظر می‌گیرید رفت و وقتی زیر واحد رفت تمام شد.

بحثی در مورد عدد پی

عدد پیπ (3/14) در دایره‌‌ی یک، میل به صفر کرده بود. دایره را بزرگتر می‌کردید اعداد بعدی پیπ  اضافه می‌شد، و الا در  هر مرحله، شعاع دایره را هرچقدر [بزرگتر]  در نظر بگیرید عدد پیπ شما وسیع‌‌تر و دقیق‌‌تر می‌شود، یعنی مجبورید پشت ممیز را بیشتر حساب کنید، چون میل به صفر نمی‌کند. دایره را اگر روی منظومه شمسی بزنید (14/3) [تا کجا جلو می‌رود] ولی چه فایده دارد؟ تفاوت بین (14/3) با عدد بعدی، در روی دایره‌‌ی روی منظومه شمسی کیلومترها و چقدرها فاصله می‌شود. امّا روی دایره‌‌ی یک -یکِ مفروض با یک واحد انتخابی- (14/3) کافی است، نیاز ندارید در واحد یک بعد از (14/3) [عددی بیاورید] امّا اگر بگویید من می‌گویم (1/3)، نه نمی‌توانید بگویید عدد پیπ (3/1) است. مگر چه فرقی دارد؟ در(14/3) باید (14/0) را بگویید، چون اگر بگویی(1/3) حتّی نسبت به واحد یک هم میل به صفر نکرده است [باید بگویید] (14/3). در اینجا خوب است. از اینجا به بعد شروع می‌کنید هر چه واحدها کوچکتر و وسیع‌‌تر انتخاب شود میل به صفر هم پایین‌‌تر می‌رود. مثلاً در جایی که واحد شما کیلومتر است، دایره‌‌ی دورِ من چند کیلومتر است؟ آخر کار به نحوی حساب می‌کنید که آخرش زیر کیلومتر می‌ماند ولی زیر کیلومتر دیگر زیر کیلومتر است. واحد شما کیلومتر است و زیرکیلومتر میل به صفر است، دایره‌‌ای به این بزرگی، -فرض بگیرید زیرکیلومتر شما پانصد متر است- پانصد متر برای او هیچ است، امّا همین را اگر کوچکتر کنید، پانصد متر خیلی است.

این تصور من از این مباحث است، درست و غلط باشد را نمی‌‌دانم و فقط مباحثه داریم و آنچه در ذهن من است را عرض می‌کنم. علی أی حال همین اندازه مثالی که عرض کردم با بحث‌‌های که در مورد آنها شد، باید ببینیم سر می‌رسد یا نه؛ که ابهام ما نحن فیه  [با ویژگی‌‌هایی که دارد مثل] رواداری و مرز مغشوش، در مطالب هندسی مثل خمیدگی، سطح منحنی و همچنین در [مثال‌‌های ریاضی می‌آید یا خیر؟] در ریاضیات هم در عدد صحبت شد و برهانش را هم دیدید که آیا (∞…999/4) صرفاً نمادی است که فقط شکلش با پنج فرق دارد، یا نه این دو نماد محتوایشان با هم فرق دارد؟ شما وقتی می‌گویید (∞…999/4) این دقیقاً روی اعداد حقیقی، نقطه‌‌ی پنج نیست؛ میل به نقطه پنج کرده است. وقتی میل به نقطه‌‌ی پنج کرده پس نقطه‌‌ی پنج نیست، ولی شما با برهان می‌گویید این همان پنج است، پس خود این یک نحو تشکیک رواداری است [به این صورت که] اگر یکی از آن بی‌‌نهایت کم کنید آیا پنج شد یا نشد؟ یکی دیگر از آن نُه‌‌ها را هم کم کنید آیا پنج شد یا نشد؟ بی‌‌نهایت نُه هست. می‌توان از بی‌‌نهایت یکی کم کرد؟ مانعی ندارد، شما فرض بگیرید، علی أی حال بی‌‌نهایت است.

ابهام در بی‌‌نهایت

شاگرد: بحث‌‌هایی که ایشان در اینجا مطرح می‌کند در مورد بی‌‌نهایت می‌آید یا نه؟ ظاهر چینش مباحث ایشان این است که این مباحث در جاهایی است که مقدار معدود داریم و چیزهایی است که نهایت دارد، مثلاً صدهزار دانه‌‌ی گندم. چون اگر بحث بی‌‌نهایت به میان بیاید به همه چیز سرایت می‌کند.

استاد: علی أی حال یکی از مهمترین مباحث ریاضی مباحث بی‌‌نهایت است. -خوب شد این مبحث را گفتید- آیا درخود بی‌‌نهایت ابهام هست یا نیست؟ یعنی تشکیک در بی‌‌نهایت هست یا نیست؟ یعنی همین بحث‌‌ها مثل مرزمغشوش [و رواداری  در مورد بی‌‌نهایت مطرح می‌شود یا خیر؟] بحث‌‌های بسیار گسترده‌‌ای است در امثال بی‌‌نهایت‌‌هایی که آیا هم‌‌توان هستند یا خیر و آیا قابل شمارش هستند یا نیستند؟ [مباحثی در مورد] بی‌‌نهایت‌‌های قابل شمارش و بی‌‌نهایت‌‌های غیرقابل شمارش و بحث‌‌های گسترده‌‌ای که در قرن بیستم در مورد بی‌‌نهایت‌‌ها شده که چه بسا مسأله‌‌ی ابهام ما نحن فیه را لااقل در مباحث بی‌‌نهایت‌‌ها بتوان مطرح کرد. من یادم نبود و در این جهات فکر نکردم که آیا این مباحث در مجموعه‌‌های بی‌نهایت می‌آید یا خیر.

در تابع جزء، بزرگتر و کوچکتر باید مثبت باشد

مطلبی مربوط به دیروز ‌ماند. سؤالاتی ذیل تابع جزء مطرح بود که بزرگتر و کوچکتری که ایشان گفتند اگر هر دو مثبت باشد متصور است، امّا اگر بزرگتر و کوچکتر، یکی مثبت و دیگری منفی در نظر بگیریم، این تعریف لغو [می‌شود.] مثلاً شما بگویید عددی که کوچکتر باشد از چهار و بزرگتر از هفت نباشد، ترکیب این دو قید به عنوان یک تعریف [در نظربگیریم]، سؤالاتی در ذهنم آمده بود که إن شاء الله بعداً می‌گوییم. دیروز اینطور صحبت شد که خصوصیتی برای بچّه‌‌ستاره معرفی می‌کنیم که از چهار سال کوچکتر است و بزرگتر از هفت سال نیست پس فرد واسطه دارد.

شاگرد: یعنی کوچکتر از چهار سال بر آن صدق می‌کند و بزرگتر از هفت سال بر آن صدق نمی‌کند.

استاد: در نحوه‌‌ی این تعریف و ترکیبش سؤالاتی در ذهنم بود که بعداً  إن شاء الله مطرح می‌کنیم.

شاگرد: تعریفش را که ما نگاه کردیم همان چیزی است که ایشان می‌گوید که توابع جزئی توابعی هستند که در بخشی از دامنه تعریف شده نیستند. مآلش این می‌شود که فقط در بخش‌‌هایی از دامنه تعریف شده هستند. البته این در یک فضا بحث دامنه قابل اطلاق هست.

استاد: مانعی ندارد که در بخشی از دامنه [تعریف شده باشند] اما صحبت در این است که در دو بخش از دامنه با هم تعریف شود و در یک بخش [تعریف] نشود. حالا در مورد این سؤالاتی در ذهنم بود اگر دیدم سر رسید و حوصله کردم فکر کنم فردا عرض می‌کنم.

«و الحمد لله رب العالمین و صلّی الله علی محمّد و آله الطیبین الطاهرین.»

نمایه: پارادوکس خرمن، ابهام، ابهام در خط، قوس، دایره، بیضی، عدد پی، خمیدگی، سطح منحنی، هندسه اقلیدسی، هندسه هذلولی، هندسه بیضوی، سطح صفر، سطح منفی، میل به صفر، بی‌‌نهایت، رواداری، مرزمغشوش،  تابع جزء

[1] سید بن طاووس،الإقبال بالأعمال الحسنة (ط – الحديثة)، ج‏3، ص 211

[2] سوره‌ی احقاف،آیه‌ی17.

[3] سوره‌ی یوسف،آیه‌ی64.

[4] سوره‌ی بقره،آیه‌ی239.

[5] سوره‌ی نساء،آیه‌ی101.

[6] سوره‌ی بقره،آیه‌ی239.

[7] حافظه من دیگر [مثل قبل نیست] دیروز عرض کردم رنگ‌‌های اصلی چهار تاست، در حالی که سه تاست. نماد معروفش RGB خیلی رایج است ولی نمی‌‌دانم چهار از کجا در ذهن من مانده بود. یک کتابی هم که مربوط به سالها قبل بود و کهنه بود و مراجعه کردم که ببینم شاید از آنجا چهار در ذهنم بوده، دیدم آنجا هم سه بوده است. علی أی حال در حافظه سه تبدیل به چهار شده است. سالها بود که نگاه نکرده بودم. [این مطلب درمتن جلسه قبل تصحیح شده ارائه شد]